1
Ejercicios ´Tema 1: Números complejos y topología en el campo complejo.
Lección 1.1: Los números complejos.
1. Calcúlese las partes real e imaginaria de los números:
2
1−3i; (1 + i√3)6;(1 + i
1−i)5
;.
2. Resuélvanse las siguientes ecuaciones entre números complejos:
a) |z| − z= 1 + 2i; b) |z|+z= 2 + i.
3. Calcúlense los números complejos z, tales que 1+z
1−z,es:
(a) Un número real; (b) Un número imaginario puro.
4. Estúdiese para cada una de las igualdades siguientes si hay algún número complejo
z∈Ccon |z|= 1 que la verifica:
(a) |z3+z2+ 1|= 3 ; (b) |z4−2z−i|= 4 ; (c) |z6+z3+ 2|= 4 + |4 + 4z2|.
5. Sea z=x+iy ∈C∗, demuéstrese que
arg(z) =
arctg(y
x)si x > 0,
π
2si x= 0, y > 0
−π
2si x= 0, y < 0
arctg(y
x) + πsi x < 0, y ≥0
arctg(y
x)−πsi x < 0, y < 0.
6. Calcúlese el argumento principal del producto y del cociente de dos números
complejos, conocidos sus propios argumentos principales.
7. Calcúlese el argumento principal de √3+ i,−√2+√2iy de (√3+i)(−√2 +√2i).
8. Calcúlense las raíces cúbicas de −2−2√3i.
9. Simplifiquénse las expresiones:
a)1 + cos φ+ cos 2φ+· ·· + cos nφ;
b)sen φ+ sen 2φ+· · · + sen nφ,
donde φ∈Ryn∈N.
Sugerencia: Si llamamos Aa la primera suma y Ba la segunda, calcúlese A+iB
haciendo uso de la fórmula de De Moivre.
10. Encuéntrese los vértices de un polígono regular de nlados si su centro se encuentra
en el punto z= 0 y uno de sus vértices z1es conocido.
11. Si notamos por √za la única raíz cuadrada, w, de ztal que Rew > 0o bien
Rew = 0 eI m(w)>0, estúdiense las igualdades
a)√αβ =√α√β;b)√α2=α,
donde αyβson números complejos.
