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PARA GRADO DECIMO PROFESOR CARLOS HERNAN ORTEGA
RELACIONES TRIGONOMETRICAS
En la guía anterior vimos como relacionar los lados de un triángulo rectángulo por medio del teorema de Pitágoras en esta guía observáremos como relacionar dos lados y un ángulo en un triángulo rectángulo mediante las relaciones trigonométricas.
Para ello debemos identificar en un triángulo rectángulo el nombre de sus lados
Sea al angulo rojo
Sea el angulo verde
Si hablamos del ángulo de color rojo ( la hipotenusa es h ; el cateto opuesto al ángulo rojo es
o y el cateto adyacente al ángulo rojo es c.
Si hablamos del ángulo de color verde ( la hipotenusa es h ; el cateto opuesto al ángulo
verde es c y el cateto adyacente al ángulo verde es o.
el cateto opuesto es el lado del triángulo rectángulo que se opone al ángulo del que estoy hablando y el cateto adyacente es el lado del triángulo rectángulo que contiene el ángulo del que estoy hablando.
DEFINICION DE LAS RELACIONES TRIGONOMETRICAS
Estudiaremos 6 relaciones trigonométricas
- Seno del ángulo se define como el cateto opuesto sobre la hipotenusa así:
Si el ángulo es se tiene que
- Coseno del ángulo se define como el cateto adyacente sobre la hipotenusa así:
Si el ángulo es se tiene que
- tangente del ángulo se define como el cateto opuesto sobre el cateto adyacente así:
Si el ángulo es se tiene que
- Cotangente del ángulo se define como el cateto adyacente sobre el cateto opuesto así:
Si el ángulo es se tiene que
- Secante del ángulo se define como la hipotenusa sobre el cateto adyacente así:
Si el ángulo es se tiene que
- Cosecante del ángulo se define como la hipotenusa sobre el cateto opuesto así:
Calculamos el lado b mediante el teorema de Pitágoras para ese triángulo
despejando se tiene y √ sustituyendo aquí
tenemos √ luego (^) √ por lo tanto (^) √
LUEGO LAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA 60° SON:
RELACIONES TRIGONOMETRICAS PARA 30°
RELACIONES TRIGONOMETRICAS PARA 45°
- Tomamos un cuadrado de lado 1
- Le trazamos una diagonal obteniendo dos triángulos de 45°
- Tomamos uno de los dos triángulos y por el teorema de Pitágoras hallamos el loado desconocido de dicho triangulo
EJEMPLO 1
Halla todas las relaciones trigonométricas para el ángulo. Solución De este triángulo conocemos para el ángulo el cateto adyacente que es c=4m y la hipotenusa que es a=6m debo hallar el cateto opuesto para poder encontrar todas las relaciones trigonométricas para el ángulo. por medio del teorema de Pitágoras hallo el lado que me hace falta o sea el cateto opuesto b.
√ √ (^) √ √ √ √ m Ya conociendo el valor de b hallamos todas las relaciones trigonométricas para el ángulo
Cateto adyacente c=4m Cateto opuesto b= √ hipotenusa a=6m
EJEMPLO 2
Sea
Solución Lo primero que debo realizar es un triángulo rectángulo ubicando el ángulo y los lados del triángulo rectángulo que me están dando en la relación trigonométrica.
Como entonces sé que el cateto opuesto= 5 y el cateto
adyacente=3 ahora si dibujemos un triángulo rectángulo.
Con el teorema de Pitágoras encontramos el lado que me hace falta que es la hipotenusa
√ √ √ √ Ya conociendo todos los lados puedo encontrar las relaciones trigonométricas para
Cateto adyacente b=3 cateto opuesto c=5 hipotenusa a=√
EJEMPLO 4
1. Solucionar este triángulo (solucionar un triángulo es hallar todos los lados que faltan y todos sus ángulos y su área) usando el teorema de Pitágoras y/o las relaciones trigonométricas
SOLUCION
Como conozco dos ángulos puedo hallar el tercero porque sabemos que la suma de los ángulos interiores de cualesquier triángulo debe sumar 180° esto es:
Luego ya conozco la medida de todos los ángulos.
Ahora vamos a encontrar la medida de sus lados no puedo utilizar el teorema de Pitágoras porque solo conozco la medida de uno de sus lados entonces nos vemos obligados a utilizar una relación trigonométrica. Puedo usar el cateto opuesto al ángulo el ángulo y el lado a o b. Yo voy a tomar estos datos c=4cm Como c=4cm es un cateto opuesto al ángulo y b es la hipotenusa utilizo la relación trigonométrica seno.
Luego
Ahora hallamos la medida del lado a como conozco dos lados puedo usar el teorema de Pitágoras como a es un cateto entonces se tiene que:
√ √ √ √
Ya quedo solucionado el triángulo rectángulo con todos sus lados y todos sus ángulos.
Hallemos ahora el área del triángulo
PRIMERA PATE DEL TALLER DE REFUERZO
Lee cuidadosamente la teoría y los ejemplos para realizar el siguiente taller
- Hallar todas las relaciones trigonométricas para
- Halla todas las relaciones trigonométricas para
- Halla todas las relaciones para
