Métodos Matemáticos I. Curso 2016/2017. Tema 1
1. Números complejos y topología en C
1. Hallar el módulo y el valor principal del argumento de los siguientes
números complejos:
a)z= 4 + 3i b)z=−1−i√3c)z= sin π
8−icos π
8
d)z= 4eiπ/4e)z=2−3i
4−if)z=1 + cos α−isin α
1 + cos α+isin α(0 < α < π/2)
2. Hallar la parte real y la parte imaginaria de los siguientes números
complejos:
a)z=√23e−i27π/4b)z= (2 −i)e−iπ /2
c)z=2−i
4+3id)z=2−i
4+3i7
3. Demostrar las siguientes desigualdades:
|z1|+|z2| ≥ |z1+z2| ≥ ||z1|−|z2||
|z1·z∗
2+z2·z∗
1| ≤ 2|z1z2|
4. Calcular todas las soluciones de las siguientes ecuaciones:
a)z39 =1 + i√3
√3−ib) (z+ 3i)4=−1
c)z3= 2 + 2i√3d)z= 2/z∗
5. Encontrar todos los números complejos que cumplan z2=z∗.
6. Demostrar que la suma de las nraices n-simas de un número complejo
es cero.
7. Obtener una condición necesaria y suficiente para que se cumpla la
igualdad en la desigualdad triangular, y dar una interpretación geomé-
trica.
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