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MATRICES
1. Introducción. Definición de matriz
El concepto de matriz como una tabla ordenada de números escritos en filas y
columnas es muy antiguo, pero fue en el siglo XIX cuando J.J. Sylverster (1814-1897)
acuñó el término de matriz y Arthur Carley (1821-1895) sentó las bases del cálculo
matricial.
Definición. Se denomina matriz de dimensión mxn a todo conjunto de elementos
colocados en m filas y n columnas de la siguiente forma:
m m m mn
n
n
a a a a
a a a a
a a a a
A
1 2 3
21 22 23 2
11 12 13 1
De forma abreviada se escribe A a^ ij mxn o simplemente A a (^) ij .
aij representa el elemento de la matriz situado en la i-ésima fila y j-ésima columna.
Ejemplo.
(^)
A aij 2 x 3 dimensión=2x3; a 13 =-
Al conjunto formado por todas las matrices de m filas y n columnas se le denota
por Mmxn.
2. Igualdad de matrices. Tipos de matrices
2.1 Igualdad de matrices
Dos matrices A aij Mmxn y B b (^) ij Mpxq se dicen que son iguales si tienen
la misma dimensión (m=p y n=q) y son iguales todos los elementos que ocupan igual
posición
2.2 Tipos de matrices
2.2.1 Matriz fila. Matriz columna.
Una matriz fila es una matriz de dimensión 1xn A a 11 a 12 .... a 1 n , también
se denomina vector fila.
Ejemplo: A=(1 3 4)
Una matriz columna es una matriz de dimensión nx
1
.....
21
11
a n
a
a A.
2.2.2 Matriz escalonada
Una matriz se dice que es escalonada cuando el primer elemento no nulo de
cada fila está “ más a la derecha “ que el primer elemento no nulo de la fila anterior.
Ejemplo:
A
2.2.3 Matriz cuadrada
Es una matriz que tiene igual número de filas que de columnas i.e. A Mnxn. En
este caso se dice que la matriz es de orden n.
Ejemplo:
A M 3 x 3 A
Cuando en una matriz diagonal todos los elementos no nulos son iguales, se
denomina matriz escalar.
A Mnxn escalar aii k i 1 ,.., n aij 0 i j
Ejemplo:
B
Un caso particular de matriz escalar es la matriz identidad que es una matriz
escalar con todo unos en la diagonal principal. Se denota por In (identidad de
orden n)
I (^) n Mnxn identidad aii 1 i 1 ,.., n aij 0 i j
Ejemplo:
I 3
2.2.6 Matriz nula
Es una matriz que tiene todos sus elementos nulos. Se representa por O.
O Mnxn escalar aij 0 i , j 1 ,.., n
Ejemplo:
O
2.2.7 Matriz opuesta de otra matriz
Dada una matriz A Mmxn se llama matriz opuesta de A y se denota por – A, a la
matriz formada por los elementos opuestos de A respetando sus correspondientes
lugares.
Ejemplo:
A A
3. Operaciones con matrices
3.1 Suma de matrices
3.1.1 Definición:
Dadas las matrices A a^ ij y B b^ ij de la misma dimensión mxn, la suma de A
y B es otra matriz de dimensión mxn cuyos elementos se obtienen sumando los
elementos que ocupan el mismo lugar
Sean A Mmxn yB Mmxn A B S S Mmxnysij aij bij i 1 ,..., m j 1 ,..., n
3.1.2 Propiedades
Sean las matrices A Mmxn , B Mmxn y C Mmxn
Asociativa: A+(B+C)=(A+B)+C
Elemento neutro A+O=A O=matriz nula
Elemento opuesto A+(-A)=O -A=matriz opuesta
Conmutativa A+B=B+A
Ejercicio:
Determinar el valor de a, b, c, d, e y f en la siguiente operación
f
e d
c b
a
Una vez determinados los valores de las letras hallar la diferencia de las dos
primeras matrices.
3.3 Multiplicación de matrices
El producto de dos matrices A a (^) ij de dimensión mxn y B b (^) ij de dimensión
nxp es otra matriz C c (^) i , j de dimensión mxp cuyo elemento cij resulta de multiplicar
escalarmente el vector fila i-ésimo de A por el vector columna j-ésimo de B
m
q
cij aibj aibj aibj aimbmj aiqbqj 1
Obsérvese que en general dos matrices A yB cualesquiera no se pueden
multiplicar. Es condición indispensable para poder hacerlo que el número de columnas
de A coincida con el número de filas de B.
Ejemplo:
2 4 x 4 3 x 2 3 x
^
^
^
3.3.1 Propiedades
- No es conmutativo A B B A
A B A B B A
Dado que el producto no es conmutativo hay que indicar el orden en que se van a
multiplicar, por ejemplo, A.B indica que A multiplica a B por la izquierda.
En el caso que existan dos matrices A y B tal que A.B=B.A se dicen que A y B
conmutan.
- Si A.B=0 esto no implica necesariamente que A=0 ó B=0.
Ejemplo:
A B y AB
- Si A. C A. B no implica C=B.
Ejemplo:
Luego AB AC y B C
A B C AB AC
Asociativa A(BC)=(AB)C
Elemento neutro A.I=I.A=A
Distributiva A(B+C)=AB+AC
Ejercicios:
1.- Sean
A B calcular A.B, A^2 , B^2 , (A+B)^2
2.- Calcular los valores de x e y que verifican las siguientes igualdades:
a)
1 x y y
x sol. x=0; y=
b)
y
x y
x sol. x:=10/t; y=t tЄR
3.- Calcular todas las matrices que conmutan con la matriz
A
sol : B ^ d^ ^ c^ 2c c d
4.- Dadas las siguientes matrices, calcular cuando sea posible las operaciones
indicadas:
A B C D F G
a) 2A b) B+C t c) A+B t d) A+BC
e) G+BC f) G+CB g) FB+5D t h) 3C+2B t
La trasposición de matrices permiten definir tres nuevos tipos de matrices:
simétricas, antisimétricas y ortogonal.
A Mnxn A es simétrica A=At^ (simétrica respecto a la diagonal principal)
Ejemplo:
A
A Mnxn A es antisimétrica (^) A=-At
Por su forma se reconocen por que tienen opuestos los elementos simétricos
respecto de la diagonal principal y nulos los elementos de esta.
Ejemplo:
A
A Mnxn A es ortogonal A.A t =I (A t =A
Ejercicios
1.- Demostrar que el producto de dos matrices ortogonales es un matriz ortogonal.
2.- Si A es antisimétrica demostrar que A 3 y A 5 son antisimétricas.
3.- Si A es antisimetrica demostrar que A^2 y A^4 son simétricas
5. Matriz inversa
Dada una matriz A Mnxn (cuadrada) diremos que A
- es su inversa si se verifica que
A.A
No todas las matrices cuadradas tienen inversa. Cuando una matriz tiene inversa
la denominamos regular o inversible ; en caso contrario decimos que es singular.
5.1 Propiedades
El producto de matrices regulares es regular y además 1 1 (^1) AB B A
La matriz inversa si existe es única.
A A 1 ^1
1 ^1 t
t A A
5.2 Cálculo de la matriz inversa
Existen tres posibilidades: por la definición, por el método de Gauss-Jordan y por
adjuntos.
5.2.1 Por la definición
Vamos a verlo mediante un ejemplo.
Sea
z t
x y z t
x y A A
1 / 3 2 / 3
A
z t
x y y t
y t x z
x z
Este proceso es ya engorroso para matrices de dimensión 2x2, y se complica
mucho más si aumentamos la dimensión.
Veamos otra forma de calcular la inversa.
iv) Se repite el mismo proceso pero a la inversa; es decir, hasta conseguir ceros por
encima de la diagonal principal
(^1 3 1 2 )
F F F F I A
1
A
^
Ejemplo 2:
A
En este caso el pivote es 3, haremos que sea 1.
i) Planteados la matriz (A/I)
A / I
ii) Hacemos que el pivote sea 1 y con la 1ª fila se hacen ceros a los primeros
elementos del resto de las filas:
1 3 2 1 3 1
4 2
F F F F F F
^ ^ ^ ^ ^
^ ^
iii) Ahora el pivote es el -7, como no es fácil convertirlo en 1, sin utilizar fracciones,
hacemos lo siguiente para hacer ceros a los segundos elementos de las filas
siguientes:
7 F 3
3 42 3
F F F
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
se procede así hasta tener todo ceros por debajo de la diagonal principal.
iv) Se repite el mismo proceso pero a la inversa; es decir, hasta conseguir ceros por
encima de la diagonal principal
2 3 2
1 3
9 /( 7)
2
F F F
F F
1 2 2
F F
1
A
^
Ejemplo 3: Calcular la inversa de
A
^
1 2
F F A I
^ ^ ^
2 2 1 1 0 1^1 21 0 1^1
F F ^ ^ F ^
^ ^
A
^
^
5.2.3 Adjuntos.
Este apartado lo veremos cuando estudiemos los determinantes.
Ejercicios:
Hallar la matriz inversa de las matrices:
A
B
Sol.
A^1
B^1
6.1 Rango de una matriz
Definición: El rango o característica de una matriz es el número de filas o columnas
(líneas) linealmente independientes.
Sea A M (^) m n , ran A ( ) ran F 1 (^) ,..., Fm (^) ran C 1 ,..., Cn
Existe un teorema que nos dice que en una matriz el número de filas L.I. es igual
al número de columnas L.I., esto nos permite fijarnos únicamente en uno de los dos.
Existe una relación directa entre el rango de una matriz y la existencia de su inversa:
“ Una matriz cuadrada de orden n A Mn n , tiene inversa siempre y cuando su rango sea n”
1 A M (^) n n , , A ran A ( ) n
Ejemplo.
Sea la matriz
C calcular su rango.
Primero observamos si existe alguna relación entre sus líneas. A simple vista no
se ve ninguna.
Entonces procedemos a comprobarlo por la definición:
1 2 2 0 2 1 1 0 3
sistemaincompatible conlosvaloresde y anteriores
=> no existe ningún valor de λ, β no nulo que verifique igualdad
=> son L.I. y por tanto ran(B)=3.
( Nota: B M 3,3 y ran(B)=3 quiere decir que B es regular i.e. B ^1 )
Este método es un tanto laborioso.
Veamos otro método para calcular el rango de una matriz
6.2 Método de Gauss-Jordan para el cálculo del rango
Este método ya se ha utilizado para el cálculo de la matriz inversa, ahora lo
utilizaremos para calcular el rango de una matriz.
Para los siguientes resultados consideramos una “línea” tanto a una fila como a una
columna.
Tengamos en cuenta que a la hora de calcular el rango de una matriz, éste no varía
si:
- Se realizan transformaciones elementales con las “líneas”. Recordemos las
transformaciones elementales:
a) Intercambiar “líneas”.
b) Multiplicar una “línea” por un número no nulo.
c) Sumar a una “línea” otra multiplicada por un número no nulo.
Se suprime una “línea” nula.
Se suprime una “línea” proporcional a otra.
Se suprime una “línea” que es combinación lineal de otras.
Se traspone la matriz.
El método de Gauss-Jordan, consiste en reducir una matriz a su forma escalonada
realizando trasformaciones elementales que sabemos no modifican el rango.
Un método general consiste en hacer ceros por debajo de la hipotética “diagonal
principal”. Obteniendo así una matriz escalonada. Si en esta matriz escalonada
eliminamos las “líneas” no nulas “es evidente” que el número de “líneas” no nulas que
quedan son L.I. Por tanto en una matriz escalonada su rango coincide con el menor
número de “líneas” no nulas que tiene.
Importante: El rango de un matriz es igual al menor número de “líneas” no nulas que
quedan al reducirla a una matriz escalonada
5.- Estudiar para que valore de “m” la matriz
E m m
tiene inversa.
E m
m
^
2 1 2 1 1 3 1
2 /
^
C C F F C m^ F F m m m
1
si m ran E
si m ran E
si m m ran E n E
6.- Calcular el rango de
a F
a
^
según los valores de “a”.
2 1 1 2 3 1 2 3
4 21
F F C C F F C C
F F
a a a F
a a a
^ ^
^ ^ ^ ^ ^
0 0 0 3
3 4
3 4
3 2
4 2 a
a a
a
a a
a
a
a
a C C
F F
F F
F F
Llegados a este punto los valores críticos son aquellos que evitan que la matriz
sea escalonada con “líneas” no nulas i.e. 3 0 3
a a
a a
Entonces:
Si a≠3 => ran(F)=
Si a=3 =>
F* 2
ran F
^
Ejercicios:
1.- Determinar el rango de cada una de las siguientes matrices:
A
B
C
D
E
F
G
H
Sol: ran(A)=2, ran(B)=3, ran(C)=2, ran(D)=3, ran(E)=4, ran(F)=3, ran(G)=3, ran(G)=
2.- Determinar, en función del parámetro , el rango de cada una de las siguientes
matrices:
A
B
C
D
) 1 2 1 3 b) 19 / 7 2 19 / 7 3 c) 3 1/ 2 2 3 1/ 2 3 d) 1 2 1 3
a si ran A si ran A si ran B si ran B si ran C si ran C si ran D si ran D
3.- Discutir según los valores de “a” el rango de A con
a
a
a
a
A
