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Profesor: Félix Ordaz Castro
Tema N° 4: INTERÉS COMPUESTO
1. Definición:
Es el rendimiento producido por un capital, al cual al finalizar cada periodo
de capitalización, se acumulan los intereses producidos en este período,
para que la suma del capital e interés (monto) produzcan nuevos
intereses durante el periodo siguiente, procediendo de igual manera hasta
el final del periodo en el cual, el capital más los intereses, dejan de
producirlos.
De lo antes expuesto podemos observar que:
Se deduce que:
M 1 C.C.i.nC. 1 i
2 M 2 C. 1 iC. 1 i.iC. 1 i. 1 i C. 1 i
2 2 2 3 M 3 C. 1 i C. 1 i .iC. 1 i. 1 i C. 1 i
k 1 k 1 k 1 k M (^) k C. 1 i C. 1 i .iC. 1 i. 1 i C. 1 i
n 1 n 1 n 1 n M (^) n C. 1 i C. 1 i .iC. 1 i. 1 i C. 1 i
n M C. 1 i
Profesor: Félix Ordaz Castro
Formalmente
El factor (1+i)
n se conoce como factor de acumulación a interés
compuesto.
De manera análoga el factor (1+i)
- se conoce como factor de actualización
a interés compuesto.
En algunas literaturas relacionadas con ingeniería económica y análisis de
inversiones se presenta la siguiente notación:
De la ecuación de monto puede desprenderse también que:
2. Periodo de capitalización : Es el lapso de tiempo al final del cual se
capitalizan o acumulan los intereses para comenzar a producir otros
intereses.
3. Frecuencia de capitalización : Es el número de veces por año, que los
intereses se acumulan al capital. Se representa por (m). De esta manera si
la frecuencia de capitalización es semestral m=2, si es trimestral m=4, si es
cuatrimestral m=3, y así sucesivamente.
k k ,Ck :kDvMkC( 1 i)
n (F /P;i%;n) 1 i
n ( 1 i )
M
C
Log( 1 i)
Log(M) Log(C) n
I C 1 i 1
n
C
M
i n^
n (P /F;i%;n) 1 i
Profesor: Félix Ordaz Castro
Tasas equivalentes: Se denominan tasas equivalentes a la que
corresponde a periodos de capitalización distintos y produce intereses
iguales para capitales y tiempos iguales.
Halle las siguientes tasas equivalentes
a) Nominal anual con capitalización mensual equivalente al 5% efectiva
bimestral
b) Efectiva semestral equivalente al 36% nominal anual con capitalización
mensual
2 2
1 1
m m
m 1 im 1 i
2 2
1 1
m m
m 1 im 1 i
6 6
12 12 1 i 12
J
6
12 12 1 0 , 05 12
J
2
1
1 , 05 12
J
12
J 1 , 05 1. 12 0 , 2963 29 , 63 %
2
1
12 2 2 12
1 i (^1)
2 2
1 1
m m
m 1 im 1 i
6
2 12
1 i (^1)
6 1 i 2 1 0 , 03
i 1 0 , 03 1 0 , 1941 19 , 41 %
6 2
Profesor: Félix Ordaz Castro
c) Efectiva quincenal equivalente al 0,5% efectiva diaria
Tasa instantánea: Consideremos el monto a interés compuesto en
función de la tasa nominal
Para poder suponer que el número de capitalizaciones “m” puede hacerse
tan grande como se quiera, debemos calcular el límite para este monto
cuando “m” tiende a infinito
De manera análoga
n.m m
m
J
M C. 1
m
J
M LimC. 1
n. m m m
Lim exp.(base 1 )
n.m m m
m Ce m
J
M LimC. 1
^
nδ
1 m
J Limnm 1 n.m m m
Ce Ce m
J
M LimC. 1
m m ^
nδ M Ce
nδ Va Me
24 360 1 i 24 1 0 , 005
2 2
1 1
m m
m 1 im 1 i
360 360
24 1 i 24 1 i
15 1 i 24 1 0 , 005
i 1 , 005 1 1 , 07768 1 0 , 07768 7 , 77 %
15 24
Profesor: Félix Ordaz Castro
Sabemos que:
Nota: Cuando ρ(t) sea la función constante la relación anterior coincide con
la expresión del monto a interés instantáneo, donde se deduce que la tasa
instantánea es un caso particular del sistema financiero continuo
generalizado.
Calcular el valor final de un capital financiero sometido a la acción de una
operación financiera de capitalización generalizada durante 10 años si su
valor inicial es de $ 10.000 y el tanto de interés instantáneo es:
Datos e incógnitas
C=$ 10.
h= 10 años
M=?
Problema N° 16
h 0
h
0
ρ t.dtln M t
ρ t. dt ln M h ln M 0
h
0
C
M
ρt.dt ln
h
0
e k
Ln k
C
M ρt.dt Ln e e
h o
C
M
e
h o
ρt.dt
h 0
ρt.dt M C. e
40 t
ρ t.
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Solución
Cambio de variable h=40+t y dh=dt
Cuando t→0 h →
Cuando t→10 h→
6. Periodos de tiempo fraccionados : Cuando tengamos periodos de tiempo
fraccionados, podemos trabajar el tiempo de dos maneras igualmente
válidas.
i) Convenio exponencial: El tiempo es trabajado exponencialmente, tanto en
la parte entera del tiempo como en la fracción
ii) Convenio lineal: La parte entera se trabaja de manera exponencial, y la
fracción de tiempo es trabajada a interés simple.
Ejemplo: Consideremos un capital de $ 500.000 colocado a una tasa
efectiva anual del 2% durante 7 años 5 meses. Determine el monto.
Por convenio exponencial:
Por convenio lineal
m
f n , M C 1 i
m
f M C 1 i 1 i
n,
M 500. 000 1 0 , 02 500. 000 1 , 02 $. 579. 100 , 63
7 , 4166 12
5 7
M 500. 0001 0 , 02 1 0 , 02
7 ,
) Ln( 1 , 25 ) 40
Ln( 50 ) Ln( 40 ) Ln( h
dh
40 t
(^10) dt
0
50
40
h 0
ρt.dt M C. e
M 10. 000 .e 10. 000 .( 1 , 25 ) $. 12. 500
Ln( 1 , 25 )
Profesor: Félix Ordaz Castro
Hace 8 meses deposite ¥ “C” en un banco al 0,5 % mensual de interés
compuesto, hoy retiro ¥ 1.000.000 del capital inicial y el capital restante lo
dejo depositado en el banco durante 10 meses más a la tasa del 24%
nominal anual con capitalización mensual y obtuve un monto de ¥
9.850.000 Calcule el valor de C.
Datos en Incógnitas
Retiro hoy=¥ 1.000.
i 1 =0,
i 2 =0,
M=¥ 9.850.
C=?
Solución
Problema N° 2
M C 1 0 , 005 1 , 04071 C
8 1
M 1 , 04071 C 1. 000. 000 x 1
10
10
1 , 04071 C 1. 000. 000
1 , 04071 C
10
1 , 04071 .C
10
Profesor: Félix Ordaz Castro
Se ha invertido $ 60.000 al 5% nominal, con capitalización trimestral,
durante 10 años. En el transcurso de los 10 años se han efectuado los
retiros siguientes: $ 5.000 al finalizar el cuarto año, $ 9.000 al finalizar el
7mo año y $ 5.000 al finalizar el 8vo año. Determine el monto.
Solución
Problema N° 11
1 , 04071 .C
1 , 04071 .C 8. 080. 460 , 05 1. 000. 000
1 , 04071 .C 9. 080. 460 , 05
C
M 60. 0001
4 x 4
1
M 73. 193 , 37 5. 000. 1
12
4 x 3
M 79. 155 , 76 9. 000. 1
4 x 1
M 73. 729 , 87 5. 000. 1
4 x 2
Profesor: Félix Ordaz Castro
- Se plantea la ecuación de valor. Esto ser reduce a plantear la
ecuación
(En la fecha focal)
Determinar el valor de las siguientes obligaciones el día de hoy,
suponiendo una tasa del 4% de interés simple: $ 1.000 con vencimiento el
día de hoy, $ 2.000 con vencimiento en 6 meses con interés del 5% y $
3.000 con vencimiento en un año con interés al 6%. Utilizar
a) El día de hoy como fecha focal y utilice descuento racional.
b) El día de hoy como fecha focal, utilice descuento comercial.
Solución
a) Utilizando descuento racional
Esto puede verse en el diagrama de flujo de efectivo adjunto. Tanto X
como la obligación cuya cuantía es $ 1.000 están en la fecha focal
Problema de ecuación de valor a interés compuesto
k
k j
Ij E
M 1 1. 000
M 2. 000. 1
6
2
M 3. 000 . 1 0 , 06 3. 180
1 3
Profesor: Félix Ordaz Castro
La ecuación de valor con DR nos queda
b) Utilizando DC
Esto se puede mostrar en el diagrama de flujo de efectivos adjunto
De esta manera la ecuación de valor nos queda
6 1 1 0 , 04
X 1. 000
X 1. 000 2. 009 , 98 3. 057 , 69
X $.. 6. 067 , 67
M 1 1. 000
M
(^2 )
M
(^3 )
1
6
- 191 , 98. 1 0 , 04 12
X 1. 000 2. 050 , 74. 1
X 1. 000 2. 010 , 07 3. 063 , 82
X $.. 6. 073 , 89
