¡Descarga Optimización de funciones de una variable y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Tema 4. Optimizaci´on de funciones de una
variable.
Josefa Garc´ıa Hern´andez.
Noviembre de 2016.
Josefa Garc´ıa Hern´andez. Tema 4. Optimizaci´on de funciones de una variable.
1.- Crecimiento y decrecimiento
Sea f : D → R una funci´on. Sea I un intervalo cualquiera, I ⊂ D.
DEFINICI ´ON de crecimiento y decrecimiento (^1) Se dice que f es creciente en el intervalo I cuando, para cualesquiera x 1 , x 2 ∈ I : x 1 < x 2 =⇒ f (x 1 ) < f (x 2 )
(Cuando aumenta x, aumenta tambi´en f (x).) (Y, cuando disminuye x, disminuye tambi´en f (x).)
(^2) Se dice que f es decreciente en I cuando, para cualesquiera x 1 , x 2 ∈ I : x 1 < x 2 =⇒ f (x 1 ) > f (x 2 )
(Cuando aumenta x, disminuye f (x).) (Y, cuando disminuye x, aumenta f (x).)
Lo que hemos llamado creciente (resp. decreciente) en algunos textos se llama estrictamente creciente (resp. estr. decreciente.). Josefa Garc´ıa Hern´andez. Tema 4. Optimizaci´on de funciones de una variable.
1.- Crecimiento y decrecimiento
Ejemplo 1 A modo de ejemplo, mostramos tres gr´aficas de funciones. La primera de ellas es creciente en todo R. La segunda es decreciente en el intervalo (−∞, 0) y creciente en (0, +∞). La tercera funci´on es decreciente en (−∞, 0) y tambi´en decreciente en (0, +∞).
1.- Crecimiento y decrecimiento
El signo de la derivada de una funci´on nos dice d´onde es creciente y d´onde es decreciente.
Forma de estudiar el crecimiento y decrecimiento Suponemos que f es derivable en un intervalo cualquiera I. Entonces
(^1) f ′(x) > 0 (∀x ∈ I ) =⇒ f (x) es creciente en I.
(^2) f ′(x) < 0 (∀x ∈ I ) =⇒ f (x) es decreciente en I.
1.- Crecimiento y decrecimiento
¿C´omo se sabe en qu´e intervalos crece una funci´on y en cu´ales decrece? Estudiando el signo de la derivada.
Ejemplo 2 Para la funci´on f : R → R dada por f (x) = x^2 − 5 x + 6, la derivada es f ′(x) = 2x − 5. Estudiamos su signo. Dividimos en intervalos usando las discontinuidades (no hay) y los
puntos donde f ′(x) = 0, que es x =
5 2
Elegimos un punto en cada intervalo y concluimos. f ′(0) = − 5 < 0, por tanto f es decreciente en (−∞, 52 ). f ′(4) = 3 > 0, y entonces f es creciente en ( 52 , +∞). Josefa Garc´ıa Hern´andez. Tema 4. Optimizaci´on de funciones de una variable.
1.- Crecimiento y decrecimiento
¿C´omo se sabe en qu´e intervalos crece una funci´on y en cu´ales decrece? Estudiando el signo de la derivada.
Ejemplo 3 Para la funci´on f : R → R dada por f (x) = x^2 e−x^.
f ′(x) = 2xe−x^ + x^2 (−e−x^ ) = 2xe−x^ − x^2 e−x
Es decir, f ′(x) = (2x − x^2 ) e−x^.
Esta derivada no tiene discontinuidadesa^ Veamos cu´ando se anula.
(2x − x^2 ) e−x^ = 0 −→ 2 x − x^2 = 0 −→ x = 0 ´o x = 2
Se ha tenido en cuenta que e−x^ es siempre positiva, y por tanto, nunca vale 0. aPorque el polinomio y la exponencial son continuas en todo R.
Josefa Garc´ıa Hern´andez. Tema 4. Optimizaci´on de funciones de una variable.
Ejemplo 3 (Continuaci´on)
Tenemos as´ı los intervalos (−∞, 0), (0, 2) y (2, +∞). Evaluamos f ′(x) = (2x − x^2 ) e−x^ en puntos de los intervalos. f ′(−1) = − 3 e^1 < 0, luego f decrece en (−∞, 0). f ′(1) = e−^1 > 0, por tanto f crece en (0, 2). f ′(3) = − 3 e−^3 < 0, de donde f decrece en (2, +∞).
Esto se puede poner en esquema:
x (−∞, 0) (0, 2) (2, +∞) f ′(x) − + − f (x) decrece crece decrece
1.- Crecimiento y decrecimiento
Ejemplo 4 Consideremos la funci´on f (x) = 1/x, cuyo dominio es Dom(f ) = R \ { 0 }.
Su derivada es f ′(x) = − 1 /x^2. Estudiamos su signo. Discontinuidades: x = 0. Puntos donde se anula: No hay. Intervalos: (−∞, 0) y (0, ∞). Observamos que la derivada es negativa en ambos intervalos.
Por tanto, la funci´on decrece en el intervalo (−∞, 0) y tambi´en decrece en (0, +∞). A t´ıtulo de curiosidad, su gr´afica es:
2.- Concepto de m´aximos y m´ınimos locales y globales
Ejemplo 7 Si la funci´on anterior la restringimos al dominio [0, 3], es decir, consideramos la funci´on g : [0, 3] → R definida por g (x) = 8x^2 − x^4 , la gr´afica es ahora
Tiene un m´ınimo local en x = 0 y otro en x = 3. Tiene m´ınimo global en x = 3. Valor m´ınimo: f (3) = −9. Hay un m´aximo local en x = 2. Y global. Valor m´aximo: f (2) = 16.
Josefa Garc´ıa Hern´andez. Tema 4. Optimizaci´on de funciones de una variable.
2.- Concepto de m´aximos y m´ınimos locales y globales
Debemos aclarar algunas cosas: Los m´aximos o m´ınimos se denominan indistintamente extremos u ´optimos. El m´aximo global de una funci´on puede existir o no. Lo mismo ocurre con el m´ınimo global. Pueden existir o no extremos locales. Todo m´aximo global ser´a tambi´en un m´aximo local, pero no al rev´es. Lo mismo ocurre con los m´ınimos. El dominio de la funci´on es importante para la existencia o no de extremos globales, como muestra el ejemplo anterior.
Josefa Garc´ıa Hern´andez. Tema 4. Optimizaci´on de funciones de una variable.
3.- Condici´on necesaria de extremo local
La derivada es muy ´util para detectar los extremos locales de una funci´on. El resultado importante es:
Condici´on necesaria de extremo local Sea f : D → R una funci´on. Sea xo ∈ D. Suponemos que existe un intervalo abierto (α, β) tal que xo ∈ (α, β) ⊂ D.
Si f presenta un m´aximo local o un m´ınimo local en el punto xo y, adem´as, existe f ′(xo ), entonces:
f ′(xo ) = 0
3.- Condici´on necesaria de extremo local
NOTA 1: La condici´on f ′(xo ) = 0 significa que la recta tangente a la gr´afica de f en el punto xo (donde hay m´aximo o m´ınimo local) debe ser horizontal (=de pendiente 0), como en el m´aximo local y el m´ınimo local que aparecen en el primero de los siguientes dibujos.
NOTA 2: El hecho de que se cumpla f ′(xo ) = 0 no garantiza que haya m´aximo o m´ınimo local en xo. Por ejemplo, la funci´on f (x) = x^3 cuya gr´afica es la segunda de las anteriores, en xo = 0 cumple que f ′(0) = 0, pero no es m´aximo ni m´ınimo. Esto muestra que la condici´on necesaria f ′(xo ) = 0 no es suficiente.
3.- Condici´on necesaria de extremo local
NOTA 3: Recalcamos que la condici´on f ′(xo ) = 0 es necesaria para que haya un extremo local es xo. Pero es necesaria bajo los supuestos de que:
- exista la derivada f ′(xo ) y
- La funci´on f est´a definida a ambos lados del punto xo (justo eso es lo que significa que xo ∈ (α, β) ⊂ D). Si fallara alguno de estos dos supuestos, ya no se tiene por qu´e verificar dicha condici´on necesaria, como se observa en los dos ejemplos siguientes. (a) La funci´on “valor absoluto”, f (x) = |x|. En x = 0 hay un m´ınimo. Pero no cumple f ′(0) = 0, ya que ni siquiera existe f ′(0).
Josefa Garc´ıa Hern´andez. Tema 4. Optimizaci´on de funciones de una variable.
3.- Condici´on necesaria de extremo local
(b) La funci´on f (x) = − 2 x + 6 definida sobre el dominio D = [− 1 , 4]. En x = −1 hay un m´aximo. Pero f ′(−1) = − 2 6 = 0. (Aqu´ı falla la condici´on necesaria porque la funci´on no est´a definida a ambos lados del punto −1).
Y en x = 4 hay un m´ınimo. Pero f ′(4) = − 2 6 = 0. (Tambi´en falla la condici´on necesaria por lo mismo que antes).
Josefa Garc´ıa Hern´andez. Tema 4. Optimizaci´on de funciones de una variable.
3.- Condici´on necesaria de extremo local
CASO C ´OMODO
El caso m´as sencillo para encontrar los extremos locales es el de una funci´on f : I → R, siendo I un intervalo abierto (puede ser todo R) que sea derivable en todo I. Entonces cualquier m´aximo o m´ınimo local debe verificar la condici´on necesaria de extremo local.
Los puntos que cumplen esta condici´on necesaria son muy importantes. Se llaman puntos cr´ıticos. Merecen una definici´on.
Def. (Punto cr´ıtico): Se llama punto cr´ıtico de una funci´on f a cualquier punto x del dominio de f que cumple que f ′(x) = 0.
En el caso c´omodo, los ´unicos puntos donde puede existir m´aximo o m´ınimo local son los puntos cr´ıticos. Son entonces los ´unicos candidatos a extremos locales.
3.- Condici´on necesaria de extremo local
CASO GENERAL
Para funciones generales, f : D → R, donde ahora D es un intervalo o uni´on de intervalos de cualquier tipo (en particular puede tener puntos frontera) y f es continua en D (en particular puede ser no derivable en alg´un punto), los candidatos a m´aximos y m´ınimos ser´ıan los puntos de los siguientes tipos: puntos cr´ıticos (puntos x ∈ D donde f ′(x) = 0). puntos frontera del dominio (si los hubiera). puntos donde f no es derivable (pero s´ı continua).
4.- Clasificaci´on de extremos locales mediante el estudio
del crecimiento y decrecimiento
Por gusto, ya que sabemos los m´aximos y m´ınimos locales, podemos dibujar la funci´on del ejemplo anterior. Conocemos la abscisa, x, de estos puntos. Falta y = f (x). Para x = 4, y = f (4) = 4^3 − 6(4)^2 = −32. El punto es P = (4, −32) (m´ınimo local). Y para x = 0, f (0) = 0. El punto es P = (0, 0) (m´aximo local). La gr´afica de la funci´on es la siguiente.
Josefa Garc´ıa Hern´andez. Tema 4. Optimizaci´on de funciones de una variable.
4.- Clasificaci´on de extremos locales mediante el estudio
del crecimiento y decrecimiento
Ejemplo 9 Buscaremos los extremos locales de la funci´on g : [0, +∞) → R,
siendo g (x) =
x si 0 ≤ x ≤ 2 x^2 − 6 x + 10 si x > 2 Ya no estamos en el caso c´omodo, porque el dominio es [0, +∞), que es un intervalo no abierto. Adem´as, no sabemos si es continua y derivable en x = 2, donde cambia la f´ormula. Vemos si es continua: l´ım x→ 2 −^
g (x) = l´ım x→ 2 −
(x) = 2.
l´ım x→ 2 +^
g (x) = l´ım x→ 2 +
(x^2 − 6 x + 10) = 4 − 12 + 10 = 2. f (2) = 2. Por tanto, s´ı es continua en 2.
Josefa Garc´ıa Hern´andez. Tema 4. Optimizaci´on de funciones de una variable.
4.- Clasificaci´on de extremos locales mediante el estudio
del crecimiento y decrecimiento
Ejemplo 9 (Continuaci´on) Para ver si es derivable, primero hallamos la funci´on derivada. Existe en todos los puntos salvo quiz´as en x = 2
g ′(x) =
1 si 0 ≤ x < 2 2 x − 6 si x > 2 Entonces: l´ım x→ 2 −^
g ′(x) = l´ım x→ 2 −
l´ım x→ 2 +^
g ′(x) = l´ım x→ 2 +
(2x − 6) = −2. De modo que la funci´on no es derivable en x = 2.
Por tanto, los posibles extremos locales est´an en: Puntos cr´ıticos: g ′(x) = 0. Como 1 6 = 0, s´olo queda 2x − 6 = 0, es decir, x = 3. Puntos frontera del dominio: x = 0. Puntos donde no es derivable: x = 2.
4.- Clasificaci´on de extremos locales mediante el estudio
del crecimiento y decrecimiento
Ejemplo 9 (Continuaci´on) Estudiamos el signo de la derivada
g ′(x) =
1 si 0 ≤ x < 2 2 x − 6 si x > 2
x [0, 2) (2, 3) (3, +∞) g ′(x) + − + g (x) crece decrece crece
De modo que g tiene un m´ınimo local en x = 0, un m´aximo local en x = 2 y un m´ınimo local en x = 3. Por gusto, la gr´afica es
1 2 3 4
5.- Convexidad y concavidad
Veamos un ejemplo. El n´umero de unidades que un trabajador lleva producidas t horas despu´es de haber llegado a su trabajo est´a dado por una funci´on cuya gr´afica tiene un aspecto como el siguiente.
P
Tiempo
Producción
Al principio la gr´afica tiene poca inclinaci´on. Aumenta con el tiempo. Hasta que se llega a P, (m´axima eficiencia). A partir de P la inclinaci´on va disminuyendo. (P se llama punto de rendimientos decrecientes). Josefa Garc´ıa Hern´andez. Tema 4. Optimizaci´on de funciones de una variable.
5.- Convexidad y concavidad
P
Tiempo
Producción
El comportamiento a los dos lados del punto P se puede describir mediante las pendientes de las rectas tangentes. A la izquierda del punto P, conforme aumenta el tiempo, aumenta tambi´en la pendiente de la recta tangente.
Mientras que a la derecha de P, la pendiente disminuye conforme aumenta el tiempo. A la izquierda de P la funci´on es convexa y a la derecha, es c´oncava. Veamos estos conceptos. Josefa Garc´ıa Hern´andez. Tema 4. Optimizaci´on de funciones de una variable.
5.- Convexidad y concavidad
Definici´on Consideremos una funci´on f definida en un dominio D. Sea I un intervalo I ⊂ D. Suponemos que f es derivable en I. Diremos que f es convexa en I si f ′^ es creciente en I. Diremos que f es c´oncava en I si f ′^ es decreciente en I.
Convexa C´oncava
5.- Convexidad y concavidad
Convexa C´oncava
Obs´ervese que en una funci´on convexa la pendiente va aumentando conforme nos movemos hacia la derecha. Mientras que en una funci´on c´oncava la pendiente va disminuyendo. Tambi´en es cierto que en una funci´on convexa las rectas tangentes se encuentran por debajo de la gr´afica. Y en una funci´on c´oncava las rectas tangentes se encuentran por encima de la gr´afica.
6.- Puntos de inflexi´on
Definici´on: Una funci´on f se dice que tiene un punto de inflexi´on en un punto xo en el que es continua si cambia de concavidad en dicho punto (es decir, antes de xo la funci´on es convexa y despu´es c´oncava o al rev´es).
Condici´on necesaria de punto de inflexi´on: Si f tiene un punto de inflexi´on en xo y existe f ′′(xo ), debe ser f ′′(xo ) = 0.
NOTA: La condici´on anterior es necesaria, pero no suficiente. Los puntos x que cumplen que f ′′(x) = 0 son los posibles puntos de inflexi´on.
Josefa Garc´ıa Hern´andez. Tema 4. Optimizaci´on de funciones de una variable.
6.- Puntos de inflexi´on
Ejemplo 12 Para la funci´on f (x) = x^3 − 6 x^2 estudiamos los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexi´on. Su primera derivada es f ′(x) = 3x^2 − 12 x. Y la segunda derivada es f ′′(x) = 6x − 12. Estudiamos su signo. No tiene discontinuidades y se anula en: f ′′(x) = 0 ⇒ 6 x − 12 = 0 ⇒ x = 2.
Los intervalos a considerar son (−∞, 2) y (2, +∞). Vemos que, por ejemplo, f ′′(0) = − 12 < 0 y f ′′(3) = 6 > 0. Esto nos dice que nuestra funci´on es c´oncava en (−∞, 2) y convexa en (2, +∞). Por otra parte, el ´unico posible punto de inflexi´on es x = 2. Y en ´el cambia de c´oncava antes a convexa despu´es. Luego realmente x = 2 es un punto de inflexi´on. Josefa Garc´ıa Hern´andez. Tema 4. Optimizaci´on de funciones de una variable.
7.- Clasificaci´on de extremos locales mediante la segunda
derivada
La segunda derivada se puede usar para clasificar los puntos cr´ıticos como m´aximos o m´ınimos locales. Es una alternativa al uso del crecimiento y decrecimiento antes y despu´es de cada punto, que vimos anteriormente.
Test de la segunda derivada. Si xo es un punto cr´ıtico (es decir, f ′(xo ) = 0) y existe f ′′(xo ), se tiene que: (^1) Si f ′′(xo ) > 0, entonces f tiene un m´ınimo local en el punto x 0. (^2) Si f ′′(xo ) < 0, entonces f tiene un m´aximo local en el punto x 0. (^3) Si f ′′(xo ) = 0, entonces no se sabe lo que ocurre. (Puede pasar que s´ı haya extremo local en xo o que no)
7.- Clasificaci´on de extremos locales mediante la segunda
derivada
Ejemplo 13 Queremos hallar los m´aximos y m´ınimos locales de la funci´on f (x) = x^3 − 6 x^2. (Es el ejemplo 8, pero entonces usamos el crecimiento y decrecimiento y ahora usaremos el test de la segunda derivada). La derivada es f ′(x) = 3x^2 − 12 x.
Los puntos cr´ıticos (f ′(x) = 0) son: x = 0, x = 4. Para saber si son m´aximos o m´ınimos, hallamos la segunda derivada, f ′′(x) = 6x − 12 y la evaluamos en cada punto cr´ıtico.
f ′′(0) = − 12 < 0. La funci´on tiene un m´aximo local en x = 0. f ′′(4) = 24 − 12 = 12 > 0. Hay un m´ınimo local en x = 4.
7.- Clasificaci´on de extremos locales mediante la segunda
derivada
Para clasificar los extremos locales, ¿es mejor usar el crecimiento y decrecimiento o el test de la segunda derivada? Depende. Cada uno tiene sus ventajas y sus inconvenientes. Por ejemplo, el test de la segunda derivada muy f´acil de aplicar, pero tiene el inconveniente de que a veces no decide (cuando f ′′(xo ) = 0). Otro inconveniente es que la segunda derivada a veces es muy complicada de calcular.
Adem´as, en el caso general en que los m´aximos y m´ınimos se pueden alcanzar no s´olo en puntos cr´ıticos, sino tambi´en en puntos donde la funci´on no es derivable o en puntos frontera del dominio, s´olo se puede usar el crecimiento y decrecimiento.
Josefa Garc´ıa Hern´andez. Tema 4. Optimizaci´on de funciones de una variable.
8.- C´alculo de extremos globales.
En apartados anteriores hemos visto c´omo encontrar los extremos locales de una funci´on. Pero tambi´en puede ser interesante hallar los extremos globales. En el caso general, hallar los extremos globales requerir´a hacer un esbozo de la gr´afica de la funci´on, y eso puede ser complicado. Pero hay dos casos particulares en que es sencillo encontrar los extremos globales. Son:
-) el caso en que el dominio sea del tipo [a, b] y -) el caso en que la funci´on sea convexa o c´oncava en todo el dominio.
Josefa Garc´ıa Hern´andez. Tema 4. Optimizaci´on de funciones de una variable.
8.- C´alculo de extremos globales.
Una funci´on arbitraria puede que tenga m´aximo global y/o m´ınimo global (en el dominio que fijemos) o que no tenga. Ahora bien, cuando el dominio es un intervalo del tipo [a, b] (es decir, cerrado y acotado), y la funci´on es continua se puede garantizar que la funci´on s´ı tiene m´aximo y m´ınimo global. Esto es lo que dice el
Teorema de Weierstrass. Sea f : [a, b] → R una funci´on continua en [a, b]. Entonces f tiene m´aximo global y m´ınimo global sobre [a, b].
8.- C´alculo de extremos globales.
Una funci´on definida en un intervalo cerrado [a, b] y continua, ¿en qu´e puntos puede alcanzar los extremos globales? Consideremos los siguientes ejemplos.
a Max. abs.^ Min. abs. b a b
En el primer caso los extremos globales se alcanzan en puntos cr´ıticos. En el segundo caso, los extremos globales se alcanzan en puntos frontera del intervalo, en el punto a se alcanza el m´aximo global y en el punto b, el m´ınimo global.
8.- C´alculo de extremos globales.
Caso de funciones convexas o c´oncavas. Una funci´on definida en un intervalo abierto I (frecuentemente I = R) que sea convexa en ´el puede tener m´ınimo global (por ejemplo f (x) = x^2 definida en R) o no tener (por ejemplo, g (x) = ex^ definida en R). En caso de ser c´oncava en el intervalo, puede tener m´aximo global o no tenerlo. Pero en cualquier caso, el mero hecho de tener un punto cr´ıtico asegura que ´este es un extremo global.
En concreto, sea I un intervalo abierto y sea f : I → R una funci´on que admite derivada segunda en I. Entonces (^1) Si f es convexa en I y xo ∈ I es un punto cr´ıtico de f , entonces xo es un m´ınimo global de la funci´on f. (^2) Si f es c´oncava en I y xo ∈ I es un punto cr´ıtico de f , entonces xo es un m´aximo global de la funci´on f.
Josefa Garc´ıa Hern´andez. Tema 4. Optimizaci´on de funciones de una variable.
8.- C´alculo de extremos globales.
Ejemplo 15 Sea la funci´on f : (0, +∞) → R dada por f (x) = x^3 − 27 x + 128.
Hallamos los puntos cr´ıticos de f :
f ′(x) = 0 ⇐⇒ 3 x^2 − 27 = 0 ⇐⇒ x = − 3 , x = 3,
De estos dos puntos, s´olo x = 3 pertenece al intervalo (0, +∞).
Para clasificar este punto cr´ıtico como m´aximo o m´ınimo, calculamos la segunda derivada, f ′′(x) = 6x. Evaluando en el punto cr´ıtico, f ′′(3) = 18 > 0. Por tanto en x = 3 la funci´on alcanza un m´ınimo local. Pero hay m´as, f ′′(x) = 6x es positiva no s´olo en el punto cr´ıtico, sino en todo el dominio (0, +∞). Por tanto, f es convexa. De modo que nuestro punto cr´ıtico, x = 3, es un m´ınimo, no s´olo local, sino tambi´en global. El valor m´ınimo es f (3) = 74. Josefa Garc´ıa Hern´andez. Tema 4. Optimizaci´on de funciones de una variable.
8.- C´alculo de extremos globales. Gr´aficas.
Hemos visto los dos casos en que es f´acil estudiar los extremos globales. El caso del Teorema de Weierstrass y el caso de funciones convexas o c´oncavas. Fuera de estos casos, no existe un m´etodo directo para encontrar los extremos globales. Lo que s´ı podemos hacer es hallar los extremos locales y esbozar la gr´afica de la funci´on, para detectar si son extremos globales o no. Ejemplo 16 Para la funci´on f : R → R definida por f (x) = 8x^2 − x^4 , buscaremos los extremos locales y luego haremos un esbozo de la gr´afica para detectar los extremos globales. La derivada es f ′(x) = 16x − 4 x^3. Calculamos los puntos cr´ıticos:
f ′(x) = 0 ⇐⇒ 16 x − 4 x^3 = 0 ⇐⇒ 4 x(4 − x^2 ) = 0
⇐⇒ x = 0, x = 2, x = − 2
8.- C´alculo de extremos globales. Gr´aficas.
Ejemplo 16 (Continuaci´on) Estudiamos el crecimiento y decrecimiento y resulta:
x (−∞, −2) (− 2 , 0) (0, 2) (2, +∞) f ′(x) + − + − f (x) crece decrece crece decrece
En el punto cr´ıtico x = −2 la funci´on tiene un m´aximo local. En el punto cr´ıtico x = 0 hay un m´ınimo local. Y en x = 2 hay otro m´aximo local. Para dibujar la gr´afica, calculamos las im´agenes correspondientes, mediante la funci´on f (x) = 8x^2 − x^4. f (−2) = 8(−2)^2 − (−2)^4 = 16. Sale as´ı el punto P 1 = (− 2 , 16) , que es un m´aximo local. f (0) = 0. Tenemos as´ı P 2 = (0, 0) , m´ınimo local. Hallamos f (2) = 16. El punto P 3 = (2, 16) es otro m´aximo local.
8.- C´alculo de extremos globales. Gr´aficas.
Ejemplo 16 (Continuaci´on) Tenemos la funci´on f : R → R definida por f (x) = 8x^2 − x^4. Los puntos P 1 = (− 2 , 16) (m´ax. local), P 2 = (0, 0) (m´ın. local), P 3 = (2, 16) (m´ax. local). Para dibujar la gr´afica, calculamos los siguientes l´ımites. l´ım x→−∞
f (x) = l´ım x→−∞
(8x^2 − x^4 ) = l´ım x→−∞
(−x^4 ) = −∞. l´ım x→∞
f (x) = l´ım x→∞
(−x^4 ) = −∞. Con todos estos datos, esbozamos la gr´afica:
Concluimos que el m´aximo global se alcanza en x = −2 y en x = 2. El valor m´aximo es 16. Y no hay m´ınimo global. Josefa Garc´ıa Hern´andez. Tema 4. Optimizaci´on de funciones de una variable.
8.- C´alculo de extremos globales. Gr´aficas.
Ejemplo 17
Consideremos la funci´on f (x) =
3 x + 5 x − 2
Queremos hallar sus extremos locales y globales y su gr´afica. Se trata de una funci´on racional. Su dominio es R \ { 2 }. La primera derivada es f ′(x) =
(x − 2)^2
Hallamos los puntos cr´ıticos.
f ′(x) = 0 ⇐⇒
(x − 2)^2
La ecuaci´on −11 = 0 no tiene soluci´on. Por tanto, no existen puntos cr´ıticos. Y, consecuentemente, no existen extremos locales ni globales. Para hacer la gr´afica, vamos a estudiar el crecimiento y decrecimiento, los cortes con los ejes y las as´ıntotas.
Josefa Garc´ıa Hern´andez. Tema 4. Optimizaci´on de funciones de una variable.
8.- C´alculo de extremos globales. Gr´aficas.
Ejemplo 17 (Continuaci´on) Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, estudiamos el signo de f ′(x) =
(x − 2)^2
Usamos para dividir en intervalos los puntos donde se anula (no hay) y las discontinuidades, x = 2. Por tanto, los intervalos son (−∞, 2) y (2, +∞). Por ejemplo, probamos con f ′(0) = − 11 / 4 < 0 y f ′(3) = − 11 < 0 y concluimos que la funci´on decrece en ambos intervalos. Ahora hallamos los puntos de corte con los ejes. x = 0 → y = f (0) = − 5 /2. Es el punto (0, − 25 ).
f (x) = 0 → 3 x + 5 = 0 → x = − 5 /3. Es ( − 35 , 0).
8.- C´alculo de extremos globales. Gr´aficas.
Ejemplo 17 (Continuaci´on)
Ahora hallamos las as´ıntotas de la funci´on f (x) =
3 x + 5 x − 2
La funci´on tiene una as´ıntota vertical, la recta x = 2 (porque l´ım x→ 2
f (x) = l´ım x→ 2
3 x + 5 x − 2
Para el dibujo nos vendr´a bien dilucidar el signo del l´ımite infinito.
l´ım x→ 2 −
3 x + 5 x − 2
0 −^
= −∞. l´ım x→ 2 +
3 x + 5 x − 2
0 +^
Para hallar las as´ıntotas horizontales, calculamos l´ım x→+∞
f (x) = l´ım x→+∞
3 x + 5 x − 2
= 3. Entonces la recta y = 3 es una as´ıntota horizontal. Calculamos tambi´en l´ım x→−∞
f (x) = 3, por lo que la as´ıntota horizontal y = 3 tambi´en rige por el lado izquierdo.
10.- Optimizaci´on en Econom´ıa
Ejemplo 19. (Minimizaci´on del coste medio) (Continuaci´on)
A′(x) =
x^2 Buscamos los puntos cr´ıticos:
A′(x) = 0 ⇐⇒
x^2
x^2
x^2 = 400 ⇐⇒ x = ± 20
El ´unico punto cr´ıtico es x = 20.
Para ver si es m´aximo o m´ınimo, hallamos la segunda derivada. A′′(x) =
x^3
. Vemos que A′′(x) > 0 para todo x del dominio, (0, +∞). Por tanto, la funci´on es convexa y alcanza un m´ınimo global en el punto cr´ıtico, x = 20. El valor m´ınimo es A(20) =
10.- Optimizaci´on en Econom´ıa
Ejemplo 20. (Minimizaci´on del coste medio) (Teor´ıa)
Sea un funci´on de coste medio A(x) =
C (x) x
, definida en el intervalo (0, +∞). Consideremos el punto x en el cual el coste medio es m´ınimo. Debe ser un punto cr´ıtico de la funci´on de coste medio. Debe cumplir que A′(x) = 0. ¿En qu´e se traduce esto?
A′(x) =
C ′(x)x − C (x) x^2
= 0 =⇒ C ′(x)x − C (x) = 0
=⇒ C ′(x) =
C (x) x
(= A(x))
O sea, A′(x) = 0 equivale a C ′(x) = A(x).
De ah´ı que en Teor´ıa Econ´omica se diga que en el punto de coste medio m´ınimo, el coste medio coincide con el coste marginal.
