Optimización de funciones de una variable, Apuntes de Matemáticas

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Tema 4. Optimizaci´on de funciones de una

variable.

Josefa Garc´ıa Hern´andez.

Noviembre de 2016.

1.- Crecimiento y decrecimiento

Sea f : D → R una funci´on. Sea I un intervalo cualquiera, I ⊂ D.

DEFINICI ´ON de crecimiento y decrecimiento (^1) Se dice que f es creciente en el intervalo I cuando, para cualesquiera x 1 , x 2 ∈ I : x 1 < x 2 =⇒ f (x 1 ) < f (x 2 ) (Cuando aumenta x, aumenta tambi´en f (x).) (Y, cuando disminuye x, disminuye tambi´en f (x).) (^2) Se dice que f es decreciente en I cuando, para cualesquiera x 1 , x 2 ∈ I : x 1 < x 2 =⇒ f (x 1 ) > f (x 2 ) (Cuando aumenta x, disminuye f (x).) (Y, cuando disminuye x, aumenta f (x).)

Lo que hemos llamado creciente (resp. decreciente) en algunos textos se llama estrictamente creciente (resp. estr. decreciente.).

1.- Crecimiento y decrecimiento

El signo de la derivada de una funci´on nos dice d´onde es creciente y d´onde es decreciente.

Forma de estudiar el crecimiento y decrecimiento Suponemos que f es derivable en un intervalo cualquiera I. Entonces (^1) f ′(x) > 0 (∀x ∈ I ) =⇒ f (x) es creciente en I.

(^2) f ′(x) < 0 (∀x ∈ I ) =⇒ f (x) es decreciente en I.

1.- Crecimiento y decrecimiento

¿C´omo se sabe en qu´e intervalos crece una funci´on y en cu´ales decrece? Estudiando el signo de la derivada. Ejemplo 2 Para la funci´on f : R → R dada por f (x) = x^2 − 5 x + 6, la derivada es f ′(x) = 2x − 5. Estudiamos su signo. Dividimos en intervalos usando las discontinuidades (no hay) y los puntos donde f ′(x) = 0, que es x =

5 2 Elegimos un punto en cada intervalo y concluimos. f ′(0) = − 5 < 0, por tanto f es decreciente en (−∞, 52 ). f ′(4) = 3 > 0, y entonces f es creciente en ( 52 , +∞).

Ejemplo 3 (Continuaci´on)

Tenemos as´ı los intervalos (−∞, 0), (0, 2) y (2, +∞).

Evaluamos f ′(x) = (2x − x^2 ) e−x^ en puntos de los intervalos.

f ′(−1) = − 3 e^1 < 0, luego f decrece en (−∞, 0). f ′(1) = e−^1 > 0, por tanto f crece en (0, 2). f ′(3) = − 3 e−^3 < 0, de donde f decrece en (2, +∞).

Esto se puede poner en esquema:

x (−∞, 0) (0, 2) (2, +∞) f ′(x) − + − f (x) decrece crece decrece

1.- Crecimiento y decrecimiento

Ejemplo 4 Consideremos la funci´on f (x) = 1/x, cuyo dominio es Dom(f ) = R \ { 0 }. Su derivada es f ′(x) = − 1 /x^2. Estudiamos su signo. Discontinuidades: x = 0. Puntos donde se anula: No hay. Intervalos: (−∞, 0) y (0, ∞). Observamos que la derivada es negativa en ambos intervalos. Por tanto, la funci´on decrece en el intervalo (−∞, 0) y tambi´en decrece en (0, +∞). A t´ıtulo de curiosidad, su gr´afica es:

2.- Concepto de m´aximos y m´ınimos locales y globales

Consideremos la funci´on y = f (x) representada a continuaci´on. Esta funci´on tiene “m´aximos” en los puntos a y c. En el punto a tiene un m´aximo local(=relativo), mientras que en el punto c lo que hay es un m´aximo global(=absoluto). En el punto b se alcanza un m´ınimo local. La funci´on no tiene m´ınimo global.

Veamos las definiciones rigurosas de estos conceptos.

2.- Concepto de m´aximos y m´ınimos locales y globales

Def. (M´aximo y m´ınimo global de una funci´on) Sea f : D → R una funci´on. Sea a ∈ D. Se dice que la funci´on f tiene un m´aximo global en a si

f (a) ≥ f (x) (∀x ∈ D)

El valor f (a) se llama valor m´aximo de la funci´on f. La definici´on de m´ınimo global y de valor m´ınimo es an´aloga.

Def. (M´aximo y m´ınimo local de una funci´on) . En las mismas circunstancias, se dice que la funci´on f tiene un m´aximo local en a si existe un intervalo abierto (α, β) al que pertenece a tal que

f (a) ≥ f (x) (∀x ∈ (α, β) ∩ D)

La definici´on de m´ınimo local es totalmente an´aloga.

2.- Concepto de m´aximos y m´ınimos locales y globales

Ejemplo 7 Si la funci´on anterior la restringimos al dominio [0, 3], es decir, consideramos la funci´on g : [0, 3] → R definida por g (x) = 8x^2 − x^4 , la gr´afica es ahora

Tiene un m´ınimo local en x = 0 y otro en x = 3. Tiene m´ınimo global en x = 3. Valor m´ınimo: f (3) = −9. Hay un m´aximo local en x = 2. Y global. Valor m´aximo: f (2) = 16.

2.- Concepto de m´aximos y m´ınimos locales y globales

Debemos aclarar algunas cosas: Los m´aximos o m´ınimos se denominan indistintamente extremos u ´optimos. El m´aximo global de una funci´on puede existir o no. Lo mismo ocurre con el m´ınimo global. Pueden existir o no extremos locales. Todo m´aximo global ser´a tambi´en un m´aximo local, pero no al rev´es. Lo mismo ocurre con los m´ınimos. El dominio de la funci´on es importante para la existencia o no de extremos globales, como muestra el ejemplo anterior.

3.- Condici´on necesaria de extremo local

NOTA 1: La condici´on f ′(xo ) = 0 significa que la recta tangente a la gr´afica de f en el punto xo (donde hay m´aximo o m´ınimo local) debe ser horizontal (=de pendiente 0), como en el m´aximo local y el m´ınimo local que aparecen en el primero de los siguientes dibujos.

NOTA 2: El hecho de que se cumpla f ′(xo ) = 0 no garantiza que haya m´aximo o m´ınimo local en xo. Por ejemplo, la funci´on f (x) = x^3 cuya gr´afica es la segunda de las anteriores, en xo = 0 cumple que f ′(0) = 0, pero no es m´aximo ni m´ınimo. Esto muestra que la condici´on necesaria f ′(xo ) = 0 no es suficiente.

3.- Condici´on necesaria de extremo local

NOTA 3: Recalcamos que la condici´on f ′(xo ) = 0 es necesaria para que haya un extremo local es xo. Pero es necesaria bajo los supuestos de que:

1. exista la derivada f ′(xo ) y
2. La funci´on f est´a definida a ambos lados del punto xo (justo eso es lo que significa que xo ∈ (α, β) ⊂ D). Si fallara alguno de estos dos supuestos, ya no se tiene por qu´e verificar dicha condici´on necesaria, como se observa en los dos ejemplos siguientes. (a) La funci´on “valor absoluto”, f (x) = |x|. En x = 0 hay un m´ınimo. Pero no cumple f ′(0) = 0, ya que ni siquiera existe f ′(0).

3.- Condici´on necesaria de extremo local

CASO C ´OMODO

El caso m´as sencillo para encontrar los extremos locales es el de una funci´on f : I → R, siendo I un intervalo abierto (puede ser todo R) que sea derivable en todo I. Entonces cualquier m´aximo o m´ınimo local debe verificar la condici´on necesaria de extremo local. Los puntos que cumplen esta condici´on necesaria son muy importantes. Se llaman puntos cr´ıticos. Merecen una definici´on. Def. (Punto cr´ıtico): Se llama punto cr´ıtico de una funci´on f a cualquier punto x del dominio de f que cumple que f ′(x) = 0.

En el caso c´omodo, los ´unicos puntos donde puede existir m´aximo o m´ınimo local son los puntos cr´ıticos. Son entonces los ´unicos candidatos a extremos locales.

3.- Condici´on necesaria de extremo local

CASO GENERAL

Para funciones generales, f : D → R, donde ahora D es un intervalo o uni´on de intervalos de cualquier tipo (en particular puede tener puntos frontera) y f es continua en D (en particular puede ser no derivable en alg´un punto), los candidatos a m´aximos y m´ınimos ser´ıan los puntos de los siguientes tipos: puntos cr´ıticos (puntos x ∈ D donde f ′(x) = 0). puntos frontera del dominio (si los hubiera). puntos donde f no es derivable (pero s´ı continua).