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RENTAS FINANCIERAS. EJERCICIOS SOLUCIONADOS
1. Sea una renta constante de 40 términos trimestrales de 500 € cada uno de ellos, valorada en régimen financiero de interés compuesto al 4% anual capitalizable trimestralmente. Calcular el valor actual bajo los siguientes supuestos: (a) Renta vencida e inmediata. (b) Renta anticipada e inmediata. (c) Renta vencida y diferida 3 trimestres.
Solución : Los datos del ejercicio son:
- C =500 €
- m = 4
- n = 40
- i 4 = 0,04 ⇒ I 4 = i 44 =0,01. Para valorar la renta se tiene que utilizar el tanto efectivo trimestral
ya que la frecuencia del tanto efectivo de interés tiene que coincidir con la frecuencia de la renta.
(a) Renta vencida e inmediata
El esquema temporal de la renta es:
0 1/4 2/4 3/4 ................... 39/4 40/4 años
V 0
500 500 500 ................... 500 500
Para calcular el valor de esta renta en T = 0 se tiene que aplicar la fórmula deducida para la renta constante, inmediata, vencida y temporal:
m n (^0) n Im m
V C C 1 (1^ I^ )
I
− +^ −
= ⋅ a = ⋅
que obtiene el valor de la renta un periodo antes de donde se localiza el primer término de la renta, esto es, en T = 0. En este caso:
40 (^0) 40 I 4
V 500 500 1 1,01 16.417,34 €
−^ −
= ⋅ a = ⋅ =
(b) Renta anticipada e inmediata
El esquema temporal de la renta es:
-1/4 0 1/4 2/4 ................... 39/4 40/4 años
V -1/4 V 0
500 500 500 ................... 500
En este caso, el resultado de aplicar la fórmula de la renta constante, 500 ⋅ a 40 I 4 , proporciona
la cuantía de un capital situado un periodo antes de donde se encuentra localizado el primer término de la renta, es decir, en T = −1 4 :
V− 1/ 4 = 500 ⋅ a 40 I 4 =16.417,34 €
Por tanto, para obtener el valor en T = 0 se debe capitalizar el resultado anterior un periodo de la renta, un trimestre:
Los datos del ejercicio son:
- C =300 €
- m = 12
- n = 12 5⋅ = 60
• I 1 = 0,025 ∼ I 12 = ( 1 + I 1 ) 112 − 1 = 0,002059. Para valorar la renta se tiene que utilizar el tanto
efectivo mensual ya que la frecuencia del tanto efectivo de interés tiene que coincidir con la frecuencia de la renta.
El esquema temporal de la operación es:
0 1/12 ............................ 35/12 ...................... 59/12 60/12 años
V 59 /12 V f
300 300 ........................... 300 ...................... 300
De la aplicación inmediata de la fórmula del valor final de la renta constante, vencida, inmediata
y temporal, C ⋅ sn Im, se obtiene la cuantía de un capital situado un periodo antes de donde
finaliza la operación, esto es, en T = 59 12. Por lo tanto, para obtener el saldo acumulado en la
cuenta, es decir, el valor final de la renta en T = 60 12, basta capitalizar el resultado obtenido
en T = 59 12un periodo de la renta, un mes:
( ) (^ )^ ( )
60 12 12 12 f (^12) V59 / 12
(^300) 60 I 12 V 1 I 300 1 I^11 I =19.178,40 €
= ⋅ s I
⋅ + = ⋅ +^ − ⋅ +
3. La compra de una moto de competición, cuyo precio hoy asciende a 30.000 €, se financia pagando al contado el 10% de su precio y el resto mediante el pago de 60 mensualidades constantes pagaderas por vencido. Calcular el importe de las mensualidades si la operación se ha pactado a un 7,5% anual capitalizable mensualmente.
Solución: Los datos del ejercicio son:
- Pago al contado = 3.000 €
- Importe de las mensualidades constantes = C?
- m = 12
- n = 60
- i 12 = 0,075 ⇒ I 12 = 12 i^12 =0,00625. Para valorar la renta se tiene que utilizar el tanto efectivo
mensual ya que la frecuencia del tanto efectivo de interés tiene que coincidir con la frecuencia de la renta.
El esquema temporal de la operación es:
0 1/12 2/12 3/12 ................... 59/12 60/12 años
V 0
3.000 c c c ................... c c
El valor de la operación en T =0 asciende a 30.000 €, esto es, (^) V 0 =30.000 €. Esta cuantía es
el resultado de sumar el pago al contado más el valor en T = 0 de las 60 mensualidades constantes, que constituyen una renta constante, inmediata, temporal y vencida:
= = + ⋅ −^ (^ +^12 )^ −^60
(^012)
V 30.000 3.000 C 1 1 I
I
de donde C es,
Para hallar el valor de esta renta en T = 0 , V , se debe de aplicar la fórmula del valor actual de 0
la renta geométrica, inmediata, vencida y temporal, (^ )^
n m n (^1) m C 1 q^1 I 1 I q
− ⋅ +^ −
⋅ (^) + − , y luego corregir el
diferimiento, que en este caso es d = 3 trimestres. Al aplicar la fórmula de la renta geométrica, inmediata, temporal y vencida se obtiene el valor de la renta un semestre antes del momento en que se localiza el primer término, es decir, en T = 3 / 4: 24 24 3 4
V 2.500 1 1,02^ 1,014889 62.673,50 €
− ⋅^ −
Por tanto, se debe de corregir el resultado obtenido, V3 / 4 , actualizándolo tres trimestres para
poder obtener el valor en el origen de la operación:
V 0 = V3 4 ⋅ 1,014889 −^3 =59.955,40 €
(b) Renta anticipada y diferida 3 trimestres
El esquema temporal de la operación es:
0 1/4 2/4 3/4 4/4 ........ 25/4 26/4 27/4 años
V 0 V 2/
C 1 C 1 ⋅ q ........ C 1 ⋅ q^22 C 1 ⋅q^23
Para hallar el valor de esta renta en T = 0 , V , se debe de aplicar la fórmula del valor actual de 0
la renta geométrica, inmediata, vencida y temporal, (^ )^
n n 1 m m
C 1 q^1 I 1 I q
− ⋅ +^ −
⋅ (^) + − , y luego corregir el
diferimiento, que en este caso es d = 2 trimestres.
Al aplicar la fórmula de la renta geométrica, inmediata, temporal y vencida se obtiene el valor de la renta un semestre antes del momento en que se localiza el primer término, es decir, en T = 2 / 4: 24 24 V2 4 2.500 1 1,021,014889^ 1,014889 1,02 62.673,50 €
− ⋅^ −
Por tanto, se debe de corregir el resultado obtenido, V2 / 4 , actualizándolo dos trimestres para
poder obtener el valor en el origen de la operación:
V 0 = V2 4 ⋅ 1,014889 −^2 =60.848,08 €
5. La compra de un equipo informático, cuyo precio al contado es 3.000 €, se financiará mediante el pago de 36 cuotas mensuales crecientes a razón de un 1% acumulativo mensual. Calcular el importe de la primera y última mensualidad si la operación se ha pactado a un 0,75% efectivo mensual en régimen financiero de interés compuesto y el primer pago se realiza 4 meses después de la compra.
Solución: Los datos del ejercicio son:
- Precio al contado es el valor actual de la operación. V 0 = 3.000 €
- m = 12
- q =1,
- I 12 = 0,0075. Para valorar la renta se tiene que utilizar el tanto efectivo mensual ya que la
frecuencia del tanto efectivo de interés tiene que coincidir con la frecuencia de la renta. Se comprueba que 1 + I 12 ≠ q.
6. Al cumplir 35 años un particular inicia un plan de ahorro, en el que realizará aportaciones mensuales y crecientes en un 0,5% mensual acumulativo, con el objetivo de disponer del saldo acumulado cuando cumpla 55 años. Calcular el importe del capital acumulado si la primera imposición ha sido de 200 € y la última imposición se realiza un mes antes de cumplir 55 años. Tipo de interés de interés compuesto 4% efectivo anual.
Solución: Los datos del ejercicio son:
• I 1 = 0,04 ∼ I 12 = ( 1 + I 1 ) 112 − 1 = 0,00327. Para valorar la renta se tiene que utilizar el tanto
efectivo mensual ya que la frecuencia del tanto efectivo de interés tiene que coincidir con la frecuencia de la renta. Se comprueba que 1 + I 12 ≠ q.
El esquema temporal de la operación es:
0 1/12 ............ 120/12 ............. 239/12 240/12 años
V f
200 200 1, 005⋅ ............ 200 1, 005⋅ 119 ……… 200 1, 005⋅^239
De la aplicación inmediata de la fórmula del valor actual de una renta variable
geométricamente, inmediata, temporal y vencida, (^ )^
n n 1 m m
C 1 q^1 I 1 I q
− ⋅ +^ −
⋅ (^) + − , se obtiene el valor de la
renta un mes antes de donde se localiza el primer término de la renta, es decir, en T = −1 12 ,
por tanto para obtener el valor al final de la operación, en T = 240 12, basta capitalizar el
resultado obtenido 241 meses:
(^240 240 ) 240 / 12
S 200 1 1,005^ 1,00327 1,00327 130.023,87 €
− ⋅^ −
7. Sea una renta de 20 términos semestrales crecientes 30 € cada semestre. Si el primer término asciende a 400 € y la valoración se efectúa en régimen financiero de interés compuesto al 5% anual capitalizable semestralmente, calcular el valor actual de la renta bajo los siguientes supuestos: (a) Renta vencida e inmediata. (b) Renta anticipada e inmediata. (c) Renta vencida y diferida 3 semestres.
Solución : Los datos del ejercicio son:
- C 1 =400 €
- h = 30
- m = 2
- n = 20
- i 2 = 0,05 ⇒ I 2 = i 22 = 0,025. Para valorar la renta se tiene que utilizar el tanto efectivo
semestral ya que la frecuencia del tanto efectivo de interés tiene que coincidir con la frecuencia de la renta.
(a) Renta vencida e inmediata El esquema temporal de la renta es:
0 1/2 2/2 3/2 ................... 19/2 20/2 años
V 0
400 400+h 400+2h ................... 400+18h 400+19h
(c) Renta vencida y diferida 3 semestres
El esquema temporal de la operación es:
0 1/2 2/2 3/2 4/2 5/2 ........ 22/2 23/2 años
V 0 V3/
400 400+h ......... 400+18h 400+19h
Para hallar el valor de esta renta en T = 0 , V 0 , se debe de aplicar la fórmula del valor actual de
la renta lineal, inmediata, vencida y temporal y luego corregir el diferimiento, que en este caso es d = 3 semestres. Al aplicar la fórmula de la renta lineal inmediata, temporal y vencida se obtiene el valor de la renta un semestre antes del momento en que se localiza el primer término, es decir, en T =3 2 :
3 2 2 20 I (^22)
V 400 30 20 30 20 30 10.296,15 €
I I
= ^ + + ⋅ ^ ⋅ − ⋅ =
^ a
Por tanto, se debe de corregir el resultado obtenido, V3 / 2 , actualizándolo tres semestres para
poder obtener el valor en el origen de la operación:
V 0 = V3 / 2 ⋅ ( 1 + I 2 ) −^3 =9.560,99 €
8. La compra de un coche, que tiene un precio al contado de 30.000 €, se financia con una entrada de 6.000 €, en el momento de la compra, y el resto con 24 cuotas mensuales, vencidas y decrecientes en 4 € cada mes. Calcular el importe de la primera cuota mensual si el tipo de interés compuesto aplicado es un 6% anual capitalizable mensualmente.
Solución : Los datos del ejercicio son:
- El valor actual de la operación es la cantidad financiada. V 0 =24.000 €
- h = − 4
- m = 12
- n = 24
- i 12 = 0,06 ⇒ I 12 = 12 i^12 =0,005. Para valorar la renta se tiene que utilizar el tanto efectivo
mensual ya que la frecuencia del tanto efectivo de interés tiene que coincidir con la frecuencia de la renta.
El esquema temporal de la operación es:
0 1/12 2/12 3/12 ................... 23/12 24/12 años
V 0
24.000 C 1 C 1 +h C 1 +2h ................... C 1 +22h C 1 +23h
La ecuación de equilibrio que permite determinar la cuantía de la primera cuota mensual, C, debe plantearse en el origen de la operación ya que se conoce el valor actual de la misma, siendo las 24 cuotas mensuales una renta lineal, inmediata, vencida y temporal:
(^0 112) 24 I (^1212)
V 24.000 C 4 24 4 4 24
I I
= = ^ + −^ + ⋅ − ⋅ − −^ ⋅
a
Despejando la C 1 resulta:
1 12 24 I 12 12
C I^4 24 4 1.108,73 €
I
= ^ + + ⋅ =
a
despejando C : 1
( 1 )^111
(^11) 10 I 1
1 I I 1.
C I 10 1.000 724,77 €
+^ ⋅
= ^ − + ⋅ =
a
10. Sea una renta de 40 términos trimestrales, variables a razón de un 4% anual acumulativo. El primer año cada término trimestral asciende a 12.000 €. Hallar el valor actual de la renta, si el tipo de interés compuesto es del 5% efectivo anual, bajo los siguientes supuestos: (a) Renta vencida e inmediata. (b) Renta anticipada e inmediata. (c) Renta vencida y diferida 6 trimestres.
Solución: Las características de la renta son:
- Periodo de pago de la renta: P = 1 4 ⇒ m = 4
- Periodo de variación: P ′ = 1 ⇒ M = 1
- Al ser P ≠P´ se trata de una renta fraccionada.
- Número de términos de la renta: n = 40
- Número de términos de igual cuantía dentro de cada periodo de variación: P
N
P
N
m n
M N
K 4 40 4
- Número de términos de cuantía diferente: N = nk = 404 = 10
• I 1 = 0,05 ~ I 4 = ( 1 + I 1 )^14 − 1 = 0,01227 ⇒ i 4 = I 4 ⋅ 4 =0,
- q =1,
- Durante el primer año, cada término trimestral asciende a 12.000 € ( C 1 =12.000 €). Durante
el segundo año se incrementará dicho término un 4% con respecto al del año anterior, esto es,
C 2 = 1,04 C⋅ 1 = 12.480 €, cumpliéndose que Cr = C 1 ⋅ 1,04 r^ −^1 con r = 1,2,3,... 10.
(a) Renta vencida e inmediata
Las características de la renta auxiliar son:
- Periodo de la renta: P ′ = 1 ⇒ M = 1
- Número de términos: N = 10
- El primer término es C 1 ′ = k ⋅ C 1 = 4 C⋅ 1 = 48.000 € y está situado al final del primer año de la
renta, que es precisamente donde está situado el último término de cuantía C 1. El segundo
término es C′ 2 = k ⋅ C 2 = 4 C⋅ 2 = 4 1,04 C⋅ ⋅ 1 = 1,04 C⋅ 1 ′. Como puede apreciarse, la variación del
término de la renta auxiliar es la misma que la de la renta fraccionada. Este resultado puede generalizarse al resto de los términos y ello permite expresar el término general como
Cr ′ = C 1 ′ ⋅ 1,04 r^ −^1 = 4 C⋅ 1 ⋅ 1,04r^ −^1 con r = 1,2,3,...,10. Por tanto, la renta auxiliar es una renta de
variación geométrica.
Los esquemas temporales correspondientes a la renta fraccionada y auxiliar son:
0 1/4 2/4 ........... 4/4 5/4 6/4 ......... 8/4 .......... 40/4 años
Renta auxiliar C’ 1 =4⋅C 1 C’ 2 =4⋅C 2 .... C’ 10 =4⋅C (^10)
Renta fraccionada C 1 C 1 …..….. C 1 C 2 C 2 .......... C 2 ............ C (^10)
0 1 2 .......... 10 años
Para calcular el valor actual de la renta fraccionada en T =0 , se debe aplicar la fórmula de la renta geométrica, inmediata, vencida y temporal para el caso q ≠ 1 + I 1 , y corregirla por el
fraccionamiento:
f M N^ (^ M)^ N
(^0) m 1 M V i C^1 q^1 I i 1 I q
− ⋅ +^ −
En este caso:
(c) Renta vencida y diferida 6 trimestres
Las características de la renta auxiliar son mismas que en el apartado (a).
Los esquemas temporales correspondientes a la renta fraccionada y auxiliar son:
0 1/4 2/4 ......... 6/4 7/4 8/4 ........ 10/4 ....... 46/4 años
Renta auxiliar C’ 1 =4⋅C 1 .... C’ 10 =4⋅C (^10)
Renta fraccionada C 1 C 1 .......... C 1 ............ C (^10)
0 10/4 ......... 46/4 años
En este caso, si se aplica la fórmula de la renta geométrica, inmediata, vencida y temporal, para el caso q ≠ 1 + I 1 , se obtiene el valor de la renta auxiliar en T =6 / 4 , por tanto, para
obtener el valor de la renta en T = 0 se deberá actualizar el resultado obtenido 6 trimestres y hacer la corrección por fraccionamiento:
( ) (^ )
(^1 10 ) 0 f^1 12 1 auxiliar 0
C
V
V i 48.000 1 1,04^1 I 1 I 414.674,36 € i 1 I 1,
11. El pago de un equipo de esquí, cuyo precio al contado es de 900 €, se realizará mediante 36 cuotas mensuales crecientes semestralmente a razón de un 6% acumulativo. Calcular el importe de la primera y la última mensualidad si el tipo de interés es el 5% efectivo anual y el primer pago se realiza un mes después de la compra.
Solución:
Las características de la renta fraccionada son:
- Periodo de la renta: P = 1 12 ⇒ m = 12
- Periodo de variación: P′ = 12 ⇒ M = 2
- Número de términos de la renta: n = 36
- Número de términos de cuantía diferente: N = 6
- Número de términos de igual cuantía dentro de cada periodo de variación: P
N
P
N
m n
M N
K 12 36 6
• I 1 = 0,05 ~ I 2 = ( 1 + I 1 ) 12 − 1 = 0,02469 ⇒ i 2 = I 2 ⋅ 2 =0,
• I 1 = 0,05 ~ I 12 = ( 1 + I 1 )^112 − 1 = 0,00407 ⇒ i 12 = I 12 ⋅ 12 =0,
- q =1,
- Durante el primer semestre cada término mensual asciende a C 1. Durante el segundo
semestre se incrementará dicho término un 6% con respecto al del semestre anterior, esto es,
C 2 = 1,06 C⋅ 1 , cumpliéndose que Cr = C 1 ⋅ 1,06 r^ −^1 con r = 1,2,...,6.
- En cuanto a los términos de la renta auxiliar, el primer término se obtiene como C^ ′ = 1 k ⋅ C 1 = 6 C⋅ 1 que está situado precisamente donde está situado el último término de
cuantía C 1. El segundo término es C′ = 2 k ⋅ C 2 = 6 C⋅ 2 = 6 ⋅ ( C 1 ⋅1,06. Como puede apreciarse,)
la variación del término de la renta auxiliar es la misma que la de la renta fraccionada y ello
permite expresar el término general como Cr ′ = C 1 ′⋅ 1,06r −^1 con r = 1,2,3,...,6. La renta auxiliar es
una renta de variación geométrica.
Los esquemas temporales correspondientes a la renta fraccionada y auxiliar son:
