¡Descarga Representació de funcions y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
ESQUEMA GENERAL PER A L’ESTUDI I LA REPRESENTACIÓ DE FUNCIONS
1r
Domini i continuïtat
Cal determinar el conjunt de nombres reals per als quals es pot trobar el valor de la funció 𝑓 i, dintre d’aquest conjunt, aquells valors en què 𝑓és contínua.
2n Simetria
- Si 𝑓(− 𝑥) = 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) → 𝑓simètrica respecte de l’eix Y (funció parella).
- Si 𝑓(− 𝑥) = − 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) → 𝑓simètrica respecte de l’origen (funció imparella).
3r Periodicitat
Si existeix un nombre real 𝑇 positiu, tal que per a qualsevol 𝑥del domini es compleix que 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 𝑇), aleshores 𝑓 és periòdica amb període 𝑇. Sempre es considera el mínim 𝑇.
4t
Punts de tall amb els eixos i signe
- Amb l’ eix d’abscisses : es resol l’equació 𝑓(𝑥) = 0. Hi pot haver cap, un, diversos o infinits punts de tall amb l’eix 𝑋.
- Amb l’ eix d’ordenades : es calcula 𝑓(0). Com a màxim, hi ha un punt de tall amb l’eix 𝑌.
- El signe de 𝑓 s’esbrina a partir dels punts de tall amb l’eix 𝑋i de discontinuïtat de 𝑓.
5è
Branques infinites i asímptotes
- Asímptotes verticals. Són les rectes 𝑥 = 𝑎tals que: o 𝑥 𝑎+
lim →
𝑥 𝑎−
lim →
Es busquen en els punts de discontinuïtat d’especial interès.
- Asímptotes horitzontals. Són les rectes 𝑦 = 𝑏 tals que 𝑥 ±∞
lim →
𝑓 té, com a màxim, una asímptota horitzontal a − ∞ i una altre a + ∞.
- Asímptotes obliqües. Són les rectes 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛, amb 𝑚 = , 𝑥 +∞
lim →
𝑓(𝑥) 𝑥 𝑛 =^ 𝑥 lim→ +∞(𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥)
𝑓 té, com a màxim, una asímptota obliqua a + ∞ i una altre a − ∞.
Si en un costat hi ha asímptota horitzontal, no pot existir asímptota obliqua.
6è
Punts singulars i creixement (si 𝑓 és derivable)
- Intervals 𝐼 de creixement : aquells en els quals 𝑓'(𝑥) > 0, ∀𝑥 ∈ 𝐼.
- Intervals 𝐼 de decreixement : aquells en els quals𝑓'(𝑥) < 0, ∀𝑥 ∈ 𝐼.
Els punts singulars es calculen igualant a zero la primera derivada. 𝑓'(0) = 0. En aquests hi pot haver un màxim o mínim relatiu, o un punt d’inflexió de tangent horitzontal. Es decideix, observant el creixement a l’esquerra i la dreta:
- Màxim relatiu (𝑎, 𝑓(𝑎)). Hi ha un entorn de 𝑎en el qual la funció creix en els punts situats a l’esquerra de 𝑎 i decreix en els punts situats a la dreta de 𝑎.
- Mínim relatiu (𝑎, 𝑓(𝑎)). Hi ha un entorn de 𝑎en el qual la funció decreix en els punts situats a l’esquerra de 𝑎 i creix en els punts situats a la dreta de 𝑎.
- Punt d’inflexió de tangent horitzontal. Hi ha un entorn de 𝑎en el qual el creixement de 𝑓 no canvia i, a més, 𝑓''(𝑥) canvia de signe a 𝑥 = 𝑎, sent 𝑓''(𝑎) = 0.
7è
Punts d’inflexió i concavitat (si existeix 𝑓'' )
- Intervals 𝐼 de concavitat cap amunt : si 𝑓''(𝑥) > 0, ∀𝑥 ∈ 𝐼.
- Intervals 𝐼 de concavitat cap avall : si 𝑓''(𝑥) < 0, ∀𝑥 ∈ 𝐼.
- Punt d’inflexió (𝑎, 𝑓(𝑎)): tot aquell en el qual 𝑓''(𝑎) = 0 i 𝑓canvia la seva concavitat.
8è
Representació gràfica
Amb la informació obtinguda en els apartats anteriors, es traça la gràfica de la funció.
REPRESENTAR FUNCIONS POLINÒMIQUES
Per estudiar i representar funcions polinòmiques se segueix l’esquema general proposat
anteriorment, tenint en compte en alguns dels seus apartats les particularitats següents:
1r
Domini i continuïtat
Les funcions polinòmiques tenen per domini ℝ, i són contínues en tot el seu domini.
2n Simetria
Si una funció polinòmica és de grau parell, mai no pot presentar simetria respecte l’origen, i si és de grau senar, mai no la presenta respecte de l’eix 𝑌.
3r Periodicitat Les funcions polinòmiques de grau més gran que zero mai no són periòdiques.
4t
Punts de tall amb els eixos i signe
- Els punts de tall amb l’eix d’abscisses són les arrels del polinomi.
- El seu signe canvia en els punts corresponents a les arrels de multiplicitat senar.
5è
Branques infinites i asímptotes
- Com que són contínues a tot ℝ, no presenten asímptotes verticals.
- Només tenen asímptotes horitzontals les de grau zero (funcions constants) i només tenen asímptotes obliqües les de grau u. En tots dos casos, l’asímptota coincideix amb la mateixa funció.
- Tenen dues branques infinites, una quan 𝑥 → + ∞ i una altra quan 𝑥 → − ∞.
REPRESENTAR FUNCIONS IRRACIONALS / RADICALS
Una funció s’anomena irracional o radical si la variable independent apareix sota un signe radical.
Entre aquestes funcions es troben, entre d’altres, des de funcions tan simples com 𝑓(𝑥) = , amb
𝑛
𝑚
𝑛 ≥ 2 , a d’altres més complexes del tipus 𝑓(𝑥) = , amb una funció polinòmica o racional.
𝑛
En l’estudi de les funcions irracionals, cal tenir en compte les particularitats següents quan s’aplica
l’esquema general.
1r
Domini i continuïtat
- No estan definides les arrels d’índex parell per a nombres negatius.
- Les arrels d’índex senar estan definides per a tot ℝ.
- Són contínues en el seu domini.
3r Periodicitat Aquestes funcions no són periòdiques.
4t
Punts de tall amb els eixos i signe
- Si l’índex és parell, el signe és constant, positiu o negatiu, en tot el seu domini excepte en els punts en què la seva gràfica talli l’eix 𝑋.
- En aquest cas, també és convenient estudiar què passa en els punts de tall amb l’eix 𝑋que són frontera amb el domini de la funció (per exemple, com es comporta la derivada en aquests punts).
5è
Branques infinites i asímptotes
- Poden presentar asímptotes de qualsevol tipus, si la funció que apareix en el radicand les presenta.
- És habitual que una asímptota horitzontal i obliqua a + ∞ no ho sigui a − ∞i viceversa. Per això cal tenir present que s’han de calcular aquestes asímptotes en els dos infinits.
8è
Representació gràfica
Convé anar representant la informació a mesura que es va obtenint començant per:
- Domini, tall amb els eixos i signe.
- Asímptotes.
Després cal comprovar que el que s’ha representat respecta les possibles simetries (si n’hi ha) i deduir quins resultats són esperables per a la resta de punts de l’estudi, tals com monotonia, extrems, curvatura i punts d’inflexió.
REPRESENTAR FUNCIONS EXPONENCIALS
Algunes particularitats que cal tenir presents quan s’estudien les funcions exponencials es donen en
la taula següent. Algunes són específiques de les funcions del tipus 𝑦 = 𝑎, i altres són generals, com
𝑥
les referents a les branques infinites i asímptotes.
1r
Domini i continuïtat
- El domini de la funció 𝑓(𝑥) = 𝑎 és tot ℝ, i és contínua en
𝑥 , (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) 𝑓 aquest.
- Com que 𝑎, és sempre un nombre positiu, el recorregut de és
𝑥 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) 𝑓 (0, + ∞).
3r Periodicitat Aquestes funcions no són periòdiques.
4t
Punts de tall amb els eixos i signe
- Del que s’ha dit sobre el recorregut de 𝑓, es dedueix que la funció 𝑎 no talla
𝑥
l’eix 𝑋i el seu signe sempre és positiu.
- Talla l’eix d’ordenades en el punt (0, 1).
5è
Branques infinites i asímptotes
- Pot passar que una recta sigui asímptota horitzontal o obliqua a + ∞i no a − ∞, i viceversa. Fins i tot, una funció pot tenir asímptota horitzontal en un costat i obliqua en l’altre.
- Per calcular els límits, de vegades s’haurà d’utilitzar la regla de L’Hôpital.
REPRESENTAR FUNCIONS TRIGONOMÈTRIQUES
Per representar una funció trigonomètrica, cal tenir en compte:
1r
Domini i continuïtat
- Les funcions trigonomètriques 𝑠𝑖𝑛 𝑥 i 𝑐𝑜𝑠 𝑥estan definides i són contínues per a qualsevol angle 𝑥. La funció 𝑡𝑔 𝑥no està definida i, per tant, no és contínua per als angles de la forma π 2 + 𝑘π, en què 𝑘és qualsevol nombre enter.
- Els angles que apareixen com a arguments en aquestes funcions sempre s’expressen en radians.
2n Simetria
Per analitzar la simetria d’aquestes funcions cal recordar que 𝑠𝑖𝑛 𝑥 i 𝑡𝑔 𝑥són funcions imparelles, mentre que 𝑐𝑜𝑠 𝑥és una funció parella.
3r Periodicitat
Moltes funcions trigonomètriques són periòdiques, cosa que en simplifica notablement la representació, ja que només cal estudiar-la en un període, per exemple, en l’interval [0, T].
5è
Branques infinites i asímptotes
- La funció 𝑡𝑔 𝑥presenta asímptotes verticals en els seus punts de discontinuïtat, és a dir, per als angles de la forma.
π 2 + 𝑘π, 𝑘 ∈ 𝑍
- No existeixen els límits següents:
𝑥 ±∞
lim →
𝑥 ±∞
lim →
𝑥 ±∞
lim →
Per aquesta raó, és habitual que les funcions que contenen expressions trigonomètriques no tinguin asímptotes horitzontals i obliqües.
