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IES DR. RODR´IGUEZ DELGADO
MATEM ´ATICAS II. Relaci´on vi Matrices y determinantes. 2 febrero 2021
Ejercicio 1.- [2,5 puntos] Considera las matrices
A =
B =
C =
D = (^4 − 5 6 )
Determina, si existe, la matriz X que verifica que A^2 X − BA + X = CD.
Ejercicio 2.- Considera las matrices
A =
B =
C = (^1 1 2 )
(a) [1 punto] Calcula A^2018. (b) [1,5 puntos] Determina, si existe, la matriz X que verifica A(X + 2I) = BC, donde I es la matriz identidad.
Ejercicio 3.- Considera las matrices
A =
B =
a b c 0 1 0 − 1 0 0
(a) [0,75 puntos] Determina, si existen, los valores de a, b y c para los que las matrices A y B conmutan. (b) [1 punto] Calcula A^2 , A^3 , A^2017 y A^2018. (c) [0,75 puntos] Calcula, si existe, la matriz inversa de A.
Ejercicio 4.- Considera la matriz A =
(a) [0,75 puntos] Halla, si existe, la inversa de A. (b) [1,25 puntos] Determina los valores de m tales que (A−mI) tiene inversa (I es la matriz identidad). (c) [0,5 puntos] Calcula el rango de (A − 2 I).
Ejercicio 5.- Considera la matriz M =
x y z
. Sabiendo que el determinan- te de M es 2, calcula los determinantes indicando las propiedades que utilices: (a) [0,75 puntos] El determinante de la matriz 5M 4.
(b) [0,75 puntos]
x y z
(c) [1 punto]
1 x + 6 x 2 y y 3 z + 3 z
Ejercicio 6.- Considera las matrices
A =
0 λ 1 0 − 1 λ
B =
(a) [1 punto] ¿Hay alg´un valor de λ para el que A no tiene inversa? (b) [1,5 puntos] Para λ = 1, resuelve la ecuaci´on matricial A−^1 XA = B.
Ejercicio 7.- Dadas las matrices
A =
α 1 − 1 1 α − 1 − 1 − 1 α
B =
(a) [1,75 puntos] Calcula el rango de A dependiendo de los valores de α. (b) [0,75 puntos] Para α = 2, resuelve la ecuaci´on matricial AX = B.
Ejercicio 8.- Sean las matrices
A =
( (^) α 1 −α 3
B =
(a) [1,25 puntos] Calcula los valores de α para los que 121 A es la matriz inversa de A. (b) [1,25 puntos] Para α = −3, determina la matriz X que verifica la ecua- ci´on AtX = B, siendo At^ la matriz traspuesta de A.
Ejercicio 13.- Dada la matriz
A =
(a) [0,5 puntos] Demuestra que se verifica la igualdad A^3 = −I, siendo I la matriz identidad de orden 3. (b) [1,25 puntos] Juastifica que A es invertible y halla su inversa. (c) [0,75 puntos] Calcula razonadamente A^100.
Ejercicio 14.- Dada la matriz
A =
( (^) λ + 1 0 1 − 1
(a) [1,25 puntos] Determina los valores de λ para los que la matriz A^2 + 3A no tiene inversa. (b) [1,25 puntos] Para λ = 0, halla la matriz X que verifica la ecuaci´on AX + A = 2I, siendo I la matriz identidad de orden 2.
Ejercicio 15.- Sean las matrices
A =
α 1 3 0 2 α
B =
(a) [0,5 puntos] Determina los valores de α para los que A tiene inversa. (b) [1,25 puntos] Calcula la inversa de A para α = 1. (c) [0,75 puntos] Resuelve, para α = 1, el sistema de ecuaciones AX = B.
Ejercicio 16.- Sean las matrices
A =
0 m 3 4 1 −m
B =
C =
(a) [0,5 puntos] Indica los valores de m para los que A es invertible. (b) [2 puntos] Resuelve la ecuaci´on matricial XA − Bt^ = C. (Bt^ es la matriz traspuesta de B).
