¡Descarga Estudio de funciones matemáticas: intervalos, derivadas y límites y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
TEMA IV: FUNCIÓ REAL DE VARIABLE REAL.
1. Conceptes previs. Concepte de funció. Operacions.
1.1 Conceptes previs.
Definició. Un interval és un conjunt de nombre reals que es corresponen amb els punts d’un segment de la recta real.
Existeixen tres tipus d’intervals:
Interval tancat : si els dos extrems de l’interval hi pertanyen, i.e:
Gràficament:
a b
Interval obert : si cap dels dos extrems de l’interval hi pertanyen, i.e:
Gràficament:
a b
Interval semiobert o semitancat : si només un dels dos extrems pertany a l’interval, i.e:
Gràficament:
a b a b
Obs: Si a ó b són és considera que aquest extrem és obert.
Exemples.
- [ 5,7] 2) (-3,0) Gràficament:
3) (1,5] 4) [-1,8)
Gràficament:
Gràficament:
1.2 Concepte de funció.
Definició. Una funció real f de variable real és una relació que associa a cada nombre real, x, que pertany a un conjunt D, , un únic nombre real.
Es pot expressar d’aquesta manera:
La variable x s’anomena variable independent i la variable y és la variable dependent.
Definició. Donat un valor el valor que s’obté de fer f(a) , s’anomena valor de la funció en el punt a.
- Funcions exponencial i logarítmica :
Definició. Donada un funció , que verifica que hi definim el domini de la funció com el conjunt dels valors per als quals està definida la funció, i .e, el conjunt de punts x per als quals existeix f(x). I denotarem per Dom f(x).
Definició. Donada un funció , que verifica que hi definim el recorregut de la funció o imatge de la funció com el conjunt de valors que pren la funció, i.e, el conjunt de valors f(x). I el denotarem per Im f(x)
Veiem un parell de casos on coneixem el graf de la funció a estudiar.
Exemples.
Ara ens interessa, poder calcular el domini i la imatge de qualsevol funció, inclús d’aquelles que no en coneguem explícitament el seu graf.
Ens centrarem en l’estudi de funcions habituals, així com les funcions polinòmiques, les racionals, les exponencials, les logarítmiques, les trigonomètriques i les radicals.
Busquem els nombres que fan que el radical sigui positiu:
Per tant,
Busquem els nombres per als quals existeix el logaritme:
Per tant
1.3 Operacions.
Donades dues funcions f i g amb dominis Dom f i Dom g respectivament:
La suma de funcions f i g és una altra funció, f+g , que verifica que, per a qualsevol valor, x , que pertany als dominis de totes dues funcions es compleix que:. El producte de funcions f i g és una altra funció, f ·g, que verifica que, per a qualsevol valor, x , que pertany als dominis de totes dues funcions es compleix que:. El quocient de funcions f i g és una altra funció, , que verifica que, per a qualsevol valor, x , que pertany als dominis de totes dues funcions es compleix que: amb. Donades dues funcions i , s’anomena funció composta de f amb g la funció que compleix:
gof
La expressió es llegeix com f composta amb g de x. Per anomenar-la comencem per la funció de la dreta, ja que aquesta és la que actua sobre la variable x.
Cal tenir present que és diferent de f o g.
Exemple.
Siguin i
Calculem ara i també ( f o g)(x)
També es pot calcula ( f o f )( x )
La funció inversa d’una funció f és una altra funció, , que verifica que per a qualsevol valor de x del seu domini es compleix que :
Si és la funció inversa de f , es compleix que:
Exemple.
Definició.
El límit d’una funció quan x tendeix a un punt a per l’esquerra, és un nombre real L quan per a valors de x molt pròxims a a i més petits que a , els valors de la funció s’aproximen al nombre L.
El límit d’una funció quan x tendeix a un punt a per la dreta, és un nombre real L quan per a valors de x molt pròxims a a i més grans que a , els valors de la funció s’aproximen al nombre L.
Definició.
El límit d’una funció quan x tendeix a un punt a , és un nombre real L quan:
Llavors:
Observació.
- De la mateixa manera, quant els límits laterals són iguals a aquests valors. 2)Si
Aleshores, direm que no existeix el límit de quan x tendeix a a.
Exemples. Calcula els límits laterals de les següents funcions, i si és possible el límit al punt.
a) en x= -
Com els laterals són igual mirem si podem calcular el límit al punt.
Per tant el límit existeix.
Gràficament:
b) en x= 1
Fem primer el límit per l’esquerra:
Fem ara el mateix per la dreta:
En aquest cas el límit no existeix, ja que els laterals són diferents.
Gràficament:
Per a poder calcular els diferents límits existeixen diferents mètodes, en veurem alguns a continuació, però primerament ens interessarà conèixer les operacions amb límits i les indeterminacions.
Operacions amb límits:
Siguin f(x) i g(x) dues funcions les quals els seus límits existeixen, aleshores,
Indeterminacions en la suma:
Indeterminacions en el producte:
Indeterminacions de quocient:
Indeterminacions de potencia:
Ara ja estem en disposició de poder calcular els límits, ja hem vist a la definició de límit que, un límit és el comportament d’una funció quant ens aproximem tant com volem a un punt.
Càlcul de límits.
Considerem una funció f(x) i volem calcular el valor del límit d’aquesta funció en un punt x=. Ens interessa avaluar la funció en punts propers a , tant propers que en alguns casos considerarem el mateix
Límit d’un polinomi.
Quant la funció sigui un polinomi
Distingirem dos casos, si estem tendint a un punt, o si estem tendint a un infinit.
1) Si tendim a un punt. Quant la funció sigui un polinomi i estem tendint a un punt, només cal que substituïm aquest punt en la nostra variable. Exemple:
2) Si tendim a un infinit. Quant la funció sigui un polinomi i estem tendint a infinit, només ens interessa el terme de grau màxim del polinomi, i.e:
Exemple:
En aquest cas los límits laterals són iguals.
C)
Aquest és un cas d’indeterminació. En aquest cas hem de
factoritzar els polinomis P(x) i Q(x)
Exemples.
Llavors factoritzem:
Llavors factoritzem:
2) Si tendim a infinit. En aquest farem ús del criteri del quocient:
(*) El signe del infinit depèn de la paritat de n i m i dels signes del coeficients i.
Exemples.
Límits amb indeterminacions.
Veiem en aquest apartat com poder calcular el límit d’una funció quant ens hem trobat en alguna de les indeterminacions que ja hem vist.
Indeterminacions en la suma.
Cada indeterminació tindrà una manera diferent de resoldre’s , però majoritàriament les resoldrem en l’ús de l’àlgebra.
Exemple.
Llavors, en aquest cas treballem de manera algebraica i realitzem primer la diferència.
Exemples.
Per tant,
2.2 Concepte de continuïtat.
Definició. Sigui. Direm que és continua en un punt , quant el valor de la funció en el punt coincideixi amb els límits laterals quant x tendeix a , i.e:
Definició. Sigui. Direm que és continua, si és continua en tots els seus punts.
Proposició.
Siguin f(x) i g(x) dues funcions continues en , aleshores:
és continua en. és continua en. és continua en si. és continua en.
Proposició.
Siguin f(x) i g(x) dues funcions tals que i ,
gof
Si f(x) és continua en i g(x) és continua en , Aleshores és continua en.
Proposició. (Continuïtat de les funcions elementals)
Les funcions polinòmiques són contínues en tot. Les funcions racionals són continues llevat en els punts que anul·len el denominador. La funcions exponencials són contínues en tot. Les funcions logarítmiques són continues en els punts que facin que la seva expressió sigui estrictament positiva. Les funcions trigonomètriques, sinus i cosinus són continues en tot ; en canvi la tangent és discontinua en tots els punts de la forma:
2.3 Tipus de discontinuïtats
Definició.. Sigui. Direm que és discontinua en un punt , si la funció no és continua en.
En aquest curs estudiarem tres tipus de discontinuïtats.
Discontinuïtat evitable:
Es dona quant existeix però succeeix una d’aquestes dues coses:
La funció no esta definida en el punt ó
La imatge de la funció en aquest punt no coincideix amb el límit;
Discontinuïtat de salt:
Es dona quant els límits laterals existeixen, i són nombres reals, però no coincideixen;
