Matem´aticas 2 - Dpto. de Matem´atica Aplicada
Relaci´on 1: El n´umero complejo
1. Simplifique las siguientes expresiones:
(a) (5 + 3i)(2 −i) −(3 + i) (b) (1 −2i)3(c) 1
i(d) i−17 (e) 5−8i
3−4i
2. Simplifique las siguientes expresiones:
(a) 1−i
1+i (b) 1
5−3i −
1
5 + 3i (c) 1
2(1 + i)2(d) i2007 (e) (1 −i)8
3. Exprese en forma polar los siguientes n´umeros:
(a) 1 (b) −1 (c) i (d) −i
(e) 1 −i (f) 1 + i (g) i −1 (h) −1−i
4. Exprese en forma polar los siguientes n´umeros:
(a) √3−i√3 (b) −√3−i (c) 1 + i√3 (d) (√3−i√3)2(e) −3 + 3i
5. Sin operar la expresi´on, calcule el m´odulo de z=(1 + 2i)3(4 −3i)4
(3 + 4i)4(2 −i)3
6. Dados z1= eiπ/4yz2= e−iπ/3,
(a) Calcule el argumento de z1z2
2y de z3
1/z2
(b) Calcule la parte real y la parte imaginaria de z2
1+ iz2
7. Encuentre todas las soluciones (reales y complejas) de las siguientes ecuaciones:
(a) x2+x+ 1 = 0 (b) z4+ 1 = 0 (c) z4+z2+ 1 = 0 (d) t6
−2t4+ 4t2= 0
y factorice en Ry en Clos polinomios que aparecen en las ecuaciones.
8. Resuelva las siguientes ecuaciones:
(a) 1
z=2
2 + 3i +1
3 + 2i (b) 2z
1+i−
2z
i=5
2+i
9. Resuelva las siguientes ecuaciones:
(a) z2+ 2z−1 = 0 (b) z+zi−5 = 3−zz
2i
10. Resuelva los sistemas de ecuaciones:
(a) 4z+ 3w= 23
z+ iw= 6 + 8i (b)
z−w+u= 3 −i
z+ iw= 6 + 8i
w+ 2iu=−i
11. Calcule las siguientes exponenciales complejas:
(a) e1−πi(b) e2+3πi/4(c) e(2+ 7π
6i)(d) e(1−
5π
3i)(e) eπ
2ie1−
3π
4i
1
