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BALOTARIO DE PRÁCTICA CALIFICADA 2
MATEMÁTICA PARA INGENIEROS II
1. Evalúe la integral doble ∬
𝟐
⬚
𝑹
, donde 𝑹 = {(𝒙, 𝒚); 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐; 𝟏 ≤ 𝒚 ≤ 𝟐}
Solución
2
2
1
2
0
3
2
0
3
3
2
0
2
0
2
2. Hallar por medio de integrales dobles el área limitada por las siguientes curvas:
𝟐
𝟐
Solución
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
5 −𝑥
2
2 + 2 𝑥
2
1
− 1
2
2
1
− 1
2
1
− 1
2
1
− 1
3 [𝑥 −
3
]
3 {[ 1 − (− 1 )] − [
3
3
]}
2
3. Encuentre el volumen del sólido S acotado por el paraboloide elíptico 𝒙
𝟐
𝟐
𝟐, 𝒚 = 𝟐 y los tres planos coordenados.
Solución:
2
2
2
2
2
0
2
0
3
2
2
0
2
2
0
2
2
0
3
3
4. Encuentre el volumen del sólido que está debajo del plano 𝟒𝒙 + 𝟔𝒚 − 𝟐𝒛 + 𝟏𝟓 = 𝟎 y arriba del rectángulo
Solución:
2
− 1
1
− 1
2
1
− 1
2
2
1
− 1
4
𝜋
0
2 𝜋
0
2
𝜋
0
2
𝜋
0
2
𝜋
0
𝜋
0
𝜋
0
3
6. Dibuje el sólido y encuentre su volumen mediante una integral doble del tetraedro acotado por los planos
coordenados y el plano 𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝒛 − 𝟏𝟐 = 𝟎
Solución:
3 −
3
4
𝑥
0
4
0
2
4
0
2
4
0
2
2
4
0
2
2
4
2
2
2
2
2
4
0
2
2
4
0
2
4
0
3
2
3
2
3
2
3
7. Hallar el volumen en el primer octante entre los planos 𝒛 = 𝟐, 𝒛 = 𝒙 + 𝒚 + 𝟐 limitado por el cilindro 𝒙
𝟐
𝟐
Solución:
2
2
2
2
2
2
√ 16 −𝑥
2
0
4
0
√ 16 −𝑥
2
0
4
0
2
2
4
0
2
2
2
4
z
x
y
8. Evaluar
⬚
𝑹
Donde R es la región acotada por las curvas 𝒚 = 𝒙
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
Solución:
2
2
2
2
2
2
2
2
12
6
4
0
12
6
4
0
12
6
4
0
2
4
0
2
2
4
0
4
0
4
0
2
[ 3 ( 4 )
2
+ 54 ( 4 )]
2
9. Evaluar
−𝟑
𝒙−𝟐𝒚
𝟐𝒙+𝒚
⬚
𝑹
Donde R es la región acotada por las curvas 𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟏, 𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟒, 𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟏, 𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟏
Solución:
− 3
𝑢
𝑣
1
− 1
4
1
− 3
𝑢
𝑣
4
1
− 3
𝑢
𝑣
. 𝑣 |
4
1
− 2
𝑢
𝑣
|
4
1
− 2
1
𝑣
− 𝑒
−
1
𝑣
)
4
1
− 2
1
𝑣
4
1
− 2
−
1
𝑣 𝑑𝑣
4
1
𝑎
4
1
𝑎
4
1
𝑎
4
1
𝑎
[−𝑒
1
𝑣 |
−
1
𝑣 |
]
[− (𝑒
1
4 − 𝑒) − (𝑒
−
1
4 − 𝑒
− 1
)]
1
4
−
1
4
− 1
− 1
− 2
− 2
− 1
− 2
𝑥
2
2
3
2
0
𝑥
2
2
2
3
2
0
𝑥
2
3
2
3
2
0
𝑥
3
2
0
𝑥
2
4
𝑥
2
4
𝑥
𝑥
𝑦
3 −
3
2
𝑥
0
2
0
𝑦
2
3 −
3
2
𝑥
0
2
0
𝑦
2
2
2
0
𝑦
2
2
2
0
𝑦
2
2
3
2
2
0
𝑦
2
3
2
3
2
0
𝑦
2
3
2
0
𝑦
2
3
4
𝑦
2
3
4
𝑦
𝑦
𝑦
𝑦
𝑥
