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Tema 0. Introducci´on. Repaso de conceptos y
c´alculos b´asicos
Josefa M. Garc´ıa Hern´andez.
Septiembre de 2016.
Josefa M. Garc´ıa Hern´andez. Tema 0. Introducci´on. Repaso de conceptos y c´alculos b´asicos
Conjuntos Un conjunto es una colecci´on de objetos bien definida.
Formas de describir un conjunto Dando la lista de sus elementos entre llaves. Por propiedades que cumplen los elementos del conjunto.
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Ejemplos
A = { 1 , 2 , 3 , 4 } B = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , · · · , 100 } C = { 2 , 4 , 6 , · · · } B = {x / x es un n´umero par entre 1 y 101}
4 ∈ A (4 pertenece a A) 5 ∈/ A (5 no pertenece a A) B ⊂ C (B es un subconjunto de C )
Subconjunto X es un subconjunto de Y (X ⊂ Y ) significa que todo elemento de X tambi´en es un elemento de Y. En lugar de X es un subconjunto de Y se puede decir X est´a incluido en Y
Conjuntos de n´umeros.
N, Z y Q,
N´umeros naturales: N = { 1 , 2 , 3 , · · · }
N´umeros enteros:
Z = {· · · , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , · · · }
N´umeros racionales:
Q =
{ (^) a b
/ a ∈ Z, b ∈ Z, b 6 = 0
N ⊂ Z, Z ⊂ Q (−5 = − 15 ∈ Q)
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Expresi´on decimal.
N´umeros racionales Su expresi´on decimal es siempre o finita o peri´odica.
Ejemplos 7 4 = 1.^75 85 = 85. 0 7 3 = 2.^3333 ... 29 22
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Expresi´on decimal.
N´umeros irracionales Son los n´umeros cuya expresi´on decimal es infinita y no peri´odica.
Ejemplos
e = 2. 718281 ...
Ejercicio extra ¿Qu´e tipo de n´umero es 4. 2301001000100001 ......? ¿Racional o irracional?
Ejercicio extra El n´umero 5. 99999 ...... (todo nueves) ¿es distinto de 6?
El conjunto R de los n´umeros reales Est´a formado por todos los n´umeros racionales o irracionales.
π ∈ R, 7 ∈ R
La recta real Cada n´umero real se representa como un punto de una recta. Se identifica cada n´umero con el punto correspondiente.
Propiedades de los n´umeros reales
Ejemplos 4 3 7 2
=^4
En general,
a bc d
= (^) ba · dc = ab^ ··^ dc
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Importante: No se puede dividir entre 0.
Ejercicio Indica cu´ales de las siguientes expresiones tienen sentido y calcula su valor cuando proceda. 4 0 ||^
4 ||^
4 ||^
(Soluci´on: No tienen sentido la primera ni la cuarta, porque el denominador es cero. S´ı tienen sentido la segunda, que vale 0 y la tercera, que vale 1).
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Propiedades de los n´umeros reales
Propiedades distributivas.
a(b + c) = ab + ac, (b + c)a = ba + ca
a(b − c) = ab − ac, (b − c)a = ba − ca
Ejemplos x(y + 3) = xy + 3x (quitar el par´entesis) x^3 − 4 x^2 = x^2 (x − 4) (sacar factor com´un) 3(x − y 2 + 5z) = 3x − 3 y 2 + 15z 4(xy ) = 4xy (es la propiedad asociativa, no la distributiva)
Otras propiedades de los n´umeros reales
(Los denominadores se suponen distintos de cero)
1 a.b a.c
= b c
(simplificaci´on de cocientes)
2 a b
= c d
⇐⇒ a · d = b · c (igualdad de cocientes)
3 a b
· c d
= ac bd
(producto de cocientes)
(^4) a
b c
ab c
5
a bc d
= ab · dc = adbc (cociente de cocientes)
Otras propiedades de los n´umeros reales
a c
= a^ +^ b c
(suma de cocientes)
a c −^
b c =^
a − b c (resta de cocientes) a c
= ad cd
= ad^ +^ cb cd
(suma de cocientes)
a c −^
b d =^
ad cd −^
cb cd =^
ad − cb cd (resta de cocientes) a −b
= − a b
= −a b
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Ejercicios Calcula y/o simplifica, si es posible. 1 −^15 x − 3 y (Sol:^
− 15 x − 3 y =
15 x 3 y =
5 x y ) 2 5 12
+^3
(Sol: 5 12
+^3
+^9
=^14
=^7
3 −^7 /^2
5 / 8 (Sol:^
5 / 8 =^
2 ·^
5 =^
10 =^
(Otra forma de verlo:
5 / 8 =^
5 · 2 =^
10 =^
+^1
(Sol:^3 2
+^1
=^18
+^2
=^17
x/y
(Sol: 6 x/y
= 6 · y x
=^6 y x
(Otra forma de verlo: 6 x/y
=^6 /^1
x/y
=^6 y x
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Ejercicios 1 2 x^ + 10 2 (Sol:
2 x + 10 2 =
2(x + 5) 2 =^ x^ + 5)
(Otra forma de verlo:
2 x + 10 2 =
2 x 2 +
2 =^ x^ + 5)
2 x
(^3) + 2x 2 x^3 − x^2 (Sol:^
x^3 + 2x^2 x^3 − x^2 =^
x^2 (x + 2) x^2 (x − 1) =^
x + 2 x − 1 )
Ejercicio extra
Simplifica las siguientes expresiones 4 + 10y 2 3 + (^53) 6
Soluciones: 4 + 10y 2
= 2(2 + 5y^ ) 2
= 2 + 5y
3 + (^53) 6 =
14 3 6 1
Multiplicaci´on de expresiones algebraicas
Ejemplos −3(x − 5 y + 4) = − 3 x + 15y − 12 x^2 y (4x^3 + 7y 5 − 5 y ) = x^2 y · 4 x^3 + x^2 y · 7 y 5 − x^2 y · 5 y = 4 x^5 y + 7x^2 y 6 − 5 x^2 y 2
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Multiplicaci´on de expresiones algebraicas
Ejercicio Utiliza la propiedad distributiva para desarrollar la siguiente expresi´on. (x + 2)(y + 3)
Aplicamos la propiedad distributiva, (a + b)c = ac + bc, con (y + 3) en el papel de c: (x + 2)(y + 3) = (propiedad distributiva) x(y + 3) + 2(y + 3) = (de nuevo la prop. distributiva) (xy + 3x) + (2y + 6) = xy + 3x + 2y + 6
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Multiplicaci´on de expresiones algebraicas
Se puede hacer m´as corto: el producto (x + 2) · (y + 3) se efect´ua multiplicando cada sumando del primer par´entesis por cada sumando del segundo par´entesis, directamente as´ı: (x + 2)(y + 3) = xy + 3x + 2y + 6.
Ejercicio extra
Desarrolla la expresi´on (−a − b)^2
Multiplicaci´on de expresiones algebraicas
Ejercicios Desarrolla las siguientes expresiones. (^1) (x + y + z)(a + b) (^2) (x + y )^2 (^3) (x − y )^2 (^4) (x + y )(x − y )
Soluci´on: (x + y + z)(a + b) = xa + xb + ya + yb + za + zb (x +y )^2 = (x +y )·(x +y ) = x ·x +x ·y +y ·x +y ·y = x^2 +2xy +y 2 (x − y ) · (x − y ) = x · x − x · y − y · x + y · y = x^2 − 2 xy + y 2 (x + y )(x − y ) = x^2 − xy + yx − y 2 = x^2 − y 2
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Igualdades notables
Son especialmente importantes los tres ´ultimos resultados del ejercicio anterior Igualdades notables (x + y )^2 = x^2 + 2xy + y 2 (Cuadrado de la Suma) (x − y )^2 = x^2 − 2 xy + y 2 (Cuadrado de la Diferencia) (x + y )(x − y ) = x^2 − y 2 (Suma por Diferencia)
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Potencias
En una potencia an, la base es a y el exponente es n. Definici´on Sea a ∈ R, n ∈ N. an^ = a · a · · · a (n factores) a^0 = 1 (para a 6 = 0) a−n^ = 1 an^
(para a 6 = 0)
Ejemplos (−2)^3 = (−2) · (−2) · (−2) = − 8 00 no est´a definido. 2 −^3 = 1 23
=^1
Hemos definido las potencias an^ con n ∈ Z, (es decir, n es un entero positivo, negativo o cero)
Potencias
Propiedades b´asicas Sean a ∈ R, b ∈ R, n ∈ Z. (^1) am^ · an^ = am+n^ (Ejemplo: 3^2 · 33 = 3^5 )
2 a
m an^ =^ a
m−n (^) = 1 an−m^ (Ejemplos:
(^7) , x^2 x^6 =^ x
x^4 ) (^3) (ab)n^ = an^ bn^ (Ejemplo: (5x)^3 = 5^3 x^3 = 125x^3 )
4
( (^) a b
)n = a
n bn^
(Ejemplo:
=^2
5 35
(^5) (am)n^ = amn^ (Ejemplos: (2^3 )^4 = 2^12 , (3−^2 )^4 = 3−^8 )
Potencias de exponente fraccionario
Ejercicios (^1) Expresa √ 51 x^3
como una potencia.
Sol.:
√ (^5) x 3 =
x^3 /^5
= x−^3 /^5
(^2) Simplifica x−^2 /^3 · x^2. Sol.: x−^2 /^3 · x^2 = x−^2 /3+2^ = x^4 /^3 = 3
x^4 (^3) Simplifica √ 16 x^2 + 9x^2 Sol.:
16 x^2 + 9x^2 =
25 x^2 =
x^2 = 5x ( Hemos usado que
x^2 = x. Pero, ¿es cierto eso para todo x ∈ R? No. S´olo para x positivo.)
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Ecuaciones
¿Qu´e pasos damos para resolver una ecuaci´on de primer grado? Ejemplo Ecuaci´on: 4 x − 12 = 16. Sumo 12 en los dos miembros: 4 x − 12 + 12 = 16 + 12 → 4 x = 28
Divido entre 4 los dos miembros: 44 x =^284 → x = 7
Operaciones permitidas en una ecuaci´on Permiten pasar a una ecuaci´on equivalente. (^1) Sumar o restar un mismo n´umero en los dos miembros. (^2) Multiplicar o dividir los dos miembros por un mismo n´umero no nulo. Josefa M. Garc´ıa Hern´andez. Tema 0. Introducci´on. Repaso de conceptos y c´alculos b´asicos
Ecuaciones
En la pr´actica, se hace as´ı: Ejemplo
4 x − 12 = 16 =⇒ (a)
4 x = 16 + 12 =⇒ 4 x = 28 =⇒ (b)
x = 284 = 7
En el paso (a) hemos pasado el 12 (que est´a restando) al otro miembro (sumando). En el paso (b), hemos pasado el 4 (que est´a multiplicando) al otro miembro (dividiendo).
Ecuaciones
Ejercicios Resuelve las siguientes ecuaciones. 1 x 3
− 4 = x 5 2 x^ + 2 3 −^
2 − x 6 =^ x^ −^2 3 4 x^ −^5 6 −^
2 x 3 = 4
Soluciones: 1.- x = 30, 2.- x = 14/3, 3.- No tiene
Ecuaciones de segundo grado.
Ecuaci´on general de segundo grado:
ax^2 + bx + c = 0 (a 6 = 0)
Ejemplo La ecuaci´on x^2 − 3 x = 0 se puede resolver factorizando el primer miembro.
x(x − 3) = 0 ⇒
x= o x − 3 = 0 → x=
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Ejemplo La ecuaci´on x^2 − 4 = 0 equivale a x^2 = 4.
Entonces x = ±
4 = ±2. (es decir, x = 2 o x = −2). La ecuaci´on x^2 − 4 = 0 tambi´en se puede resolver factorizando el primer miembro.
x^2 − 22 = 0 ⇒ (x + 2)(x − 2) = 0 ⇒
x + 2 = 0 → x=- o x − 2 = 0 → x=
Ejemplo La ecuaci´on x^2 + 9 = 0 equivale a x^2 = −9. No tiene soluci´on.
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F´ormula general
ax^2 + bx + c = 0 =⇒ x =
−b ±
b^2 − 4 ac 2 a NOTA. Se llama discriminante de la ecuaci´on a ∆ = b^2 − 4 ac. Si ∆ es positivo, existen dos soluciones de la ecuaci´on. Si ∆ = 0, existe s´olo una soluci´on. Si ∆ es negativo, no existe soluci´on.
F´ormula general
ax^2 + bx + c = 0 =⇒ x = −b^ ±
b^2 − 4 ac 2 a
Ejemplo Resolvemos la ecuaci´on 2x^2 − 7 x + 6 = 0. Ahora a = 2, b = −7, c = 6.
x = −(−7)^ ±^
(−7)^2 − 4 · (2) · (6)
==^7 ±
=^7 ±^1
Tenemos dos soluciones:
x 1 =
x 2 =^64 =^32
Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos inc´ognitas.
Ejercicio Una enfermera dispone de dos soluciones que contienen diferentes concentraciones de cierto medicamento. Una tiene una concentraci´on del 12.5 % y la otra del 5 %. ¿Cu´antos cent´ımetros c´ubicos de cada una deber´ıa mezclar para obtener 20 cent´ımetros c´ubicos con una concentraci´on del 8 %?
Soluci´on: x: n´umero de cm^3 de la soluci´on al 12.5 %. y : n´umero de cm^3 de la soluci´on al 5 %. Cantidad total de soluci´on: x + y = 20. Cantidad total de medicamento:
- 125 x + 0. 05 y = (0.08) · (20) = 1. 6 Resolviendo
x + y = 20
- 125 x + 0. 05 y = 1. 6 sale:^ x^ = 8 ,^ y^ = 12.
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Desigualdades
Definici´on a > b significa a es mayor que b. Otros s´ımbolos: <, ≤, ≥. Ejemplos: 2 ≤ 4, 5 ≥ 5. Propiedades (^1) a < b y b < c =⇒ a < c. (Propiedad transitiva). (NOTA: =⇒ significa implica. O, lo que es lo mismo, Si..... entonces...... De modo que la propiedad anterior significa que: Si a < b y b < c entonces a < c.) (^2) a < b =⇒ a + c < b + c. (^3) a < b =⇒ a − c < b − c. Sumar o restar un mismo n´umero en los dos t´erminos de una desigualdad mantiene el sentido de la desigualdad.Josefa M. Garc´ıa Hern´andez. Tema 0. Introducci´on. Repaso de conceptos y c´alculos b´asicos
Desigualdades
Propiedades (^1) a < b y c > 0 =⇒ a · c < b · c.
(^2) a < b y c > 0 =⇒ a c
< b c
Multiplicar o dividir por un mismo n´umero positivo los dos t´erminos de una desigualdad mantiene el sentido de la desigualdad.
Propiedades (^1) a < b y c < 0 =⇒ a · c > b · c.
(^2) a < b y c < 0 =⇒ a c >^
b c. Multiplicar o dividir por un mismo n´umero negativo los dos t´erminos de una desigualdad cambia el sentido de la desigualdad.
Cambiando a < b por a ≤ b se obtienen propiedades an´alogas.
Ejemplos 4 < 8 =⇒ (−1) · (4) > (−1) · (8) =⇒ − 4 > − 8 5 x ≥ 4 x + 2 =⇒ 5 x − 4 x ≥ 4 x + 2 − 4 x =⇒ x ≥ 2
Intervalos
Una expresi´on como 2 < x ≤ 3 significa dos desigualdades simult´aneas: 2 < x , x ≤ 3. El conjunto formado por los x que cumplen estas desigualdades se expresa as´ı: {x ∈ R / 2 < x ≤ 3 }. Este conjunto es un ejemplo de intervalo y se denota como (2, 3]. Veamos los distintos tipos de intervalos.
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Intervalos
Intervalos acotados Sean a, b ∈ R, siendo a < b. [a, b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b} (intervalo cerrado) (a, b) = {x ∈ R / a < x < b} (intervalo abierto) [a, b) = {x ∈ R / a ≤ x < b} (a, b] = {x ∈ R / a < x ≤ b}
Intervalos no acotados [a, +∞) = {x ∈ R / a ≤ x} (−∞, a) = {x ∈ R / x < a} Otros intervalos: (a, +∞), (−∞, a], (−∞, +∞) = R
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Intervalos
Ejemplos (−∞, 4] = {x ∈ R / x ≤ 4 }, [
2 , 3) = {x ∈ R /
2 ≤ x < 3 }
Inecuaciones
Ejemplo
Resuelve la inecuaci´on x − 2
Multiplicamos por (−2) en los dos t´erminos.
(−2) ·
x − 2 >^ (−2)^ ·^ (−4)
x > 8
El conjunto soluci´on es
{x ∈ R / x > 8 } = (8, +∞)
