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Modelo de Regresión Lineal Múltiple
Y
i
= β
X
i 1
X
i 2
k
X
ik
i
Magnitud común a todos los
sujetos
Error para cada sujeto
Valor
observado
en la VD
Efectos debidos
a factores
constantes
Efectos debidos a factores
tenidos en cuenta (VVII)
Efectos debidos a
factores no
controlados
Y
i
€
= β
X
i 0
€
X
i 1
X
i 2
k
X
ik
€
i
3.1. Modelo
Peso de cada una de las k variables
independientes dentro de la ecuación de
regresión
48
Y
'
≠ Y
Y
VD, Variable criterio o Variable a predecir
X
j
VI o Variable predictora
Y
'
Variable predicha
Valor que se obtiene al
utilizar la recta de regresión
para predecir Y a partir de
X
1
, X
2
, …,X
k
Valor que se obtiene al
medir directamente Y
e = ( Y − Y
'
)
3.1. Modelo (cont.)
E ( Y
i
) = β
0
1
X
i 1
2
X
i 2
k
X
ik
Recta de regresión de Y
sobre X 1
, X
2
, …, X
k
Y
i
"
= b
0
1
X
i 1
2
X
i 2
k
X
ik
Recta de regresión
estimada
50
Z
Y
i
= β
1
Z
X
i 1
2
Z
X
i 2
k
Z
X
ik
i
Error para cada sujeto
3.1. Modelo (cont.)
Ecuación de regresión lineal en puntuaciones típicas
Puntuación típica
en Y del sujeto i
€
i
= ( Z
Y
i
− E ( Z
Y
i
))
e
i
= ( Z
Y
i
− Z
Y
i
Z
Y i
'
= beta
1
Z
X i 1
+ beta
2
Z
X i 2
+ ...+ beta
k
Z
X ik
E ( Z Y i
) = β 1
Z X i 1
Z X i 2
Z X ik
€
β
j
beta
j
51
E ( Y
i
) = β
0
1
X
i 1
2
X
i 2
k
X
ik
Y
i
"
= b
0
1
X
i 1
2
X
i 2
k
X
ik
Se van a realizar varios contrastes de hipótesis:
- β
0
→ b
0
- β
1
,β
2
,..., β
k
→ b
1
, b
2
,..., b
k
- E
Y
X
1
= x
i 1
, X
2
= x
i 2
,..., X
k
= x
ik
"
$
%
&
' =
= μ
y. x i 1
, x i 2
,..., x ik
→ m
y. x i 1
, x i 2
,..., x ik
- ρ Y. 1 , 2 ,..., k
2
→ R Y. 1 , 2 ,..., k
2
- Modelo de la regresión
3.1.Modelo (cont.)
Valor predicho en Y
para un sujeto con
un valor en X 1
=x i
X
2
=x i
,…, X
k
=x ik
( Y − Y )
= ( Y # − Y
+ ( Y − Y #)
SC
TOTAL
= SC
REGRESION
+ SC
ERROR
n − 1 = k n − k − 1
3.2. Contraste de hipótesis. Modelo de la regresión
(cont.)
54
Fuentes
de
variación
S.C. g.l. M.C. E.C.
Regresión SC REGRESIÓN
k
Error SC ERROR
(n-k-1)
Total SC TOTAL
n-
€
MC REG
=
SC REG
k
€
MC ERROR
=
SC ERROR
( n − k − 1 )
€
F =
MC REG
MC ERROR
P ( F k − 1 ,( k − n − 1 )
≥ F )
si el valor obtenido en la muestra para
el E.C. cae en la región crítica, conclusión: el modelo de
regresión en conjunto es predictivo
de que el modelo de regresión en
conjunto no es predictivo si el valor obtenido en la
muestra para el E.C. cae en la región de aceptación
F > 1 − α
F k ,( n − k − 1 )
3.2. Contraste de hipótesis. Modelo de la regresión (cont.)
R y. 1 , 2 ,..., k
2
=
S y "
2
S y
2
=
SC REGRESION
SC TOTAL
= 1 −
SC ERROR
SC TOTAL
R AJ.
2
= 1 −
SC ERROR
( n − k − 1 )
SC TOTAL
( n − 1 )
= 1 −
( 1 − R y , 1 , 2 ,..., k
2
)( n − 1 )
( n − k − 1 )
3.2.Contraste de hipótesis. Modelo de la regresión (cont.)
- Proporción de varianza de la
variable Y asociada conjuntamente
a todas las variables independientes
- Proporción de error cuadrático
medio reducido al pronosticar
mediante la recta de regresión en
lugar de utilizar la media de Y
- Es muy sensible al número de predictores, basta incluir un predictor más en la ecuación
de regresión, aunque sea irrelevante, para que el valor del coeficiente de correlación
múltiple aumente
- Se utiliza como estimador el coeficiente de correlación ajustado o corregido:
Resumen del modelo
Modelo R R cuadrado
R cuadrado
corregida
Error típ. de la
estimación
1 ,
a
,782 ,776 ,
Un 77,6% de la variabilidad de la nota media académica se puede predecir a partir de la
capacidad de resolución problemas , riqueza de vocabulario , C.I. Total , originalidad , riqueza expresiva y
creatividad global consideradas conjuntamente.
3.2.Contraste de hipótesis. Modelo de la regresión (cont.). Ejemplo
H
0
: ρ
Y .1,2, 3 , 4 , 5 , 6
2
= 0
Predecir la nota media académica (Y) a partir de las variables capacidad de resolución problemas (X 1
riqueza de vocabulario (X 2
), C.I. Total (X 3
), originalidad (X 4
), riqueza expresiva (X 5
) y creatividad global (X 6
3.2.Contraste de hipótesis. Modelo de la regresión (cont.). Ejemplo
Predecir la nota media académica (Y) a partir de las variables capacidad de resolución problemas (X 1
), del
riqueza de vocabulario (X 2
), del C.I. Total (X 3
), de la originalidad (X 4
), de la riqueza expresiva (X 5
) y la
creatividad global (X 6
Coeficientes no
estandarizados
Coeficientes
tipificados
Modelo
B Error típ. Beta t Sig.
(Constante) 2,088 ,432 4,840 ,
Resolución problemas ,635 ,035 ,826 18,321 ,
Riqueza de vocabulario ,020 ,010 ,096 1,987 ,
C.I. total ,000 ,006 - ,002 - ,028 ,
Originalidad - ,007 ,013 - ,031 - ,544 ,
Riqueza expresiva ,012 ,014 ,050 ,850 ,
Creatividad global ,000 ,003 ,006 ,086 ,
€
H 0
: β 0
= 0 → Se rechaza
€
H 0
: β 1
= 0 → Se rechaza
€
H 0
: β 2
= 0 → Se rechaza
€
H 0
: β 3
= 0 → Se mantiene
€
H 0
: β 4
= 0 → Se mantiene
€
H 0
: β 5
= 0 → Se mantiene
€
H 0
: β 6
= 0 → Se mantiene
Y i
"
= 2 , 088 + 0, 635 X i 1
Z Y i
"
= 0,826Z X i 1
Normalidad: histograma de residuos
3.3.Comprobación de los supuestos del ejemplo
!
2. Linealidad y homocedasticidad: gráfico de dispersión
3.3.Comprobación de los supuestos del ejemplo
(cont.)
!
Pronóstico
3.3.Comprobación de los supuestos (cont.).
Se cumplen el supuesto de homocedasticidad y de linealidad
Residuos
3.3.Comprobación de los supuestos (cont.)
No se cumple el supuesto de homocedasticidad y sí el de linealidad
Pronóstico
Residuos
3.3.Comprobación de los supuestos (cont.)
No se cumple ni el supuesto de homocedasticidad y ni el de linealidad
Pronóstico
Residuos
