¡Descarga relatividad y más Apuntes en PDF de Mecánica solo en Docsity!
1.3. El grupo de Lorentz 19
1.3. El grupo de Lorentz
1.3.1. Generalidades
Definici´on 1.3.1 Llamaremos el espaciotiempo de Lorentz-Minkowski al espacio vectorial lorentziano Ln^ = (Rn, 〈·, ·〉), n ≥ 2 donde 〈·, ·〉 denota en adelante el producto escalar 〈·, ·〉 1 del Ejemplo 1.1.9.
Sea B 0 = (e 1 ,... , en) la base usual de Rn. Denotemos:
η = MB 0 (〈·, ·〉) =
0 In− 1
Definici´on 1.3.2 Se define el grupo de las transformaciones de Lorentz como:
Iso(Ln) = {f : Ln^ −→ Ln^ | f es una isometr´ıa vectorial},
y el Grupo de Lorentz como^6 :
O 1 (n) = {A ∈ Mn(R) / AtηA = η}.
Fijada cualquier base ortonormal B de Ln, se puede construir el isomorfismo de grupos Iso(Ln) −→ O 1 (n) que a cada transformaci´on de Lorentz f le hace corresponder su matriz, f → M (f, B). En particular fijando B = B 0 (base usual de Rn) se tiene:
Φ : Iso(Ln) −→ O 1 (n)
Φ(f ) = Af = M (f, B 0 ).
Denotaremos fA = Φ−^1 (A). Todo ello es an´alogo al caso eucl´ıdeo entre Iso(Rn) y O(n).
Observaci´on 1.3.3 Como AtηA = η se tiene:
(det A)^2 = 1 ⇒ det fA = ± 1.
Definici´on 1.3.4 Diremos que una transformaci´on de Lorentz, f , es propia si det f (= det Af ) = 1 , e impropia en caso contrario^7. Al subgrupo de las transformaciones de Lorentz propias las notaremos por Iso+(Ln) (resp. ), y al subgrupo isomorfo Φ(Iso+(Ln)) por O 1 + (n) (an´alogamente para las impropias Iso−(Ln), O− 1 (n)).
(^6) Si consideramos a Ln (^) como un espacio af´ın lorentziano (an´alogo a un espacio af´ın eucl´ıdeo, pero dotado con un producto escalar lorentziano), al grupo de las afinidades que preservan el producto escalar lorentziano se le llama Grupo de las Transformaciones de Poincar´e, y al correspondiente grupo matricial grupo de Poincar´e. (^7) Recordemos que los automorfismos de un espacio vectorial con determinante positivo se corresponden son aqu´ellos que respetan la orientaci´on de las bases (ordenadas); as´ı, si f ∈AutRV , equivalen: (1) det f > 0, (2) existe una base ordenada B tal que f∗(B) tiene igual orientaci´on que B, (det(M (IV , B ← f∗(B)) > 0), y (3) para toda base ordenada B, se tiene que la orientaci´on de f∗(B) es igual que la de B.
20 Cap´ıtulo – 1. Espacios vectoriales lorentzianos. Relatividad Especial
A partir de la base usual B 0 = (e 1 ,... , en) de Ln, se fija la orientaci´on temporal est´andar:
{ Cono causal futuro C↑^ : aqu´el al que pertenece e 1 , Cono causal pasado C↓^ : aqu´el al que pertenece − e 1.
Observaci´on 1.3.5 Sea f una transformaci´on de Lorentz,
Af =
a 11 · · · a 1 n .. .
an 1 · · · ann
Obs´ervese que: −1 = 〈f (e 1 ), f (e 1 )〉 = −a^211 + a^221 +... + a^2 n 1 ,
luego |a 11 | ≥ 1. Como 〈e 1 , f (e 1 )〉 = −a 11 , entonces:
a 11 ≥ 1 ⇔ f (e 1 ) ∈ C↑^ ⇔ f (C↑) = C↑^ ⇔ f (C↓) = C↓,
y a 11 ≤ − 1 ⇔ f (e 1 ) ∈ C↓^ ⇔ f (C↑) = C↓^ ⇔ f (C↓) = C↑.
Definici´on 1.3.6 Sea f una transformaci´on de Lorentz, diremos que f es ortocrona si f (C↑) = C↑. Denotaremos por Iso↑(Ln) al subgrupo de las transformaciones ortocronas y O↑ 1 (n) = Φ(Iso↑(n)). An´alogamente, denotaremos al conjunto de las transformaciones no ortocronas como Iso↓(Ln), y O 1 ↓ (n) = Φ(Iso↓(Ln)).
Combinaremos la notaci´on de manera obvia para las transformaciones propias ortocronas (O+ 1 ↓(n), etc.)
Proposici´on 1.3.7 Sea f ∈ Iso(Ln), equivalen:
(1) f ∈ Iso↑(Ln),
(2) existe v ∈ Ln^ causal tal que 〈v, f (v)〉 < 0 ,
(3) ∀v ∈ Ln^ temporal se verifica 〈v, f (v)〉 < 0 ,
(4) en cualquier base ortonormal el elemento (1, 1) de la matriz de f es mayor que cero (y, de hecho, mayor o igual que 1).
Demostraci´on : Es consecuencia del Ejercicio 1.2.8 y de la Observaci´on 1.3.5. Q.E.D.
22 Cap´ıtulo – 1. Espacios vectoriales lorentzianos. Relatividad Especial
Caso I: f (u) = λu (λ 6 = 0). Teniendo en cuenta que f ∈ Iso(L^2 ) y, en particular, 〈u, v〉 = 〈f (u), f (v)〉 se deduce que f (v) = (^1) λ v, con lo cual:
M (f, B) =
λ 0 0 1 /λ
De aqu´ı se sigue que f ∈ Iso+(L^2 ), (det f = 1), y f ∈ Iso↑(L^2 ) si y s´olo si λ > 0.
Caso II: f (u) = λv. An´alogamente al caso anterior, se deduce ahora f (v) = (^) λ^1 u, con lo cual:
M (f, B) =
0 1 /λ λ 0
Luego f ∈ Iso−(L^2 ), y f ∈ Iso↓(L^2 ) si y s´olo si λ > 0. En cualquier caso, la matriz es diagonalizable y admite una base ortonormal de vectores propios.
Por tanto, es inmediato que, si f ∈ Aut(L^2 ), entonces:
Af ∈ O+ 1 ↑(2) ⇔ M (f, B) =
λ 0 0 1 /λ
para alg´un λ > 0 ⇔
⇔ M (f, B 0 ) = P M (f, B)P −^1 =
λ + 1/λ λ − 1 /λ λ − 1 /λ λ + 1/λ
para λ > 0 ⇔
⇔ M (f, B 0 ) =
cosh θ senh θ senh θ cosh θ
donde θ = ln λ ∈ R. Con las otras tres partes conexas de O 1 (2) se puede razonar de modo semejante (o componer/multiplicar con las matrices del Ejemplo 1.3.8); en resumen, se obtiene:
Isometr´ıas con determinante 1: todas admiten una base de vectores propios luminosos y:
O+ 1 ↑(2) =
cosh θ senh θ senh θ cosh θ
: θ ∈ R
; O+ 1 ↓(2) =
−A : A ∈ O+ 1 ↑(2)
Isometr´ıas con determinante -1: todas admiten una base ortonormal de vectores propios y:
O−↑ 1 (2) =
cosh θ senh θ −senh θ − cosh θ
: θ ∈ R
; O−↓ 1 (2) =
−A : A ∈ O−↑ 1 (2)
Remarquemos que, a diferencia del caso eucl´ıdeo, todas estas matrices son diagonalizables. A las transformaciones de Lorentz propias ortocronas en dimensi´on 2 se les suele llamar puras o, en la jerga usual de Relatividad, “boosts”. Como veremos, cualquier transformaci´on de Lorentz ortocrona en dimensi´on 4 puede esencialmente escribirse como composici´on de un transformaci´on de Lorentz pura y una isometr´ıa eucl´ıdea tridimensional. Ello hace que, para las interpretaciones de los efectos relativistas, los “boosts” resulten paradigm´aticos.
1.3. El grupo de Lorentz 23
Observaci´on 1.3.9 (Interpretaci´on de θ). Sean v, w dos vectores temporales en el mismo cono. En el caso lorentziano definimos el ´angulo hiperb´olico ϕ ≥ 0 entre ambos a partir de la desigualdad de Cauchy-Schwarz invertida. Ello resulta an´alogo a lo que sucede en el caso eucl´ıdeo, donde se define el ´angulo ϕ ∈ [0, π] entre cualesquiera dos vectores no nulos. Tanto en el caso lorentziano como en el eucl´ıdeo, si el espacio vectorial est´a orientado (y es bidimensional) se puede dotar de un signo a ϕ. As´ı, ϕ se considera negativo si y s´olo si el par (v, w) forma una base ordenada negativamente orientada. Se obtiene as´ı un ´angulo hiperb´olico orientado ϕ(v, w) ∈ R (en el caso eucl´ıdeo se tiene ϕ(v, w) ∈ (−π, π], aunque algunos autores consideran modificaciones obvias, de modo que ϕ(v, w) ∈ [0, 2 π)). Como ejercicio, se dan dos caracterizaciones de ϕ(v, w), tambi´en an´alogas a las eucl´ıdeas.
Ejercicio 1.3.10 Sea (V, g) un e.v. lorentziano bidimensional orientado. Demu´estrese:
(A) Existe un ´unico tensor 2-covariante antisim´etrico det que verifica: det(u, u′) es el determinante de la matriz cuyas columas son, ordenadamente, las coordenadas de u y u′^ en cualquer base ortonormal positivamente orientada (para todo u, u′^ ∈ V ).
(B) Sean v, w dos vectores temporales unitarios en el mismo cono. Entonces: (B1) senh(ϕ(v, w)) = det(v, w). (B2) Si se consideran las ´unicas bases positivamente orientadas Bv = (v, v 2 ), Bw = (w, w 2 ) obtenidas respectivamente de v y w, entonces ϕ(v, w) coincide con el ´unico valor de θ (seg´un la forma expl´ıcita de O+ 1 ↑(2) demostrada arriba) determinado por la matriz M (IV , Bv ← Bw).
(C) Sean v, w dos vectores temporales en el mismo cono. Entonces ϕ(v, w) es el ´unico n´umero real que verifica: det(v, w) = |v||w| senh(ϕ(v, w)), −g(v, w) = |v||w| cosh(ϕ(v, w)).
1.3.3. Algunas propiedades del grupo de Lorentz en dimensi´on superior
Lema 1.3.11 Sea A ∈ O 1 (n). Entonces:
(1) Los posibles vectores propios no luminosos de A tienen como valores propios +1 ´o − 1.
(2) El producto de los autovalores de dos vectores propios luminosos independientes es 1.
(3) Si U es un subespacio propio de A que contiene un autovector no luminoso, entonces cualquier otro subespacio propio es ortogonal a U.
(4) Si U es un subespacio invariante por A, entonces U ⊥^ es invariante por A.
Demostraci´on : (1) Sea v un vector propio no luminoso de A, Av = av, entonces:
〈v, v〉 = 〈Av, Av〉 = a^2 〈v, v〉 ⇒ a = ± 1.
1.3. El grupo de Lorentz 25
- Π es temporal: Se termina deduciendo la existencia de un vector propio no espacial gracias a nuestro estudio en dimensi´on 2 para A|Π.
- Π es espacial: Tambi´en se termina en este caso aplicando la hip´otesis de induccci´on al subespacio, invariante por A, Π⊥. (N´otese que si, en el proceso inductivo, dimΠ⊥^ = 1, entonces el resultado se sigue trivialmente).
- Π es luminoso. Sea v un generador del radical Π ∩ Π⊥. Por la proposici´on 1.3.11 (4) se tiene A(v) ∈ Π ∩ Π⊥, y v es un vector propio luminoso.
Q.E.D.
Lema 1.3.13 Supongamos que A admite un vector propio luminoso v, con valor propio λ 6 = ± 1. Entonces A deja invariante un plano temporal Π, v ∈ Π.
Demostraci´on : Este resultado ser´a demostrado por inducci´on sobre n. Para n = 2 se tiene trivialmente, Π = L^2. Supong´amoslo cierto para naturales menores que n, y ve´amoslo para n: sean λ 1 ,... , λn ∈ C las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico de A, y escojamos λ 1 = λ. Supongamos que todas ellas son reales, entonces como det Af = ±1 se tiene que:
λ 1 · · · λn = ± 1
Por tanto exite un valor propio λi 6 = ±1, i ∈ { 2 ,... n}, que por ser distinto de ±1 corresponder´a a un vector propio, w, luminoso no proporcional a v, (λi 6 = λ 1 ). De esto se deduce que el plano generado por v y w, que es invariante por A, es temporal. Por otro lado, si suponemos que no todos los valores propios son reales, podemos razonar como en la demostraci´on del lema anterior, con la ayuda de una ra´ız compleja no real a, la existencia de un plano Π, invariante por A, tal que Π∩ < v >R= 0. Distinguimos casos:
Π es temporal: No podr´ıa darse esta situaci´on, pues la restricci´on de A a Π ser´ıa diagonali- zable, con lo que a ser´ıa real.
Π es espacial: Tambi´en se termina en este caso, aplicando la hip´otesis de inducci´on al subes- pacio, invariante por A, Π⊥^.
Π es luminoso: Razonando de nuevo como en la demostraci´on del lema anterior, se tiene que el radical de A|Π es de dimensi´on 1, y queda invariante por A. Es decir, existe w ∈ Π luminoso tal que A(w) = ηw. Con lo cual existen dos vectores propios luminosos v, w linealmente independientes (recu´erdese que Π∩ < v >R= 0), luego el plano < v, w >R es un subespacio invariante por A, y es temporal (Proposici´on 1.2.11).
Q.E.D.
26 Cap´ıtulo – 1. Espacios vectoriales lorentzianos. Relatividad Especial
Teorema 1.3.14 Sea A ∈ O 1 (n), y fA ∈ Iso(Ln) su correspondiente transformaci´on de Lorentz. Entonces se tiene uno de los siguientes tres casos excluyentes:
(1) A admite un vector propio temporal, (⇒ ∃B base ortonormal tal que M (fA, B) ∈ {± 1 }×O(n− 1)). Si A ∈ O+ 1 ↑(n) se dice que fA es una rotaci´on espacial pura (en el hiperplano ortogonal al vector propio).
(2) A admite un vector propio luminoso con autovalor λ 6 = ± 1 , (⇒ ∃B base ortonormal tal que M (fA, B) ∈ O 1 (2)×O(n−2)). En este caso fA es una transformaci´on de Lorentz bidimensional en un plano temporal π compuesto con una isometr´ıa eucl´ıdea en el ortogonal π⊥.
(3) A admite un ´unico vector propio luminoso independiente de autovalores +1 o − 1.
Demostraci´on : Razonando por inducci´on, para n = 2 se sigue del estudio de O 1 (2) hecho ante- riormente y, de hecho, s´olo son posibles los casos (1) y (2). Supuesto que el teorema es cierto para n − 1, razonemos para n. Por el lema 1.3.12, existe un vector propio v no espacial, Av = λv. Distinguimos los casos:
Si v es temporal se tiene (1) (v´ease tambi´en el lema 1.3.11(4)).
Si v es luminoso, puede ocurrir:
- Si λ 6 ∈ {± 1 } se tiene (2) por el lema 1.3.13.
- En cambio, si λ ∈ {± 1 }, y suponemos que no se da la posibilidad (3), es decir que el vector v no es ´unico, veamos que se da la opci´on (1): Sea w otro vector propio luminoso linealmente independiente de v, como por (2) del lema 1.3.11, los valores propios de w y v son iguales, se sigue que o bien u + w, o u − w es un vector propio temporal.
Veamos, para terminar la prueba, que los casos son excluyentes. Por (2) del lema 1.3.11, las posibilidades (2) y (3) son excluyentes. Si suponemos que se da (1), sea v un vector propio temporal Av = av, a = ±1, y comprobemos que no son posibles los casos (2) ni (3). Si w es un vector propio luminoso Aw = bw necesariamente a = b = ±1 (pues 0 6 = 〈v, w〉 = 〈fAv, fAw〉 = ab〈v, w〉), lo que excluye la posibilidad (2). Pero entonces el plano temporal < v, w >R est´a formado por vectores propios de autovalor a, lo que excluye (3). Q.E.D.
El ejercicio m´as abajo muestra expl´ıcitamente que la posibilidad (3) puede darse. Pese a ello, en dimensi´on 4 tambi´en se verifica que toda transformaci´on de Lorentz puede escribirse como composici´on de una isometr´ıa para un plano temporal π 1 (que deja invariante π 1 ⊥ ) y una isometr´ıa en un plano espacial π 2 (que deja invariante π⊥ 2 ) no necesariamente ortogonal a π 1. En Relatividad, se alude frecuentemente a este resultado diciendo que las transformaciones de Lorentz (propias, ortocronas) son composiciones de “boosts” y rotaciones. La demostraci´on puede llevarse a cabo
28 Cap´ıtulo – 1. Espacios vectoriales lorentzianos. Relatividad Especial
1.4. Relatividad Especial
1.4.1. Fundamentos f´ısicos
El hecho fundamental por el que se introdujo la Teor´ıa de la Relatividad es el siguiente: la veloci- dad de la luz tiene que ser independiente del sistema de referencia inercial considerado para medirlo. A esta velocidad constante la denotaremos por c, y es igual aproximadamente a 300.000 km./seg. Siempre se puede suponer, como haremos usualmente, que se adopta un sistema de unidades en el que c = 1.
Argumento te´orico sobre la constancia de la velocidad de la luz. Se apoya en los siguien- tes hechos, bien conocidos por los f´ısicos del siglo XIX:
La velocidad de propagaci´on de una onda depende del medio en que se propaga. Ello debiera cumplirse para la luz, que es una onda electromagn´etica. De hecho, en Elec- tromagnetismo las ecuaciones de Maxwell permiten deducir la velocidad de propagaci´on de la luz respecto al medio en que se propaga. Pero el medio en el que se propaga la luz es el vac´ıo, el cual se supone que es “el mismo” para todos los “observadores inerciales”.
Argumento experimental sobre la constancia de la velocidad de la luz. Experimento de Michelson-Morley: Esencialmente, se midi´o la misma velocidad de la luz proveniente del Sol sobre un punto de la Tierra, cuando ´este tiende a acercarse a aqu´el con su movimiento de rotaci´on y cuando tiende a alejarse.
Implicaciones. La constancia de la velocidad de la luz implica que no se verifique la “regla habitual de suma de velocidades”, lo que conlleva sorprendentes consecuencias para quien est´e habituado a las ideas newtonianas cl´asicas de “tiempo” y “longitud”, como el siguiente ‘experimento pensado’ sugiere. El experimento consiste en observar un rayo de luz que parte del suelo y rebota en un espejo A, desde dos sistemas de referencia O y O′^ “inerciales” a velocidad constante v 6 = 0; el espejo se mueve solidariamente con el observador O′^ a la velocidad v respecto a O (ver figura). La expresi´on del tiempo transcurrido en cada sistema de referencia es:
T ′^ =
2 a′ c
T =
2 b c
donde b =
L 2
- a^2 , L es la distancia que mide O entre el punto del que parte el rayo y el punto al que llega, y c es la velocidad de la luz. Por la simetr´ıa cl´asica entre derecha e izquierda
1.4. Relatividad Especial 29
supondremos^9 a′^ = a. Tenemos entonces:
T =
2 b c
c
L
c
vT 2
cT ′ 2
ya que L = vT. Por tanto, T 2 = (v^2 T 2 /c^2 ) + T ′^2 y, finalmente:
T =
T ′
1 − v c 22
Esto es, abstrayendo la situaci´on: cuando O′^ observa un primer suceso y, tras un tiempo T ′, un segundo suceso, que sucede en el mismo punto del espacio para O′^ que el primer suceso, entonces cualquier otro sistema de referencia inercial O que se mueve a velocidad constante v respecto a O′^ debe medir que, entre los dos sucesos, transcurre un tiempo superior T = (1 − v^2 /c^2 )−^1 /^2 T ′ (“dilataci´on del tiempo” –para el observador O que percibe los sucesos en puntos distintos del espacio, por lo que se mueve respecto a ellos).
M´as a´un. Podemos preguntarnos por la distancia L′^ que el observador O′^ mide entre los puntos en que O ve salir y llegar al rayo. Estos dos puntos se pueden considerar fijos a una distancia L para O. Pero para O′^ los puntos se mueven hacia ´el, con lo que O′^ ve pasar al primero con una
(^9) La ´unica diferencia entre los dos observadores es que, para uno de ellos, el otro se mueve hacia la derecha, mientras que para el otro, el primero se mueve hacia la izquierda; no parece que esto deba influir en la medici´on de una longitud perpendicular a la direcci´on del movimiento relativo entre ambos.
1.4. Relatividad Especial 31
Se sabe que, fijado un punto P 0 ∈ A se tiene la identificaci´on natural entre A y V :
A → V Q 7 →
P 0 Q.
En adelante, el punto P 0 siempre se supone siempre prefijado. Por O y O′^ representaremos dos sistemas de referencia inerciales y, en general, supondremos por simplicidad que sus rectas afines pasan siempre por el punto com´un P 0 , por lo que ambos observadores identifican del mismo modo A y V. Dado el vector de V , v = te 0 + x^1 e 1 + x^2 e 2 + x^3 e 3 (identificado con el punto P 0 +v ∈ A) llamaremos a (t, x^1 , x^2 , x^3 ) las coordenadas respecto a O de v (o indistintamente del punto P 0 + v ∈ A). An´alogamente, (t′, (x^1 )′, (x^2 )′, (x^3 )′) son las coordenadas respecto a O′^ del vector t′e′ 0 + (x^1 )′e′ 1 + (x^2 )′e′ 2 + (x^3 )′e′ 3 ∈ V ≡ A. Con este convenio, la siguiente definici´on tiene un significado inequ´ıvoco.
Definici´on 1.4.4 El espacio en reposo del sistema de referencia inercial O en el instante t 0 es el hiperplano af´ın de A de ecuaci´on t ≡ t 0 en las coordenadas introducidas por O.
Definimos a continuaci´on la trayectoria que mide O de O′. Para ello, se supone que f´ısicamente O reparametriza con su coordenada temporal al observador no acelerado {se′ 0 |s ∈ R}. Con m´as precisi´on: al tomar las coordenadas de e′ 0 en O tenemos:
e′ 0 = T e 0 + X^1 e 1 + X^2 e 2 + X^3 e 3 = T
e 0 +
X^1
T
e 1 +
X^2
T
e 2 +
X^3
T
e 3
La trayectoria que mide O del observador O′^ es la curva en 〈e 1 , e 2 , e 3 〉R = e⊥ 0 < V :
t 7 → t
X^1
T
e 1 +
X^2
T
e 2 +
X^3
T
e 3
y la tri-velocidad que mide O del observador O′^ es su derivada:
→ v (^) =
X^1
T
e 1 +
X^2
T
e 2 +
X^3
T
e 3.
Como e′ 0 es temporal unitario futuro, se tiene que −1 = −T 2 +
i=1(X
i) (^2) , con lo cual T ≥ 1, y
por tanto:
|
→ v |^2 =
∑^3
i=
Xi T
T 2
Obs´ervese adem´as que, escribiendo
→ v (^) = vxe 1 + vy e 2 + vz e 3 y v^2 = | → v (^) |^2 , se tiene en las coordenadas de O:
e′ 0 ≡ (
1 − v^2
vx √ 1 − v^2
vy √ 1 − v^2
vz √ 1 − v^2
32 Cap´ıtulo – 1. Espacios vectoriales lorentzianos. Relatividad Especial
Ejercicio 1.4.5 Dar definiciones an´alogas para la trayectoria y la velocidad que un observador mide de una trayectoria de luz, comprobando que la norma de la velocidad es igual a 1.
Transformaciones de Lorentz cl´asicas
N´otese que los dos sistemas de referencia inerciales O y O′^ a velocidad constante no nula generan el plano temporal 〈e 0 , e′ 0 〉R. Supondremos a continuaci´on, por simplicidad, que e 1 y e′ 1 se hallan en este plano y, adem´as e 2 = e′ 2 y e 3 = e′ 3. Prescindiremos entonces de las coordenadas en e 2
y en e 3 , ya que son las mismas para los dos observadores, y podremos describir la velocidad
→ v mediante un n´umero real v. Veamos a continuaci´on la relaci´on entre las coordenadas de O y las de O′, suponiendo adem´as que las bases inducidas B y B′^ tienen la misma orientaci´on:
O −→ B = (e 0 , e 1 ) O′^ −→ B′^ = (e′ 0 , e′ 1 )
Puesto que la matriz de cambio de base pertenece a O+ 1 ↑(2), existe un θ ∈ R tal que:
M (Id, B ← B′) =
cosh(θ) senh(θ) senh(θ) cosh(θ)
donde → v (^) = senh(θ) cosh(θ) e 1 , v = tgh(θ) ∈] − 1 , 1[.
Como cosh^2 (θ) − senh^2 (θ) = 1, 1 − tgh^2 (θ) = 1/ cosh^2 (θ), se sigue:
cosh^2 (θ) =
1 − v^2
⇒ cosh(θ) =
1 − v^2
⇒ senh(θ) =
v √ 1 − v^2
Por tanto:
M (Id, B ← B′) =
1 − v^2
1 v v 1
Con lo cual, si (t, x) son las coordenadas en O y (t′, x′) son las coordenadas en O′, tenemos las relaciones conocidas como las transformaciones de Lorentz bidimensionales :
t =
1 − v^2
(t′^ + vx′) ≡
1 − v^2 /c^2
(t′^ +
v c^2
x′)
x =
1 − v^2
(vt′^ + x′) ≡
1 − v^2 /c^2
(vt′^ + x′).
Estas transformaciones contrastan con las de Galileo cl´asicas (en an´aloga situaci´on f´ısica, t = t′, x = x′^ + vt′), que se pueden considerar como una aproximaci´on a las de Lorentz cuando v ø c.
34 Cap´ıtulo – 1. Espacios vectoriales lorentzianos. Relatividad Especial
P 0 ≡ (0, 0) y un nuevo suceso P , en la intersecci´on de su espacio en reposo con la recta t −→ (t, L) (v´ease fig.)
As´ı, si el suceso P tiene coordenadas (T, L) para O, y (0, L′) para O′, estar´an relacionadas por:
T =
1 − v^2
vL′, L =
1 − v^2
L′.
Luego L′^ =
1 − v^2 L; lo que nos indica que O′^ observar´a una contracci´on de la longitud en la direcci´on del movimiento (respecto a las longitudes “en reposo” medidas por O).
Paradoja de los gemelos
Este fen´omeno es una consecuencia directa de la desigualdad triangular lorentziana. Consider- emos tres sistemas de referencia inerciales O, O′^ y O′′^ con vectores temporales futuros e 0 , e′ 0 , e′′ 0 respectivamente, que no sean colineales. Supongamos que las rectas afines de estos tres observadores se cortan en los sucesos P, Q, R (v´ease fig.) Sabemos por la Proposici´on 1.2.6:
|P R| > |P Q| + |QR|.
Supongamos ahora que dos gemelos, que se encuentran inicialmente en el suceso P , se separan hasta volverse a encontrar en el suceso R. El primero de ellos lo hace siguiendo una recta af´ın que se identifica con el observador O. El segundo pasa por Q, identific´andose hasta ese suceso con O′ y, a partir de ´el, con O′′. El primer gemelo mide entre los dos encuentros el tiempo propio |P R|. En cambio, el segundo gemelo mide la suma de tiempos propios |P Q| + |QR|, que es inferior. En definitiva, al comparar las medidas tomadas por cada uno de los gemelos, para el primero ha transcurrido m´as tiempo entre los dos encuentros que para el segundo. Ello vale tambi´en para sus “relojes biol´ogicos”: el primer gemelo ha envejecido m´as que el segundo.
1.4. Relatividad Especial 35
Visto as´ı, este fen´omeno no es parad´ojico sino perfectamente leg´ıtimo; de hecho, se tienen muchas evidencias experimentales de ´el. La aparente paradoja proviene al pensar que en un sistema de referencia (¡no inercial!) generado por el segundo gemelo, es el primer gemelo quien “se va y vuelve”. Como veremos m´as adelante, la extrema idealizaci´on que supone la trayectoria no diferenciable en el punto Q no desempe˜na un papel relevante.
Ley de adici´on de las velocidades
Sean O 1 , O 2 , O 3 tres observadores, y B 1 , B 2 , B 3 sus bases ortonormales correspondientes (todas con la misma orientaci´on). Denotaremos:
v 12 la velocidad que mide O 1 de O 2 ,
v 23 la velocidad que mide O 2 de O 3 ,
v 13 la velocidad que mide O 1 de O 3 ,
Nos planteamos el problema: conocidas v 12 y v 23 , ¿cu´al es el valor de v 13? Sabemos que v 12 = tgh(θ 12 ), v 23 = tgh(θ 23 ), v 13 = tgh(θ 13 ),
