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COORDINACIÓN DE RELÉS DE SOBRECORRIENTE EN SISTEMAS RADIALES
UTILIZANDO PROGRAMACIÓN LINEAL
RESUMEN
Este artículo presenta la aplicación del método de programación lineal en la coordinación de relés de sobrecorriente de tiempo inverso en sistemas radiales.
PALABRAS CLAVES: Protecciones eléctricas, relés de sobrecorriente, coordinación de protecciones.
CARLOS J. ZAPATA
Profesor Escuela de Tecnología Eléctrica Universidad Tecnológica de Pereira [email protected]
ABSTRACT
This paper presents the application of the linear programming method for the coordination of inverse time overcurrent protective relays in radial systems.
KEYWORDS: Protective relaying, overcurrent relays, protective relaying coordination.
GERMAN E. MEJÍA
Ingeniero Electricista Universidad Tecnológica de Pereira [email protected]
1. INTRODUCCIÓN
Figura 1. Esquema lógico de un relé de sobrecorriente
Un relé de protección es un dispositivo lógico cuya función es la comparación de una o varias señales de entrada con respecto a una referencia. Si los valores de entrada se desvían de la referencia por encima de un valor de ajuste (Setting) entonces se realiza una acción como disparo (apertura), cierre o alarma. La Figura 1 muestra el esquema lógico de un relé de sobrecorriente.
La corriente es la variable más utilizada en la detección de anomalías en los elementos del sistema eléctrico, dado el elevado incremento que se registra en su valor cuando se presentan fallas. Se define como sobrecorriente a cualquier valor que excede la corriente normal de operación de un dispositivo.
Entre los dispositivos de protección de sobrecorriente más utilizados en sistemas eléctricos están los relés de sobrecorriente y fusibles en todos los niveles de tensión y los interruptores termomagnéticos en baja tensión.
Es de aclarar, que los relés no realizan directamente las maniobras de conexión y desconexión del sistema eléctrico, estas las realiza el equipo de corte y maniobra.
La selectividad o discriminación es la cualidad de un sistema de protección que le permite distinguir entre
aquellas condiciones para las cuales está pensado para operar y aquellas para las cuales no debe operar. El proceso de ajustar la selectividad se denomina “coordinación de protecciones”.
Para un sistema radial, la coordinación de protecciones de sobrecorriente selecciona los ajustes de los relés temporizados de tal manera que operen rápidamente para fallas en su zona y den respaldo a los relés de las zonas ubicadas aguas abajo de su punto de ubicación.
Tradicionalmente, la coordinación de protecciones en sistemas eléctricos ha consistido en la aplicación de procedimientos o algoritmos mediante los cuales se busca empíricamente la optimización. Estos algoritmos se ejecutan en forma manual o con software comercial que asiste en forma gráfica el proceso manual.
Por lo tanto, no existe el planteamiento de un conjunto de ecuaciones que describa el problema de coordinación para obtener la solución óptima mediante técnicas analíticas o numéricas.
Tampoco se conoce si la solución obtenida mediante los procedimientos tradicionales es óptima, puesto que no se analiza todo el espacio solución posible del problema.
Este artículo presenta cómo el procedimiento de coordinación de relés de sobrecorriente de tiempo inverso en sistemas radiales se puede describir como un problema de optimización matemática mediante la técnica de programación lineal y así obtener una solución óptima.
I Disparo CT Si I > I (^) ajuste
2. RELÉS DE DE TIEMPO INVERSO
Figura 2. Curva de operación de un relé de tiempo inverso
En los relés de sobrecorriente temporizados de tipo “tiempo inverso” el tiempo para operación es inversamente proporcional a la magnitud de la corriente observada. Ver la Figura 2.
Existen varios tipos de curvas de tiempo inverso las cuales, por lo general, se modelan mediante ecuaciones exponenciales, como por ejemplo:
toperación= a*DIAL/(Mn-1) [segundos] (1)
Donde a y n son constantes de forma, M es la relación entre corriente observada por el relé y la corriente de arranque (I/Iarranque) y DIAL es el factor de escala para un tipo de curva dado. Algunos ejemplos de valores para a y n se muestran en la Tabla 1.
Tabla 1. Constantes de forma para ecuación exponencial según normas IEC Tipo de curva a n Tiempo inverso estándar 0.14 0. Muy inversa 13.5 1 Extremadamente inversa 80 2 Tiempo inverso largo 120 1
Estos relés tienen los dos siguientes parámetros de ajuste:
2.1 Corriente de Arranque
Es el valor a partir del cual comienza la operación temporizada del relé.
En relés modernos, los valores de ajuste se expresan como múltiplos y submúltiplos de la corriente nominal (1 ó 5A dependiendo del CT). Por ejemplo 0.4 a 4.0 veces Inom en pasos de 0.01. En relés antiguos se utilizaba el concepto de “TAPS” o valores discretos de corriente (5, 6, 8, 10A).
Es común presentar el eje horizontal de las curvas de operación de los relés de tiempo inverso como múltiplos de la corriente de arranque (M ó xI).
Figura 3. Curvas de diferente dial
2.2 Dial
Permite obtener diferentes tiempos de operación para un mismo tipo de curva y una corriente dada. Ver la Figura 3.
En relés modernos los pasos de dial son muy cercanos entre sí. Por ejemplo, 0.1 a 1 en pasos de 0.05 que equivale a 18 curvas. Esto permite considerar el ajuste de dial como una función continua.
En relés antiguos, los dial son números con los cuales se “bautiza” a cada curva de operación. Por ejemplo, ½, 1, 2 hasta 11, en pasos de 1. Estos números son nombres y no corresponden a factores de ecuación alguna.
Una vez se seleccionan el tipo de curva de operación del relé y la corriente nominal se procede a determinar los mejores valores de Iarranque y dial aplicando los criterios y procedimientos de coordinación de protecciones.
Un relé con perillas de ajuste tiene la forma que se presenta en la figura 4. Además, puede existir otra perilla para seleccionar el tipo de curva de operación.
Figura 4. Botones de ajuste de un relé de tiempo inverso
Iarranque I
t
Zona de disparo
Ix
t (^) x
I arranque
1.4 xIn (^) DIAL
t
1.0 5.0 10.0 15.0 20.0 30.0 M
DIAL
4. EJEMPLO 1: COORDINACIÓN MANUAL
Corrientes de cortocircuito Nodo Tensión (kV)
Ifalla (A) O 220 5773. A 110 2886. B 110 1840. C 44 2452. D 44 1247.
Corrientes de carga Relé Icarga (A) 1 104. 2 125. 3 125. 4 62.
Relés Curva IEC inversa estàndar In 5 A Dial 0.1 a 1.0 en pasos de 0. Iarranque 0.4 a 4.0In en pasos de 0.
Figura 6. Sistema de prueba
Aplicando el procedimiento descrito anteriormente al sistema de prueba mostrado en la Figura 6, con k=1.5, tmin=0.1s, tmargen=0.3s y curva inversa estándar IEC, se obtiene: Tabla 2 Resultados de coordinación manual Relé Iarranque DIAL tpropio trespaldo xIn A [s] [s] 1 1.05 157.5 0.10 0.2480 -- 2 1.30 195.0 0.15 0.4573 0. 3 1.30 195.0 0.25 0.6320 0. 4 0.95 95.0 0.40 0.6541 1.
5. LA COORDINACIÓN COMO UN PROBLEMA
DE PROGRAMACIÓN LINEAL
La aplicación de programación lineal (PL) al procedimiento de coordinación de protecciones de sobrecorriente fue presentada por Urdaneta, Nadira y Pèrez en 1988 para el caso de sistemas anillados con relès de tipo direccional [4].
En el presente artículo, se aplica dicha metodología para la coordinación de relès de sobrecorriente de tiempo inverso no direccionales en sistemas radiales.
La aplicación de esta metodología está limitada a la utilización de relés modernos con pasos de dial muy pequeños como para asumir a dial una función continua.
Las corrientes de arranque reales xIn ó TAP de los relés se ajustan en forma similar al mètodo manual, quedando por determinar los diales y tiempos de operación propios y de respaldo resultantes de los diales.
Los tiempos de operación de cada relè estàn descritos por:
tij= a*diali/(Mijn-1) [segundos] (9)
Mij=Ifalla (^) j/xIn (^) i (10)
Mij es el múltiplo de corriente del relé ubicado en i para una falla en j. Si i ≠ j es un mùltiplo de respaldo, de lo contrario, (i=j) es un mùltiplo propio.
Como las corrientes de arranque y de falla son fijas, entonces se tienen 2n-1 ecuaciones lineales de igualdad para los tiempos de operación de cada relè:
tij= K (^) ij diali [segundos] (11)
K (^) ij = 0.14/(Mij0.02-1) (12)
Tambièn, existen n-1 ecuaciones de desigualdad correspondientes a los tiempos de respaldo:
ti i-1 – ti-1 i-1 ≥ tmargen (13)
El dial de cada relè se considera una función continua con los lìmites inferior y superior disponibles en el equipo. El lìmite inferior es la restricción dominante por lo cual se plantean n ecuaciones de desigualdad:
diali ≥ dialminimo (14)
El tiempo propio de operación de un relè siempre se ubica en la parte más baja de la curva de tiempo inverso. Por lo tanto, se puede definir la siguiente función a ser minimizada:
t11+t 22 +.. .+tnn (15)
R
R
R
8 MVA
10 km 10 Ohm
150/
25 km 12.5 Ohm
150/
150/
220 kV
110 kV
110 kV
44 kV
40 MVA 110/44 kV x=10% Ynyn C
B
A
D
O
100/5^ R
55 MVA 220/110 kV x=10% Ynyn
8 MVA 8 MVA
Reescribiendo las ecuaciones (11), (13) y (14) de la siguiente forma:
tij- K (^) ij diali = 0 (16)
-ti i-1 + ti-1 i-1 ≤ -tmargen (17)
El problema de optimización es:
Minimizar [f]*[x] Sujeto a: [A][x] ≤ [b] (19) [A (^) eq][x] = [b (^) eq] Donde:
x: Vector columna con las incógnitas del problema.
x = [t 11 t 22 …tnn t 21 t 32 … tn n-1 dial 1 dial 2 …dialn]t
f: Vector fila con los coeficientes de la función objetivo. Las primeras n posiciones son unos y las restantes ceros.
f = [1 1 1 … 1 0 0 … 0]
A: Matríz de términos ubicados al lado izquierdo de las restricciones de desigualdad.
b: Vector columna de términos ubicados al lado derecho de las restricciones de desigualdad.
A (^) eq: Matríz de términos ubicados al lado izquierdo de las restricciones de igualdad.
b (^) eq: Vector columna de términos ubicados al lado derecho de las restricciones de igualdad descritas. Todos sus términos son cero.
El sistema (19) corresponde a un problema de PL. Existen otras alternativas para definir la función objetivo y las restricciones.
La solución analítica de (19) se determina mediante el método simplex, el cual se puede consultar en textos de optimización o investigación de operaciones. Por ejemplo, la referencia [4] presenta un desarrollo detallado del método simplex.
Para el presente documento, la solución se realiza numéricamente utilizando la función “linprog” del toolbox de optimización del software Matlab.
6. EJEMPLO 2: COORDINACIÓN UTILIZANDO
PL
Se aplica el siguiente procedimiento al sistema de prueba de la Figura 6.
Paso 1: Calcular las corrientes de arranque como en el desarrollo en forma manual. Ver Tabla 2.
Paso 2: Calcular los múltiplos de corriente y las correspondientes constantes de la ecuación de tiempos, ecuaciones (10) y (12):
Tabla 3 Resultados de múltiplos de Iarranque M11= 15.5686 K11=2. M21= 5.0299 K21=4. M22= 9.4401 K22=3. M32= 9.4401 K32=3. M33= 14.8038 K33=2. M43= 15.1934 K43=2. M44= 60.7737 K44=1.
Paso 3: Vector x de incógnitas
x = [t 11 t 22 t 33 t 44 t 21 t 32 t 43 dial 1 dial 2 dial 3 dial 4 ]t
Paso 4: Función objetivo
t11+t 22 +t 33 +t 44 f = [1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0]
Paso 5: Restricciones de desigualdad
t 21 – t 11 ≥ 0.3 → -t 21 + t 11 ≤ -0. t 32 – t 22 ≥ 0.3 → -t 32 + t 22 ≤ -0. t 43 – t 33 ≥ 0.3 → -t 43 + t 33 ≤ -0.
dial 1 ≥ 0.1 → - dial 1 ≤ -0. dial 2 ≥ 0.1 → - dial 2 ≤ -0. dial 3 ≥ 0.1 → - dial 3 ≤ -0. dial 4 ≥ 0.1 → - dial 4 ≤ -0.
A 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
( )
t b = −0.3 −0.3 −0.3 −0.1 −0.1 −0.1 −0.
