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matematica financiera mod 1, Ejercicios de Matemática Financiera

INTERÉS COMPUESTO - INTERÉS SIMPLE - TASAS

Tipo: Ejercicios

2019/2020

Subido el 14/11/2020

alvaro-paco
alvaro-paco 🇧🇴

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bg1
CAPÍTULO 5
INTERÉS COMPUESTO
5.1 INTRODUCCIÓN
En las operaciones financieras intervienen de manera directa los factores dinero y
tiempo, los mismo que se asocian con los negocios.
En periodos cortos se utiliza generalmente el interés simple, donde el capital que
generan los intereses que se van generando se incremental al capital original en
cada periodo establecido, que a su vez genera un nuevo interés adicional para el
siguiente período (lapso de tiempo).
5.2 CONCEPTO
Cuando los intereses se calculan a intervalos de tiempo (períodos) estos intereses
se agregan al capital y este nuevo monto genera interés, entonces se dice que es
interés compuesto.
5.3 PERIODO DE CAPITALIZACIÓN
El interés puede ser convertido en capital en forma anual, semestral, trimestral,
mensual, etc. Dicho lapso de tiempo o periodo se denomina “periodo de
capitalización”. Al número de veces que el interés se capitaliza durante un año se
le denomina frecuencia de conversión.
EJEMPLO 1
¿Cuál es la frecuencia de conversión de un depósito bancario que se realiza al
6% de interés con capitalización trimestral?
Solución
UN AÑO 12 MESES
UN TRIMESTRE 3 MESES
= = 4
pf3
pf4
pf5
pf8
pf9
pfa
pfd
pfe
pff
pf12
pf13
pf14
pf15
pf16
pf17
pf18
pf19
pf1a
pf1b
pf1c
pf1d
pf1e
pf1f
pf20
pf21
pf22
pf23
pf24
pf25
pf26
pf27
pf28
pf29
pf2a
pf2b
pf2c
pf2d
pf2e
pf2f
pf30
pf31
pf32
pf33
pf34
pf35
pf36
pf37
pf38
pf39
pf3a
pf3b
pf3c
pf3d
pf3e
pf3f
pf40
pf41
pf42
pf43
pf44
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pf49
pf4a
pf4b
pf4c
pf4d
pf4e
pf4f
pf50
pf51
pf52
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pf54
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pf5a
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pf5c
pf5d
pf5e
pf5f
pf60
pf61
pf62
pf63
pf64

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CAPÍTULO 5

INTERÉS COMPUESTO

5.1 INTRODUCCIÓN

En las operaciones financieras intervienen de manera directa los factores dinero y

tiempo, los mismo que se asocian con los negocios.

En periodos cortos se utiliza generalmente el interés simple, donde el capital que

generan los intereses que se van generando se incremental al capital original en

cada periodo establecido, que a su vez genera un nuevo interés adicional para el

siguiente período (lapso de tiempo).

5.2 CONCEPTO

Cuando los intereses se calculan a intervalos de tiempo (períodos) estos intereses

se agregan al capital y este nuevo monto genera interés, entonces se dice que es

interés compuesto.

5.3 PERIODO DE CAPITALIZACIÓN

El interés puede ser convertido en capital en forma anual, semestral, trimestral,

mensual, etc. Dicho lapso de tiempo o periodo se denomina “periodo de

capitalización”. Al número de veces que el interés se capitaliza durante un año se

le denomina frecuencia de conversión.

EJEMPLO 1

¿Cuál es la frecuencia de conversión de un depósito bancario que se realiza al

6% de interés con capitalización trimestral?

Solución

UN AÑO 12 MESES

UN TRIMESTRE 3 MESES

La frecuencia de conversión es igual a 4. el periodo de capitalización es trimestral.

5.4 TASA DE INTERÉS COMPUESTO

La tasa de interés se expresa generalmente en forma anual y si es menor se

menciona su periodo de capitalización

Ejemplo 2

36% anual que se capitaliza mensualmente

24% anual que se capitaliza semestralmente

18% anual que se capitaliza trimestralmente

Si el interés se expresa sin mencionar su periodo de capitalización, se entiende

que es anual.

Para resolver un problema de interés compuesto, cuando el período de

capitalización es menor a un año: la taza de interés anual debe convertirse a la

tasa que corresponde al período de capitalización establecida. Es decir, si el

interés se capitaliza semestralmente, la tasa de interés debe transformarse a

interés semestral, si es mensual a interés mensual, etc.

Notación

S= valor final o monto

C= Valor actual o presente

n= Número de periodos (tiempo)

i= tasa de interés

5.5 VALOR FINAL A INTERÉS COMPUESTO

Es el monto que se obtiene al incrementar al capital original, el interés compuesto

en cada periodo de capitalización.

*** = 0. *** mensual

S =

S = 17.389.

EJEMPLO 4

Se deposita s. 30.000 en un banco durante 2 años

a) Hallar el valor final a la tasa de interés simple del 24% anual.

b) Hallar el valor final a la tasa de interés del 24% anual capitalizable

mensualmente.

c) ¿Cuál es su mayor?

SOLUCIÓN

a) C = 30.

n = 2 años

i = 0.24 anual

S =

b) C = 30.

n = 2 años = 24 meses

i = 0.24 / 12 = 0.02 mensual

S =

S = C (1 + n * i)

S = 30.000 ( 1 + (2) (0.24) )

S = 30.000 (1.48)

S = 44.

S = C (1 + i)n

S = 30.000 (1+ 0.02)^24

S = 30.000 (1.608437)

S = 48.253.

c) El Valor final obtenido a interés compuesto, es mayor que el obtenido a interés

simple.

EJEMPLO 5

Determine el importe compuesto (monto) y el interés compuesto de un depósito de

Bs. 12.000 durante 2 años y 6 meses, al interés del 8% capitalizable en forma

trimestral.

SOLUCIÓN

b) C = 12.

n = 2 años, 6 meses = 10 trimestres

i = 0.08 / 4 = 0.02 trimestres

S = (importe compuesto)

I = (interés compuesto)

S = C (1 + i)n

S = 12.000 (1+ 0.02)^10

S = 12.000 (1,219894)

S = 14.627.

El interés compuesto es 14.627.

Interes compuesto = importe

compuesto – principal

I = 14.727.93 – 12.

I = 2.627.

El interés compuesto es 2.627.

Monto con periodo fraccionario.

En el cálculo del monto a interés compuesto en general se consideran periodos

enteros, sin embargo existen situaciones que requieren considerar periodos

fraccionarios.

Cuando el periodo n es fraccionario, el problema puede resolverse de dos formas.

La primera reemplazando en la formula de interés compuesto el exponente n con

el dato fraccionario o decimal.

La segunda forma calculando el valor final o monto, primero por el tiempo o

periodo entero y finalmente calculando el valor final por la parte del tiempo o

periodo fraccionario a interés simple.

EJEMPLO 6

Calcular el valor final de un capital de Bs. 10.000 a interés compuesto durante 18

meses y 15 días a la tasa de interés del 18% capitalizable mensualmente.

Ejemplo 7

Se invierte Bs. 4.000 por un año a la tasa del 18% capitalizable mensualmente.

Determinar el monto al final del año, si transcurridos 4 meses la tasa se

incrementó al 24% capitalizable mensualmente.

Solución.

i mensual n meses

C

i mensual n meses

C

8 1 1 4 1 

S

S l S l

S
S

S l S Cl i n

Depósito adicional o retiro realizado

Si en el transcurso del tiempo o periodo de duración de un objeto se efectúa un

deposito adicional o se realiza un retiro parcial, el problema se divide en partes.

Cada vez que se realiza un depósito o retiro parcial, tiene que ser añadido o

disminuido al importe compuesto en el momento en que se realiza dicha

operación.

Ejemplo 8.-

En la fecha el Sr. Montenegro deposita Bs. 6.000 en un banco que paga el 12% de

interés con capitalización mensual, transcurridos 4 meses se efectúa otro depósito

de Bs. 4.000.

Hallar el importe que tendrá en el banco de un año de haber realizado el primer

depósito.

Solución.

Primera Parte

Se capitaliza por los 4 primeros meses

c = 6.000 s = C(1+I)n

n = 4 meses s = 6.000(1+0.01)^4

i   mensual s= 6.243,

S =

Al importe capitalizado de Bs. 6.243,62 se añade el depósito de Bs. 4.000. El

nuevo importe obtenido se capitaliza por los siguientes 8 meses.

Segunda parte

c= 10.243, 62 s = 10.243,62 (1+0,01)^8

n = 8 meses s = 11.092,

n = 4 meses = 2 bimestres s = 11.390,90 (1,0609)

i = 0,03 bimestres s = 12.084,

s =

Los problemas anteriores también pueden resolverse mediante otros métodos.

5.6. RELACIÓN ENTRE INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO

El interés compuesto crece más rápidamente que el interés simple y existe una

relación entre el interés simple e interés compuesto.

Interés simple Interés compuesto

S = C (1+n. In) s= c (1+ic)n

Igualando los segundos miembros

C (1+n. In) = c (1+ic)n

Despejando la tasa de interés simple is

n

i

i

n

 ^ c^ 

Gráfica de interés simple e interés compuesto

Para representar la gráfica del interés simple e interés compuesto se considera

un capital de Bs. 1.000 y una tasa de interés del 40%.

Tiempo (Período) Interés simple Interés compuesto

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

n = 5

S =1.

S =1.

S =1.

S =2.

S =3.

S =1.

S =1.

S =2.

S =3.841,

S =35.378,

5.7. TASA NOMINAL Y TASA EFECTIVA

La tasa establecida para una operación financiera se conoce como tasa nominal.

Si la tasa de interés se capitaliza en forma semestral, trimestral o mensual, la

cantidad efectivamente pagada o ganada es mayor que si se determina en forma

anual. En estos casos se puede determinar una tasa efectiva anual.

EJEMPLO 10.

Si se presta un capital al 12% capitalizable trimestralmente, el 12% representa la

tasa nominal anual, la tasa efectiva queda expresada por los intereses que

genera los Bs. 100 en un año, bajo las condiciones establecidas en el

préstamo.

SOLUCIÓN

S

i trimestral n año trimestre

C

4 

S

Si

S

S C in

Despejando j tendremos:

m

m

j

1  i ( 1  )

m

j

( 1  i ) m^  1 

1

1

  i m 

m

j

1

j  m  m 

La fórmula general de interés compuesto podemos expresar en la forma

siguiente:

m n

m

j

s  c ( 1  ) *

Ejemplo 11

Calcular el valor final de un capital invertido de Bs. 20.000 al interés compuesto

del 18% capitalizable semestralmente durante 6 años.

m i anual n años

C

12 26

S

S

S l

m

j

S C l

ó m n

Ejemplo 12

Hallar la tasa efectiva i equivalente a una tasa nominal de 8% convertible

mensualmente.

Solución:

i m j 12

12 

i i i i m j i m

Ejemplo 13

¿Qué tasa capitalizable semestralmente es equivalente al 10% capitalizable

trimestralmente?

Solución:

1 1 

m j m j 4 2 1 1 1 1

1 1

m

j

m

j

m

j

m

j

m

j

m

j

i

m m m^ m m

Elevando ambos miembros a la potencia ½

j j j j j j

5.9 CALCULO DE TIEMPO.

Uno de los factores que interviene en créditos, ventas o compras a plazos

pagares, etc. Es el tiempo en el cálculo de interés compuesto el tiempo se

¿En cuánto tiempo se convertirá Bs. 6.200 en Bs. 7.253.13 a una tasa del 24%

capitalizable bimestralmente?

Solución:

n i bimestres

S
C

n meses n bimestres n bimestres n n n i

S C

n 8

log( 1 0. 04 ) log 7. 253. 13 log 6. 200 log( 1 ) log log 

5.10 CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS

Las condiciones contractuales de una operación financiera o transacción en el

interés compuesto es la tasa nominal con periodo de capitalización. El periodo de

capitalización de la tasa de interés debe coincidir con el tiempo expresado en

número de periodos.

Para calcular la tasa de interés i, es necesario despejar de la formula principal (8),

aplicando propiedades de logaritmo.

n

S C

i S C n i Aplicando aritmo S C i n log log log( 1 ) log log log( 1 ) log :

Ejemplo 16

¿A qué tasa de interés mensualmente un capital de Bs. 15.000 se convertirá en

Bs. 23.294.89 en un año y medio?

Solución:

i n años meses

S
C

i anualcapitalizablemensualmen te i i mensual i mensual i i i anti i i i loh i n

S C

i 30 %

1 log 0. 0107223888 log( 1 ) 0. 0107223888

log( 1 )

log( 1 )

    1. 89 log 15. 000 log( 1 ) log log log( 1 ) 

5.11 CALCULO DEL VALOR PRESENTE.

El valor actual o presente a interés compuesto de un determinado importe a fecha

futura, es el valor que representa en el momento a una tasa establecida.

También podemos expresar que es el valor actual, que a una tasa determinada

nos dará el valor final transcurrido el tiempo establecido.

En muchas operaciones comerciales, existe la necesidad de calcular el valor

actual de ciertos capitales con vencimientos futuros. Sin embargo, el valor final o

monto se puede actualizar a distintas fechas anteriores a la fecha de vencimiento.

S =c (1 + i)n

S = 60.

n = 18 meses

i = 0.24 / 12 = 0.02 mensual

C =

18 

  C

C
C

C s i n

Para garantizar el pago de la construcción, el señor Blanco debe depositar al

banco Bs. 42.009.56 importe que con los intereses en 18 meses se convertirá en

Bs. 60.000.

Ejemplo 19.-

Una empresa financiera desea realizar una inversión de Bs. 25.000 para obtener

dentro de 3 años un ingreso de Bs. 60.000. Si se considera una inflación promedio

del 30% anual ¿Conviene realiza la inversión?

Solución.

Se comparan los 25.000 que debe invertir en este momento con los 60.000 que se

espera recibir dentro de 3 años.

Para comparar es necesario que ambas cantidades sean equivalentes. Los 60.

debemos actualizar al momento presente para tener la misma base o fecha de

comparación para luego dar una respuesta.

3 

  C

C
C

C s i n

Los 60.000 que la empresa recibirá dentro de 3 años equivalen a 27.309.

descontados la inflación. Este valor presente de los ingresos se compara con el

valor presente de la inversión que es de 25.000 y se constata que efectivamente

se tiene una utilidad de Bs. 2.309.96. por lo tanto conviene invertir.

5.13 ECUACIONES DE VALORES EQUIVALENTES

En las operaciones financieras es frecuente el cambio o modificación de un

conjunto de obligaciones por otro con diferentes condiciones en cuanto a pagos y

fechas, lo que conoce como ecuaciones de valores equivalentes.

Las ecuaciones de valores equivalentes surgen como consecuencias de comparar

valores diferentes en una fecha determinada, llamada también fecha focal.

Para resolver problemas mediante ecuaciones de valores equivalentes, se debe

determinar el valor que se pagará en una fecha elegida equivalente al valor del

conjunto de obligaciones que se vencen en diferentes fechas.

En interés compuesto el conjunto de obligaciones que son equivalentes en una

fecha son equivalentes en cualquier otra.

EJEMPLO 20

El señor Morales contrae dos obligaciones, el primero de Bs. 15.000 a tres años y

el segundo de Bs. 30.000 a 6 años plazo. Posteriormente acuerda con su acreedor

pagar toda la deuda con un único pago al final del cuarto año, a la tasa del 9%

capitalizable semestralmente, calcular el importe del pago único