¡Descarga rentas financieras y más Ejercicios en PDF de Administración de Empresas solo en Docsity!
Tema 4 – Rentas financieras
TEMA 4 – RENTAS FINANCIERAS
4.1. Concepto
Una renta es una sucesión de capitales disponibles según una sucesión de tiempos.
Por ejemplo, un sueldo, un alquiler, los intereses de un valor mobiliario, etc.
De forma gráfica, el concepto de renta se puede representar de la siguiente forma:
4.2. Elementos
A 𝑎
1
𝑛
se le llaman “términos de la renta” y, son cada uno de los capitales
financieros que forman la renta. Si la cuantía del término es variable vendrá
denotada por “𝑎
𝑘
” como ejemplo expuesto y, si los términos son constantes por “𝑎”.
El origen de la renta será el extremo inferior, es decir, “0”, el primer periodo.
El final de la renta será el extremo superior, es decir, “𝑛”, el último periodo.
La duración será el tiempo que transcurre entre el origen y el final.
El periodo de maduración es el tiempo que transcurre entre los términos.
4.3. Tipos de rentas
A- Según la naturaleza de los términos:
Rentas ciertas: cuando los capitales que forman las rentas son ciertos, conocidos.
Rentas aleatorias: cuando algún capital, ya sea su cuantía y/o su vencimiento es una
variable aleatoria, es decir, no son conocidos de antemano, por ejemplo, el recibo
del teléfono.
B- Según la cuantía de sus términos:
Rentas constantes: cuando los capitales son de igual cuantía.
a
2
a
1
a
n- 1
a
n
0 1 2 n- 1 n
i
a a a
0 1 2 n- 1 n
i
Matemática de las operaciones financieras – 1º Grado ADE
Rentas variables: cuando los capitales que forman la renta no son de igual cuantía,
pudiendo variar en progresión aritmética o geométrica o de forma arbitraria.
C- Según la duración de la renta:
Rentas temporales: cuando la duración es finita, es decir, limitada, por ejemplo,
entre el intervalo [ 0 , 𝑛]. El gráfico anterior.
Rentas perpetuas: cuando la duración es infinita, ilimitada.
D- Según el vencimiento de los términos:
Rentas pospagables: cuando los capitales de la renta vencen a final de cada periodo.
Rentas prepagables: cuando los capitales de la renta vencen a principio de cada
periodo.
a
2
a
1
a
n
0 1 2 n- 1 n
i
a a
i
a a a
0 1 2 n- 1 n
i
- a
a a a
0 1 2 n- 1 n
i
a -
Matemática de las operaciones financieras – 1º Grado ADE
Rentas diferidas: cuando los términos se valoran en un punto anterior al origen de
la renta.
Rentas anticipadas: cuando los términos se valoran en un punto posterior al final de
la renta.
Para la valoración financiera de cada uno de los distintos tipos de rentas ciertas y
discretas, que analizaremos en este tema, se considerarán los términos anuales, valorados
con la ley financiera de capitalización compuesta, al tanto efectivo anual 𝑖, y suponiendo que
el intervalo
[
]
de la duración de la renta está dividido en periodos de maduración de
amplitud anual.
4.4.1. Valoración de rentas constantes
4.4.1.1. Temporales
Vamos a estudiar:
A. Rentas constantes inmediatas temporales.
B. Rentas constantes diferidas temporales.
C. Rentas constantes anticipadas temporales.
A. Rentas constantes inmediatas temporales
Son rentas cuyos términos son de igual cuantía, duración finita (número de términos
limitado), eligiendo como fecha de valoración el valor actual (origen de la renta) o el valor
final (final de la renta). Su representación gráfica, para el intervalo [ 0 , 𝑛], con n periodos de
maduración, valorada al tanto efectivo anual 𝑖:
Origen
i
Final
Momento
de valoración
Origen
i
Final
Momento
de valoración
Tema 4 – Rentas financieras
Modalidad pospagable:
𝑛 ┐ 𝑖
Valor actual de una renta temporal inmediata pospagable de términos de cuantía
unitaria.
𝑛 ┐ 𝑖
Valor final de una renta temporal inmediata pospagable de términos de cuantía
unitaria.
𝑛 ┐ 𝑖
Valor actual de una renta temporal inmediata pospagable de términos de cuantía 𝑎.
𝑛 ┐ 𝑖
Valor final de una renta temporal inmediata pospagable de términos de cuantía 𝑎.
Modalidad prepagable:
𝑛 ┐ 𝑖
Valor actual de una renta temporal inmediata prepagable de términos de cuantía
unitaria.
𝑛 ┐ 𝑖
Valor final de una renta temporal inmediata prepagable de términos de unitaria.
𝑛 ┐ 𝑖
Valor actual de una renta temporal inmediata prepagable de términos de cuantía 𝑎.
𝑛 ┐ 𝑖
Valor final de una renta temporal inmediata prepagable de términos de cuantía 𝑎.
0 1 2 n- 1 n
i
Renta de términos cuantía unitaria
a a a
0 1 2 n- 1 n
i
- a
Renta de términos cuantía no unitaria
0 1 2 n- 1 n
i
Renta de términos cuantía unitaria
a a a
0 1 2 n- 1 n
i
a -
Renta de términos cuantía no unitaria
Tema 4 – Rentas financieras
Si la renta es de cuantía a:
𝑛 ┐ 𝑖
− 1
− 2
−𝑛
[(
− 1
− 2
−𝑛
]
𝑛 ┐ 𝑖
𝑛 ┐ 𝑖
Ejemplo 1
Calcular el valor actual de una renta pospagable de 15.000 € anuales a percibir durante
1 0 años siendo el tanto de valoración al 7% efectivo anual.
Modalidad prepagable:
Si la renta es unitaria:
𝑛 ┐ 𝑖
− 1
− 2
−(𝑛− 1 )
Progresión geométrica decreciente de razón (1+i)
, cuya fórmula es:
1
𝑛
𝑛 ┐ 𝑖
−(𝑛− 1 )
− 1
− 1
0 1 2 n- 1 n
i
a a a a
(1+i)
- 1
(1+i)
- 2
(1+i)
- (n-1)
Matemática de las operaciones financieras – 1º Grado ADE
𝑛 ┐ 𝑖
−𝑛
𝑛 ┐ 𝑖
𝑛 ┐ 𝑖
Si la renta es de cuantía a:
𝑛 ┐ 𝑖
𝑛 ┐ 𝑖
𝑛 ┐ 𝑖
−𝑛
Ejemplo 2
Calcular el valor actual de un depósito anual prepagable de 1.000 € durante 10 años. El
tipo de interés es del 5% anual.
Cálculo del valor final
Obtendremos la suma financiera de todos los términos en el final de la renta. Por lo
tanto, estamos llevando cada uno de los términos de la renta hasta el final de la misma, es
decir, estamos capitalizando los términos.
Modalidad pospagable:
Si la renta es unitaria:
𝑛 ┐ 𝑖
𝑛− 2
𝑛− 1
0 1 2 n- 1 n
i
- a a a a
(1+i)
(1+i)
n- 2
(1+i)
n- 1
Matemática de las operaciones financieras – 1º Grado ADE
𝑛 ┐ 𝑖
𝑛 ┐ 𝑖
Si la renta es de cuantía a:
𝑛 ┐ 𝑖
𝑛 ┐ 𝑖
𝑛 ┐ 𝑖
𝑛
Ejemplo 3
Calcular el valor final de un depósito anual pospagable de 25.000 € durante 20 años. El
tipo de interés es el 6,5% efectivo anual.
Relación entre valor actual y valor final:
𝑛 ┐ 𝑖
𝑛
−𝑛
𝑛
𝑛 ┐ 𝑖
𝑛
𝑛 ┐ 𝑖
𝑛 ┐ 𝑖
𝑛
Gráficamente sería:
Ejemplo 4
Determinada persona física realiza imposiciones pospagables de 100 € anuales durante
10 años al tipo de interés del 5% anual. Se pide:
a) Valor actual
b) Valor final
c) Obtener el valor final en función del valor actual.
B. Rentas constates diferidas temporales
Tema 4 – Rentas financieras
Son rentas cuyos términos son de igual cuantía, duración finita (número de términos
limitado), eligiendo como fecha de valoración, en el valor actual, un punto anterior al origen
de la renta, y en el valor final, el final de la renta.
Su representación gráfica, es de la siguiente forma, donde al intervalo de
diferimiento lo denominaremos “𝑑”.
Cálculo del valor actual
Modalidad pospagable:
𝑛 ┐ 𝑖
Valor actual de una renta temporal diferida pospagable de términos de cuantía
unitaria.
𝑛 ┐ 𝑖
Valor actual de una renta temporal diferida pospagable de términos de cuantía 𝑎.
Si la renta es unitaria:
1
0 1 2
i
**- 1
(1+i)
- 1
(1+i)
- 2
(1+i)
- d
Tema 4 – Rentas financieras
𝑛 ┐ 𝑖
−𝑑
𝑛 ┐ 𝑖
Cálculo del valor final
Para el cálculo del valor final, la existencia de un diferimiento no afecta a su cálculo,
por lo tanto:
Modalidad pospagable:
𝑛 ┐ 𝑖
Valor final de una renta temporal diferida pospagable de términos de cuantía
unitaria.
𝑛 ┐ 𝑖
Valor final de una renta temporal diferida pospagable de términos de cuantía 𝑎.
Si la renta es unitaria:
𝑛 ┐ 𝑖
𝑛 ┐ 𝑖
Si la renta es de cuantía 𝑎:
𝑛 ┐ 𝑖
𝑛 ┐ 𝑖
Ejemplo 5
Para la compra de un coche nos ofrecen las siguientes condiciones:
Durante los dos primeros años no se entregará cantidad alguna.
A partir del segundo año (final del tercer año) se entregarán 10 cuotas
anuales de 1.000 €.
Tipo de interés: 5% anual.
Se pide: valor actual y final de la renta descrita.
Modalidad prepagable:
𝑛 ┐ 𝑖
Valor final de una renta temporal diferida prepagable de términos de cuantía
unitaria.
𝑛 ┐ 𝑖
Valor final de una renta temporal diferida prepagable de términos de cuantía 𝑎.
Si la renta es unitaria:
𝑛 ┐ 𝑖
𝑛 ┐ 𝑖
Si la renta es de cuantía 𝑎:
𝑛 ┐ 𝑖
𝑛 ┐ 𝑖
Matemática de las operaciones financieras – 1º Grado ADE
Ejemplo 6
Para la compra de una vivienda nos ofrecen las siguientes condiciones:
Durante los dos primeros años no se entregará cantidad alguna
20 cuotas anuales de 6.000 € cada una, empezando a realizar los pagos al final
del segundo año.
Tipo de interés: 5% anual.
Se pide: valor actual y final de la renta descrita.
C. Rentas constantes anticipadas temporales
Son rentas cuyos términos son de igual cuantía, duración finita (número de términos
limitado), eligiendo como fecha de valoración, en el valor actual (origen de la renta), y en el
valor final, un punto posterior al final de la renta.
Su representación gráfica, teniendo en cuenta el intervalo de anticipación que
denominamos “ℎ”.
Cálculo del valor actual
Al cálculo del valor actual no le afecta la existencia del intervalo de anticipación.
Matemática de las operaciones financieras – 1º Grado ADE
Si la renta es unitaria:
𝑛 ┐ 𝑖
┐ 𝑛¬𝑖
Si la renta es de cuantía a:
𝑛 ┐ 𝑖
𝑛 ┐ 𝑖
Cálculo del valor final
Modalidad pospagable
𝑛 ┐ 𝑖
Valor final de una renta temporal anticipada pospagable de términos de cuantía
unitaria.
𝑛 ┐ 𝑖
Valor final de una renta temporal anticipada pospagable de términos de cuantía 𝑎.
1 1 1
0 1 2 n- 1 n
i
**- 1
(1+i)
(1+i)
n- 2
(1+i)
n- 1
(1+i)
h
Tema 4 – Rentas financieras
Si la renta es unitaria:
𝑛 ┐ 𝑖
ℎ
𝑛 ┐ 𝑖
Si la renta es de cuantía 𝑎:
𝑛 ┐ 𝑖
ℎ
𝑛 ┐ 𝑖
Ejemplo 7
La Sociedad Carosa realiza en una determinada entidad bancaria imposiciones
pospagables anuales durante 5 años por un importe de 1.000 € ¿Cuánto tendrá 3 años
después de realizada la última imposición? El tipo de interés es del 5% anual.
Modalidad prepagable
𝑛 ┐ 𝑖
Valor final de una renta temporal anticipada prepagable de términos de cuantía
unitaria.
𝑛 ┐ 𝑖
Valor final de una renta temporal anticipada prepagable de términos de cuantía 𝑎.
Si la renta es unitaria:
𝑛 ┐ 𝑖
ℎ
𝑛 ┐ 𝑖
Si la renta es de cuantía 𝑎:
𝑛 ┐ 𝑖
ℎ
𝑛 ┐ 𝑖
Ejemplo 8
La Sociedad Carosa realiza en una determinada entidad bancaria imposiciones
prepagables anuales durante 5 años por un importe de 1.000 € ¿Cuánto tendrá 3 años
después de realizada la última imposición? El tipo de interés es del 5% anual.
Tema 4 – Rentas financieras
Modalidad prepagable
∞ ┐ 𝑖
Valor actual de una renta perpetua inmediata prepagable de términos de cuantía
unitaria.
∞ ┐ 𝑖
Valor actual de una renta perpetua inmediata prepagable de términos de cuantía 𝑎.
Si la renta es unitaria:
∞ ┐ 𝑖
𝑛→∞
𝑛 ┐ 𝑖
𝑛→∞
𝑛 ┐ 𝑖
Si la renta es de cuantía 𝑎:
∞ ┐ 𝑖
∞ ┐ 𝑖
∞ ┐ 𝑖
Ejemplo 10
Calcular el valor actual de un piso por el que se percibe una renta anual prepagable de
5.000 €. Tipo de interés 6% anual.
i
a a
a
Matemática de las operaciones financieras – 1º Grado ADE
B. Rentas constantes diferidas perpetuas
Son rentas cuyos términos son de igual cuantía, duración ilimitada (número de
términos infinito), eligiendo como fecha de valoración el valor actual (origen de la renta) y
careciendo de sentido el cálculo del valor final. Su representación gráfica es de la forma:
Cálculo del valor actual
Modalidad pospagable
∞ ┐ 𝑖
Valor actual de una renta perpetua diferida pospagable de términos de cuantía
unitaria.
∞ ┐ 𝑖
Valor actual de una renta perpetua diferida pospagable de términos de cuantía 𝑎.
Si la renta es unitaria:
∞ ┐ 𝑖
−𝑑
∞ ┐ 𝑖
Si la renta es de cuantía 𝑎:
∞ ┐ 𝑖
−𝑑
∞ ┐ 𝑖
1
0 1 2
i
**- 1
(1+i)
- 1
(1+i)
- 2
(1+i)
- d
