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Trafico- Modelo de Poisson-Rel. Little-Teoria de colas- Dimensionamiento de sistemas
Tipo: Diapositivas
1 / 57
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Departamento de Ingeniería de Comunicaciones Este tema se publica bajo Licencia: Crea:ve Commons BY-‐NC-‐SA 4.
Luis Muñoz GuCérrez (contribución)
Redes de Comunicaciones – Tema 3: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Ramón Agüero Calvo
Contenidos
Introducción ^
Tráfico ^
Modelo matemático: proceso de Poisson ^
Relación de Little ^
Procesos de nacimiento y muerte: teoría de colas ^
Dimensionado de sistemas
Redes de Comunicaciones – Tema 3: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
¿Por qué se dimensiona? Ramón Agüero Calvo
Las operadores buscan ofrecer a sus clientes un servicio adecuado demanera rentable^
No es razonable proporcionar capacidad atendiendo a demandas puntualeselevadas ^
Ejemplo ilustrativo: se pretende desplegar una red para unir dos poblaciones con1000 habitantes cada una
^
Se usa una única línea
La solución es muy rentable para el operador, pero el servicio
es inaceptable para los usuarios (gran probabilidad de que la línea esté ocupada) ^
Se usan 1000 líneas
Los usuarios estarán muy satisfechos (servicio siempre
disponible), pero la solución no es rentable para la compañía
^
Escasez de recursos (por ejemplo en comunicaciones móviles)
^
Se suelen emplear modelos matemáticos para llevar a cabo este diseño^
Líneas de salida en una centralita ^
^
^
También se emplea en otros campos (electrónica…)
Redes de Comunicaciones – Tema 3: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Ramón Agüero Calvo
Dimensionado de redes de comunicaciones ^
Evolución de las llamadas entrantes a una centralita durante un día ^
Uso de la hora cargada para el dimensionado^
Uso de recursos en periodos de menor actividad
más económico
^
(^2) Se incentiva ‘un balanceo’ de la carga
4
6
8
10
12
2
4
6
8
10
12
Llamadas en curso
Hora Cargada
Puede depender de variosfactores^
Localización: zona residencial,de oficinas, etc... ^
Situación temporal: fin desemana, verano, etc...
Redes de Comunicaciones – Tema 3: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Ramón Agüero Calvo
¿Qué es el tráfico?
La intensidad de tráfico (o simplemente,
tráfico
) se define como el número
medio de llamadas en curso en un sistema^
También indica el grado de ocupación de los recursos
^
Unidades^
La más empleada es el
Erlang
, que es una cantidad adimensional
^
En USA se emplea en ocasiones los
CCS
, definido como cientos de segundos de
llamada por hora
^
El tráfico (en Erlangs) de un grupo de circuitos^
Depende del tiempo de observación ^
Para un único recurso, A
≤
1 h
hC T
A
^
C: número de llamadas en T ^
h: duración media (
holding time
)
^
T: tiempo de observación
: Tasa de llegadas
Redes de Comunicaciones – Tema 3: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Ramón Agüero Calvo
Tipos de tráfico
^
Tráfico ofrecido (TO, A,
)
^
Es el volumen de tráfico que se le ofrece a un grupo de circuitos
^
Tráfico cursado (TC, A
)C
^
Como es inviable dotar de recursos para todos los potenciales usuarios
hay llamadas que
no pueden atenderse y se pierden ^
El tráfico cursado viene dado por aquellas peticiones que sí pueden atenderse ^
También se define como el número medio de recursos (circuitos) ocupados
^
Tráfico perdido (TP, A
)L
^
Conjunto de llegadas que no pueden atenderse y se pierden ^
Especialmente relevante en conmutación de circuitos ^
TP = TO – TC
^
Tráfico en demora/espera (TD, A
)D
^
En ciertos sistemas las llamadas que no pueden atenderse no se pierden, sino que esperan aque haya recursos libres ^
Se suele emplear en el dimensionado de sistemas de conmutación de paquetes ^
En caso de que la capacidad de almacenamiento sea infinita, no se perdería ninguna llamada(sistema de espera pura)
Redes de Comunicaciones – Tema 3: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Ramón Agüero Calvo
Tráfico: cuantificación
N(t) Ocupacióncircuitos
tiempo tiempo
5 4 3 2 1
N(t) se define como el total decircuitos ocupados^
Representa el tráficoinstantáneo ^
Su valor medio representa laintensidad de tráfico
^
El tráfico también se puedemedir a partir de la ocupaciónindividual de los circuitos^
El volumen total es la suma delos volúmenes individuales
T^ obs obs
Tráficoobs
Tráfico
N(t)dt (^1) T
V T
I
En el ejemplo de la figura^
A = 2 Erlangs
^
^
j
j circuito
Tráfico
obs
Tráfico
V
(^1) T
I
Redes de Comunicaciones – Tema 3: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Ramón Agüero Calvo
Grado de Servicio
El Grado de Servico (
Grade of Service, GoS
) da idea de la “calidad” que
perciben los usuarios ^
Depende fuertemente del tipo de sistema^
En sistemas con pérdida, se define como la probabilidad de pérdida (oprobabilidad de congestión)
^
Coincide con la probabilidad de que un usuario, al realizar una llamada, se encuentre elsistema sin recursos
^
En sistemas de demora se suele relacionar con la probabilidad de esperar paradisponer de un recurso
^
También se puede definir como el tiempo medio de espera antes de obtener un recursopara cursar la llamada
ofrecidas
Llamadas
perdidas
Llamadas
GoS
TPTO
GoS
Redes de Comunicaciones – Tema 3: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Ramón Agüero Calvo
Introducción
Habitualmente se utilizan modelos matemáticos que caractericen lasllamadas en el sistema ^
El proceso de Poisson es uno de los más empleados en el ámbito de lastelecomunicaciones^
También se usa en otros campos: fenómenos electrón/hueco, ruido de “shot”…
^
El modelo básico de tráfico que se utilizará viene determinado por lassiguientes tres características^
El número de llegadas en un tiempo determinado sigue una distribución dePoisson ^
La duración de las llamadas sigue una función densidad de probabilidad (fdp)exponencial negativa ^
La tasa de llegadas al sistema es constante (proceso estacionario)
Redes de Comunicaciones – Tema 3: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Ramón Agüero Calvo
Proceso de Poisson
Se define un intervalo de tiempo
t, con
t^
La probabilidad de que haya una llamada en
t
La probabilidad de
no
haya una llamada en
t
Las llegadas son sin memoria^
Una llegada en cualquier intervalo
∆
t es independiente de lo que sucediera en
intervalos anteriores o futuros
^
Despreciando los términos en o(
∆t), la probabilidad de que haya más de
una llamada en
t es 0
^
^
^
t
t o ∆ t
t
en
llegada 1
Pr
^
^
^
^
t
t o ∆ t
t en
llegadas 0 Pr
^
^
^
q p 1 ∆ t
t
en
llegadas 0 Pr
p ∆ t
t
en
llegada 1
Pr
Distribución de
Bernouilli
Redes de Comunicaciones – Tema 3: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Ramón Agüero Calvo
Proceso de Poisson: media y varianza
^
Valor medio (número medio de llamadas en T) ^
Varianza ^
Notar que el cociente entre la varianza y la media es la unidad para eltráfico de Poisson^
Este parámetro da idea del tipo de tráfico: suave, a ráfagas o aleatorio
^
^
^
^
0 k
k
T
0 k
k
k
T^
e k! k
k·P
^
^
^
^
^
^
^
k
σ^
2
0 k
k 2
2 T
(^2) K
2 K^ T
Redes de Comunicaciones – Tema 3: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Ramón Agüero Calvo
Tiempo entre llegadas
Se define la variable aleatoria
τ como el tiempo entre llegadas consecutivas
La probabilidad de que
τ sea mayor que t coincide con la probabilidad de
que no se produzcan llegadas en t… ^
Luego la función de distribución de la variable aleatoria
τ se puede definir
como... ^
Y la función densidad de probabilidad se obtiene derivando la anterior…
Origen de tiempos
aleatorio
t^
Primerallegada
^
^
^
t e 1 t
Pr t F
^
^
t
0
e t P t
Pr
t e
dt
(t) dF t f
Redes de Comunicaciones – Tema 3: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Ramón Agüero Calvo
Tiempo entre llegadas
La característica más importante de la distribución exponencial es que es‘ sin memoria
De esta manera, el ‘pasado’ en la evolución de la variable no tiene ningunainfluencia en los valores futuros^
Se considera que se ha producido una llegada en t = 0 ^
En t = t
se observa que no se ha producido ninguna llegada aún 0
^
¿Cuál es la probabilidad de que se produzca una llegada a partir de t
en t? 0
^
^
^
^
^
^
^
^
0
0
0
0
0
0
0
0
t
Pr
t
Pr t t
Pr
t
Pr
t t
t Pr
t
| t t
Pr
^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
t
t
t
t
t
t
tt
0
0
e 1
e
e 1 e e 1 1
e 1 e 1 t | t t
Pr
0 0
0
0
0
^
^
^
t
Pr t | t t
Pr
0
0
Redes de Comunicaciones – Tema 3: Teletráfico. Dimensionado de sistemas
Ramón Agüero Calvo
Tiempo entre llegadas
Notar que:
^
^
^
^
^
∆ t o ∆ t
∆t 2!
t 1 1 e 1 t | ∆
t t
Pr
2
∆t^
Proceso llegadas
Poisson
Tasa de llegadas
constante
Tiempo entre llegadas
exponencial
^
Se demuestra que lacorrespondencia…
Proceso llegadas Poisson
Tiempo entre llegadas
exponencial
es cierta en ambos sentidos
t e
t
^
^
t 0
Propiedad “sin memoria” de la distribución exponencial
