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REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
Dada una función f : X → Y con X ,Y ⊂ R definida por y = f(x), vamos a estudiar como se puede
determinar su gráfica o figura geométrica formada por todos los puntos cuyas coordenadas (x,y) verifican la ecuación y = f(x).
Para el estudio y construcción de la gráfica de una función y = f(x), se consideran los siguientes puntos fundamentales:
1.- Dominio o campo de existencia de la función.
2.-Simetrías.
Simé trica respecto al eje OY ( simetría par ) f(x) f( x) Simé trica respecto al eje OX f(x) f(x) Simé trica respecto al origen ( simetría impar) f(x) f( x)
⎧ ⎨
⎪
⎩⎪
3.- Periodicidad. ( en el caso de funciones periódicas)
4.- Cortes con los ejes.
5.- Puntos en los que la función tiene signo constante.
6.- Puntos en los que la función no es continua.
7.- Asíntotas.
m xlim f(x)x y n xlim (f(x) mx)
Oblicuas.No paralelasa losejes.Sonde laforma y mx n donde:
x a esasíntota de f(x)
Verticaleso paralelasalejeOY Sixlimaf(x)
y L esasíntota de f(x)
HorizontalesoparalelasalejeOX Sixlimf(x) L
8.- Máximos, mínimos y puntos de inflexión. Valores de la función en los máximos, mínimos y puntos de inflexión 9.- Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
10.- Intervalos de concavidad y convexidad. 11.- Cálculo de algunos puntos que ayuden al trazado de la gráfica de f(x). Y consignar en un cuadro los puntos notables hallados por orden creciente de abcisas.
Ejemplo: Hacer el estudio y la representación gráfica de la función f(x) = x
x 5
1.- Dominio o conjunto de definición:
Una función racional P x Q x
, está definida para todo x que verifique Q(x) ≠ 0.
Luego la función f(x) = x
x 5
está definida en el conjunto:
R - {-5} = ( - ∞ , - 5 ) U ( - 5 , ∞ )
2.- Simetrías:
Noes simétrica respecto al eje OY, ya que f( - x) ≠ f(x)
No es simétrica respecto al eje OX, ya que - f(x) ≠ f(x)
No es simétrica respecto al origen O (0,0) , ya que f( - x) ≠^ - f(x)
3.- Periodicidad. No es periódica, puesto que no es circular.
4.- Corte con los ejes:
Si x = 0 ⇒ y =^11 5
. Luego corta al eje OY en el punto P(0,^11 5
Si y = 0 ⇒ x^2 + 11 = 0 ⇒ no exite punto de corte con el eje OX.
5.- Regiones en las que tiene signo constante.
Como x^2 + 11 > 0 para todo x, y x + 5 > 0 si x > - 5 y x + 5 < 0 si x < - 5,
resulta que: f(x) > 0 en ( - 5 , ∞ ) y f(x) < 0 en ( - ∞ , - 5 ).
6.- Puntos de discontinuidad en el dominio.
La función f(x) es continua, puesto que sólo no está definida cuando x + 5 = 0, es decir, para
x = - 5 ∉ D.
7.- Asíntotas.
Horizontales : Si x → ∞ , se verifica que (^) x lim → ∞ f x( ) = ∞,
luego no hay asíntotas horizotales.
Verticales : Si x → − 5 , se verifica que (^) x → −lim 5 f x( ) = ∞,
luego x = - 5 es una asíntota vertical.
10.- Concavidad y convexidad:
De f''(x) = 72 ( x + 5 )^3
0 , se obtiene (x + 5)^3 > 0 ⇒ x > − 5.
La función es cóncava en x > - 5, esto es en ( − 5 , ∞) De f''(x) = 72 ( x + 5 )^3
< 0 , se obtiene (x + 5)^3 < 0 ⇒ x < − 5.
La función es convexa en x < - 5, esto es en ( − ∞, − 5 )
11.- Tabla de valores: La tabla de valores de la gráfica, teniendo en cuenta lo desarrollado anteriormente, puede ser:
x - ∞ - 11 - 5 0 1 + ∞
f(x) → − ∞^ crec. -22 Max decrec .
No def
decrec .
11 5 decrec .
2 Mín crec. → + ∞
REPRESENTACION GRAFICA
y = x - 5
x = - 5
1
2
