¡Descarga Representació grafica y más Tesis de Bachillerato en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Responeu a CINC de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què. Cada qüestió val 10 punts. NO podeu utilitzar calculadora ni altres aparells que portin informació emmagatzemada o que puguin transmetre o rebre informació.
- Sigui f (x) una funció tal que Dom(f (x)) = R − {− 1 } i f ′(x) = x^2 + x − 6 (x + 1)^2
Calcula els intervals de monotonia i les abscisses dels extrems relatius de la funció f (x), tot especificant si es tracta d’un màxim o d’un mínim relatiu. [10 punts]
- Representa la gràfica d’una funció r(x) sabent que:
- Dom(r(x)) = R − {− 1 }
- (− 4 , 1) és l’únic extrem relatiu de r(x), que és un mínim relatiu.
- (^) x→−∞lim r(x) = 3
- r(x) ∩ OX = {(2, 0), (5, 0)}
- (^) xlim→− 1 r(x) = +∞
- r(x) ∩ OY = {(0, 1)}
- lim x→ 4 −^ r(x) = −∞
- (2, 0) és un punt d’inflexió
- (^) x→lim+∞ r(x) x
- ∀x > 4 , r′′(x) < 0 [Cada ítem: 1 punt]
- Calcula les quatre primeres derivades de la funció n(x) = ln(2x + 3) i dedueix el seu terme general. [10 punts]
- Calcula els intervals de curvatura i els punts d’inflexió de la funció t(x) =
x^2 − (^12)
e^2 x. [10 punts]
- Sabem que la funció p(x) = ax + b cx + 1 passa pel punt (2, −5) i que les rectes x = 1 i y = 2 són les seves asímptotes vertical i horitzontal, respectivament. Calcula els valors de a, b i c. [10 punts]
- Donada la següent representació gràfica de la funció g(x):
a) Domini. [0,75 punts]
b) Intersecció aproximada amb els eixos. [0,75 punts]
c) Simetria parella o senar. [0,5 punts]
d) Intervals de monotonia. [2 punts]
e) Abscisses dels extrems relatius. [1 punt]
f ) Intervals de curvatura. [2 punts]
g) Punt d’inflexió. [0,5 punts]
h) Asímptotes. [2,5 punts]
Exercici 2. Representa la gràfica d’una funció r(x) sabent que:
- Dom(r(x)) = R − {− 1 }
- (− 4 , 1) és l’únic extrem relatiu de r(x), que és un mínim relatiu.
- (^) x→−∞lim r(x) = 3
- r(x) ∩ OX = {(2, 0), (5, 0)}
- (^) xlim→− 1 r(x) = +∞
- r(x) ∩ OY = {(0, 1)}
- lim x→ 4 −^ r(x) = −∞
- (2, 0) és un punt d’inflexió
- (^) x→lim+∞ r(x) x
[Cada ítem: 1 punt]
L’exercici és de resposta oberta perquè hi ha infinites gràfiques que compleixin les característiques anteriors. Una d’elles és:
Exercici 3. Calcula les quatre primeres derivades de la funció n(x) = ln(2x + 3) i dedueix el seu terme general.
[10 punts]
Calculem les quatre primeres derivades:
n(x) = ln(2x + 3) =⇒ n′(x) =
2 x + 3
2 x + 3 ⇒ n′(x) =^
2 x + 3
n′(x) = 2(2x + 3)−^1 ⇒ n′′(x) = 2(−1)(2x + 3)−^2 · 2 =
(2x + 3)^2 ⇒ n′′(x) =^
(2x + 3)^2
n′′(x) = −4(2x + 3)−^2 ⇒ n′′′(x) = −4(−2)(2x + 3)−^3 · 2 =
(2x + 3)^3 ⇒ n ′′′(x) = 16 (2x + 3)^3
n′′′(x) = 16(2x + 3)−^3 ⇒ niv(x) = 16(−3)(2x + 3)−^4 · 2 =
(2x + 3)^4
⇒ niv(x) =^
(2x + 3)^4
Terme general: n(k)(x) = (−1)k+1^ · 2 k^ · (k − 1)! (2x + 3)k^ sent k ∈ N
Exercici 5. Sabem que la funció p(x) = ax + b cx + 1 passa pel punt (2, −5) i que les rectes x = 1 i
y = 2 són les seves asímptotes vertical i horitzontal, respectivament. Calcula els valors de a, b i c.
[10 punts]
Sabem que si x = 1 és una asímptota vertical de p(x) ⇒ x = 1 és una arrel de Q(x) := cx+1 ⇒
=⇒ Q(1) = 0 ⇐⇒ c · 1 + 1 = 0 ⇐⇒ c + 1 = 0 =⇒ c = −1 =⇒ p(x) = ax + b −x + 1
Sabem que si y = 2 és una asímptota horitzontal de p(x) =⇒ (^) x→lim+∞ p(x) = 2 =⇒
⇒ (^) x→lim+∞ ax + b −x + 1 = 2 ⇒x [ regla de l’Hôpital
]
x→^ lim+∞
a − 1 = 2 ⇔ (^) x→lim+∞(−a) = 2 ⇔ −a = 2 ⇔ a = − 2 ⇒ p(x) = − 2 x + b −x + 1
Sabem que si p(x) passa pel punt (2, −5) ⇒ p(2) = − 5 ⇒ − 2 · 2 + b −2 + 1
−4 + b − 1
⇐⇒ −4 + b = −5(−1) ⇐⇒ −4 + b = 5 ⇐⇒ b = 5 + 4 = 9 =⇒ (a, b, c) = (− 2 , 9 , −1)
Exercici 6. Donada la següent representació gràfica de la funció g(x):
a) Domini. [0,75 punts] Dom(g(x)) = R − {− 1 , 1 } b) Intersecció aproximada amb els eixos. [0,75 punts] g(x) ∩ OX '
(− 4 , 0), (−^32 , 0), (−^12 , 0)
g(x) ∩ OY = {(0, 2)} c) Simetria parella o senar. [0,5 punts] g(x) no té simetria parella ni senar d) Intervals de monotonia. [2 punts] g(x) és creixent a (−∞, −2) ∪ (− 1 , 1) ∪ (2, +∞) g(x) és decreixent a (− 2 , −1) ∪ (1, 2) e) Abscisses dels extrems relatius. [1 punt] x = − 2 és l’abscissa del màxim relatiu de g(x) x = 2 és l’abscissa del mínim relatiu de g(x) f ) Intervals de curvatura. [2 punts] g(x) és còncava a (0, +∞) − { 1 } g(x) és convexa a (−∞, 0) − {− 1 } g) Punt d’inflexió. [0,5 punts] (0, 2) és l’unic punt d’inflexió de g(x) h) Asímptotes. [2,5 punts] Asímptotes verticals: x = ± 1 Asímptotes horitzontals: no existeixen Asímptota obliqua: y = 12 x + 2
