¡Descarga Solución de ecuaciones y polinomios y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Raó o intuïció?
Quan un raïl de 500 m es dilata, s’allarga 30 cm
i es bomba de manera simètrica com es veu a
la figura. Un autobús hi podria passar per sota?
500 m
Suposa que, en lloc de formar una corba,
formés dues rectes de 250,15 m cada una.
Si es consideren dues rectes, es forma
un triangle isòsceles que podem dividir
en dos triangles rectangles iguals quan
se’n traça l’altura, x. L’altre catet mesura 250 m
i la hipotenusa, 250,15 m.
2
2
2
" x = 8,66 m
Per tant, un autobús hi podria passar per sota
perquè té menys alçada.
PÀG. 38. Si P ( x ) = 5 x
3
- 2 x + 4, calcula
P ( x ) - P ( x ).
La suma i la resta de polinomis és sempre
un polinomi?
I el producte de polinomis?
P x ( ) P x ( ) 5 x 2 x 4 ( 5 x 2 x 4 )
3 3
La suma i la resta de polinomis és sempre
un polinomi. En aquest exemple, obtenim un
polinomi nul, que és aquell els coeficients
del qual són tots 0.
El producte de polinomis sempre és un
polinomi.
REPTE
PENSA
PÀG. 39. El quocient de P ( x ) = 2 x
3
entre
Q ( x ) = - 6 x
5
, és un monomi?
x
x
x
x
5
3
2
2
Per tant, el quocient de P ( x ) entre Q ( x ) no és
un monomi.
PÀG. 41. Escriu dos polinomis del grau més
petit possible que tinguin com a arrels 2, - 5
i 0.
Resposta oberta. Per exemple:
P x x x x x x x
Q x x x x x x x
3 2
3 2
PÀG. 42. Un polinomi P ( x ) es pot expressar
com una fracció algebraica?
Qualsevol polinomi es pot expressar com
una fracció algebraica, en què el numerador és
el producte d’aquest polinomi pel denominador
de la fracció:
P x
Q x
P x Q x
PÀG. 45. Com és el terme independent
d’una equació de segon grau una de
les solucions de la qual és zero? I si no
té solució?
Si una de les solucions és 0, el terme independent
és nul.
Si no té solució, el terme independent
ha de complir la relació següent:
b ac c
a
b
2
2
PÀG. 46. Troba’n la solució per tempteig.
x x
x 4
PÀG. 47. Calcula mentalment la solució
d’aquesta equació.
( x + 1)( x + 1) - 9 = 0
( x )
x x
x x
2
1
2
solucionari
PÀG. 49. Quin valor té x en l’equació
següent?
x
x
= x
Es comparen exponents o es resol com
una equació exponencial. Les úniques solucions
possibles són x = 1 i x = -1.
PÀG. 50. Quina és la solució d’aquesta
inequació?
x
1
< 0
x
x
PÀG. 51. Quina és la solució d’aquesta
inequació?
x
1
< 0
2
No té solució perquè
x
2
és sempre positiva
per a qualsevol valor real de x.
1 Escriu un polinomi de grau 3 i terme
independent - 1. Determina’n els termes
i el valor numèric per a x = 2 i x = - 2.
Resposta oberta. Per exemple:
P x x x
x P
x P
3
3
3
2 Efectua l’operació de polinomis següent
i calcula’n el grau.
( - 2 x
3
+ x
2
+ x - 1)( x - 2) +
+ (3 x + 1)( x + 3)
4
3
3
2
2
2
= 2 x 5 x 2 x 7 x 5
4 3 2
Té grau 4.
3 Fes aquestes divisions de polinomis.
a) (10 x
4
2
2
b) (6 x
3
2
ACTIVITATS
a)
El quocient és 10 x
2
b)
El quocient és 3 x i el residu és 5 x.
4 Divideix aquests polinomis utilitzant
la regla de Ruffini.
a) ( x
3
b) (4 x
5
3
a)
El quocient és x
2
b)
El quocient és 4 x
4
3
2
i el residu és 10.
5 Comprova si els nombres següents
són arrels del polinomi
P ( x ) = x
4
+ 3 x
3
- 2 x
2
+ 6 x - 8.
a) x = 1
b) x = 2
c) x = - 1
d) x = - 4
a) P (1) = 1
4
3
2
Per tant, x = 1 és una arrel
del polinomi.
b) P (2) = 2
4
3
2
Per tant, x = 2 no és arrel
del polinomi.
c) P (-1) = (-1)
4
3
2
Per tant, x = - 4 no és arrel
del polinomi.
10 x
4
2
2
4
2
10 x
2
2
13 x
2
6 x
3
2
3
3 x
5 x
solucionari
11 Opera i simplifica.
x x x x
x
2
m. c.m. ( 3 x 6 x , x , 6 x 12 ) 6 x x ( 2 )
2
x x x x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
2
2
2
12 Fes les operacions següents.
a)?
x x
x
x
2
2
b) :
x x
x
x
x x
2
2
a)
x x x
x x
x x
x
2
b)
x x x
x x
x x 1 1 2
2
13 Classifica i resol aquestes equacions
de segon grau.
a) x 10 x 21 0
2
b) 3 x 20 x 12 0
2
c) 3 x 18 x 0
2
d) 4 x 36 0
2
a) Equació completa.
x
2
x
x
x 2
1
2
b) Equació completa.
x
2
x
x
x
1
2
"
c) Equació incompleta.
3 x x ( 6 ) 0 x 0
1
x 6
2
d) Equació incompleta.
x 9 x 3 1
x 3 2
14 Comprova que es compleixen les relacions
entre les solucions i els coeficients.
a) 2 x
2
= 5 x - 2
b) 3 x
2
a) Solucions: x 2
1
= x
2
S
a
b
P?
a
c
b) Solucions: x 3 1
= x
2
S
a
b
P?
a
c
15 Determina el nombre de solucions que té
cada equació sense resoldre-la.
a) 2 x 5 x 8 0
2
b) 9 x 30 x 25 0
2
c) 5 x 9 x 6 0
2
d) 2 x x 3 0
2
e) x 9 x 2 0
2
f ) 0 3, 4 x 0 , 5 x 1 0
2
Calculem el discriminant:
a) D = b
2
2
No té solució real.
b) D = b
2
2
Té una solució.
c) D = b
2
2
No té solució real.
d) D = b
2
2
Té dues solucions.
e) D = b
2
2
Té dues solucions.
f ) D = b
2
2
Té dues solucions.
solucionari
16 Resol les equacions biquadràtiques
que tens a continuació.
a) x
4
2
b) x
4
2
2
c) 11( x
4
2
(1 - x
2
a) z 5 z 36 0 z
2
té.
z x x
z
9 No solució
1 1 2
2
b) x x
z z
4 2
2
z
z x x
z x x
1 1 2
2 3 4
c) x x
z z
4 2
2
z
z x x
z x x
1 1 2
2 3 4
17 Resol aquestes equacions amb fraccions
algebraiques.
a)
x
x
1 x
b)
x
x
x
2 4 x 3
4
4
2
2
a)
x x ( )
x x
x x
x x
x x
x
x
b)
x
x
x
x x
x
x
x x
4
4
4
2 2
4
4
4 2
z 3 z 4 0 z
2
té
z x x
z
1 No solució.
1 1 2
2
18 Resol aquestes equacions amb radicals.
a) x - 4 = 2 x + 1
b) 6 x - 18 x - 8 = 2
a) x x
x
x
2
1
2
Comprovació:
Per tant, només és solució x = 6 + 2 6.
b) 6 x 7 x 2 0 x x
2
1 2
Comprovació:
Per tant, les dues solucions són vàlides.
19 Resol les equacions següents, que es toben
en forma factoritzada.
a) 2( x - 3)( x + 5)( x - 1) = 0
b) x
2
( x + 4)( x - 4)( x - 9) = 0
c) (3 x - 1)(2 x + 3)( x + 2) = 0
d) 3 x ( x + 5)
3
(3 x - 1) = 0
e) ( x
2
2
a) x 5 1
= - x 1 2
= x 3 3
b) x 4 1
= - x 4 4
x 0 2
= x 9 5
x 0 3
c) x 2
1
= - x
2
= - x
3
d) x 5 1
= - x 0 4
x 5 2
= - x
5
x 5
3
e) x 3 1
= - x 1 3
x 2 2
= - x 3 4
Les solucions de l’equació no ho són
de la inequació.
Per tant, la solució és
d) Resolem l’equació.
x
x
x
2
1
2
Agafem un punt de cada interval en què
queda dividida la recta.
x = - 10 x = 0 x = 10
Si x = - 10 " (-10)
2
(- 3 , - 3) no és solució de
la inequació.
Si x = 0 " 0
2
és solució de la inequació.
Si x = 10
2
(3, + 3 ) no és solució de la inequació.
Les solucions de l’equació no ho són
de la inequació.
Per tant, la solució és (-3, 3).
e) El primer membre de la inequació sempre
serà positiu.
Per tant, la inequació no té solució.
f ) Resolem l’equació.
x
x
x 3 x 4 0
1
2
Agafem un punt de cada interval en què
queda dividida la recta.
x = - 10 x = 0 x = 10
Si x = - 10
(- 3 , - 4) és solució de la inequació.
Si x = 0 " (0 - 3)(0 + 4) < 0 "
(-4, 3) no és solució de la inequació.
Si x = 10
" (3, + 3 ) és solució de la inequació.
Les solucions de l’equació ho són també
de la inequació.
Per tant, la solució és
(- 3 , - 4] , [3, + 3 ).
g) Resolem l’equació.
( x ) x
x
x
1
2
Agafem un punt de cada interval en què
queda dividida la recta.
28 Resol les següents inequacions de segon
grau amb una incògnita.
a) x
2
b) x
2
c) x
2
d) x
2
e) x
2
f) ( x - 3)( x + 4) $ 0
g) ( x + 3) x < 4
h) x
2
i ) x
2
j ) 4 x
2
a) Resolem l’equació.
x x
x
x
2
1
2
Agafem un punt de cada interval en què
queda dividida la recta.
x = 0 x = 1,5 x = 3
Si x = 0
2
" (- 3 , 1) no és solució de la inequació.
Si x = 1,
2
(1, 2) és solució de la inequació.
Si x = 3 " 3
2
(2, + 3 ) no és solució de la
inequació.
Les solucions de l’equació ho són també
de la inequació.
Per tant, la solució és [1, 2].
b) Es dedueix de l’apartat anterior que
les solucions de la inequació són:
(- 3 , 1] , [2, + 3 )
c) Resolem l’equació.
x x
x
x
2
1
2
Agafem un punt de cada interval en què
queda dividida la recta.
x = - 1 x = 1 x = 10
Si x = - 1
2
" (- 3 , 0) és solució de la inequació.
Si x = 1 " 1
2
no és solució de la inequació.
Si x = 10
2
(9, + 3 ) és solució de la inequació.
Agafem un punt de cada interval en què
queda dividida la recta.
x = - 10 x = 0 x = 1,
x = 2,5 x = 10
Si x = - 10 "
2
` j
és solució.
Si x = 0
2
` j no és solució.
Si x =1 5 ,
2
`
j és solució.
Si x = 2 5,
2
(2, 3) no és solució.
Si x = 10
2
és solució.
Les solucions de l’equació ho són
de la inequació.
Per tant, la solució és
- 3 , - 2 , 2 , 2 ,[ , 3 + 3 )
` B 8 B
b) Les solucions de l’equació són:
x 1 1
= - x 0 2
= x 1 3
= x 4 4
Agafem un punt de cada interval en què
queda dividida la recta.
x = - 10 x = 0 5, x = 10
x = -0 5 , x = 2
Si x = - 10 "
3
no és solució.
Si x = -0 5 , - 0 5 ,? ( - 0 5 , - 4 )?
( , ) és solució
3
Si x = 0 5, 0 5,? ( ,0 5 - 4 ) ( 0 , 5 + 1 )?
3
no és solució.
Si x 2 2? ( 2 4 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) <
3
< 0 " ( , 1 4 )és solució.
Si x = 10 10? ( 10 - 4 ) ( 10 + 1 )?
3
Les solucions de l’equació ho són de
la inequació.
Per tant, la solució és [-1, 0) , (1, 4).
x = - 10 x = 0 x = 10
Si x = - 10 " (- 10 + 3)? (-10) - 4 > 0 "
(- 3 , - 4) no és solució
de la inequació.
Si x = 0 " (0 - 3)? 0 - 4 < 0 " (-4, 1)
és solució de la inequació.
Si x = 10 " (10 - 3)? 10 + 4 > 0 "
(1, + 3 ) no és solució de la inequació.
Les solucions de l’equació no ho són
de la inequació.
Per tant, la solució és (-4, 1).
h) Resolem l’equació.
x
x
x
x 30 0
1
2
2
Agafem un punt de cada interval en què
queda dividida la recta.
x = 10 x = 0 x = 10
Si
és solució de la
inequació.
Si x 0 0 0 30 0
2
no és solució de la inequació.
Si x 10 10 10 30 0
2
" ( , 6 + 3 )és solució de la
inequació.
Per tant, la solució és
i ) El primer membre de la inequació és
sempre més gran o igual que zero.
Per tant la inequació no té
solució.
j ) El primer membre de la inequació és
sempre més gran o igual que zero.
Per tant, la inequació no té
solució.
29 Resol aquestes inequacions de grau
superior, seguint el mètode utilitzat
per a les inequacions de segon grau.
a) ( x - 2)( x - 3)( x
2
b) x ( x - 4)( x + 1)( x
3
c) x
3
2
d) x
4
3
2
a) Les solucions de l’equació són:
x 2
1
= - x 2
2
= x 2
3
= x 3
4
x 10 ( 10 ) ( 10 ) 30 0
2
solucionari
d) ( x - 3 ) ( x - 2 ) = ( x - 1 ) ( x - 4 )
No té solució.
36 Resol aquestes equacions.
a) x 3 1
2
b) x = x + 6
c)
x x
d) 3 x + 19 = x + 3
a) x
x
x
2
1
2
b) x x
x
x
2
1
2
Només és vàlida x = 3.
c) x x
x
x
2
1
2
Només és vàlida x = 6.
d) x x
x
x
2
1
2
Només és vàlida x = 2.
37 Resol aquestes equacions.
a) x 5 x 2 3
2
b) 2 x + 4 x - 7 = x + 1
a) x x x x
x
4 3 2
b) x x x
x
x
4 3
1
2
38 Resol aquestes equacions.
a) 3 x
5
4
3
2
b) x
4
a) 3 x 13 x 16 x 4 x 0
5 4 3 2
x ( 3 x 1 ) ( x 2 ) 0
2 2
x 0 1
x
2
= x 2 3
b) x 1 0
4
( x 1 ) ( x 1 ) ( x 1 ) 0
2
x 1 1
x 1 2
39 Resol la inequació
x
x x
x
2
x
x
x x
x x 4
d) z 9 z 8 0 z
2
z x
z x
1 1
2 2
e) z 15 z 16 0 z
2
é.
z x x
z
1 No t solució
1 1 2
2
"
f ) z 17 z 16 0 z
2
z x x
z x x
1 1 2
2 3 4
34 Resol les equacions amb fraccions
algebraiques següents.
a)
x
x x x
x
2
3 2
b)
x x
x x x
x
2
3 2
c)
x x
x x x
x
2
3 2
a) x
x
x
2
1
2
b) x x
x
x
2
1
2
c) x x
x
x
2
1
2
35 Resol les equacions amb fraccions
algebraiques següents.
a)
x
x x
x
x
2
b)
x
x
x
x
c)
x
x
x
x
d)
x
x
x
x
a) ( x ) ( x x ) x ( x )
x x x
2
3
b) x ( x ) ( x ) ( x )
x x
c) ( x - 1 ) ( x - 4 ) = ( x - 3 ) ( x - 2 )"
No té solució.
solucionari
41 Troba el valor numèric del polinomi
per als següents valors de x.
P ( x ) = 6 x
4
- 61 x
3
+ 185 x
2
- 158 x + 40
a) x = - 1
b) x = 0
c) x = 1
Per trobar el valor numèric d’un
polinomi, se substitueix x pel valor
corresponent i s’efectuen les operacions
pertinents.
a) P ( 1 ) 6 61 185 158 40
b) P ( ) 0 = 40
c) P ( ) 1 6 61 185 158 40
ACTIVITATS FLAIX
42 INVENTA. Escriu en cada cas un
polinomi com s’indica i troba’n el valor
per a x = 3 i x = - 1.
a) De grau 4 i sense terme
independent.
b) De grau 3 i sense termes de grau 2
ni grau 1.
c) De grau 2 i la suma dels seus coeficients
és 10.
d) Amb dos termes, de grau 3 i amb terme
independent no nul.
Resposta oberta. Per exemple:
a) ( )
P x x x
P
P
4
4
4
b)
P x x
P
P
3
3
3
c)
P x x x
P
P
2
2
2
d) ( )
P x x
P
P
3
3
3
Es formen tres intervals:
Si x = - 10 !( - 3 ,- 2 )
És interval solució.
Si x = 0 !( - 2 , 4 )"
" No és interval solució.
Si x = 10 !( 4 , + 3 )"
" És interval solució.
A continuació es comprova si els
extrems dels intervals són
solucions.
x 2
És solució.
x 4
No és solució.
Per tant, la solució
és ( - 3 , - 2 ] ,( 4 , + 3 ).
1. Efectuaoperacionsamb
polinomisi fraccions
algebraiques
Polinomis
40 Quines d’aquestes expressions són
polinomis?
a) 3 x
2
b) 7 x - 13
c) 3 x - 4
d) 2 x
3
Totes són polinomis excepte la de
l’apartat c), perquè l’exponent de x no
és un nombre natural.
ACTIVITATS FLAIX
ACTIVITATS FINALS
53 Determina a i b perquè les divisions del
polinomi x
3
+ ax
2
+ bx - 6 entre els
polinomis x - 2 i x + 3 siguin divisions
exactes.
Dividim el polinomi entre x - 2.
a b
2 a a b
1 2 + a 4 + 2 a + b 2 + 4 a + 2 b
Dividim el polinomi entre x + 3.
a b
3 a a b
1 - 3 + a 9 - 3 a + b - 33 + 9 a - 3 b
Resolem el sistema.
a b
a b
a = 2 b = - 5
54 INVESTIGA. Si el dividend i el
divisor d’una divisió de polinomis
es multipliquen o divideixen per
un mateix polinomi, què els passa
al quocient i al residu?
No varien, al igual que passa amb
els nombres.
55 Calcula el residu sense fer les divisions.
a) (3 x
11
6
3
b) (9 x
105
60
21
12
3
: ( x
3
a) P ( - 1 ) = - 3 + 4 + 5 - 1 = 5
b) Fem el canvi de variable x z
3
( 9 z 3 z 5 z 6 z z 7 ) : ( z 1 )
35 20 7 4
P ( - 1 ) = 3 - 1 + 2 = 4
P ( ) 1 = 9 - 3 + 5 - 6 + 1 + 7 = 13
56 REPTE. Troba el residu d’aquesta divisió.
(3( x + 1)
16
- ( x + 1)
8
+ 2) : ( x
2
+ 2 x + 2)
No es pot factoritzar el divisor, ja que les
seves arrels no són reals i, per tant, no
podem calcular el residu del polinomi.
Fem el canvi: ( x 1 ) z
2
x x x
z z z
16 8 2
8 4
P ( - 1 ) = 3 - 1 + 2 = 4
Així, el residu és 4.
50 Divideix els polinomis següents utilitzant
la regla de Ruffini.
a) (2 x
5
4
3
2
b) (4 x
2
c) (3 x
6
3
d) ( x
8
6
4
2
a) 2 3 7
Quocient: 2 x 5 x 12 x x 1
4 3 2
Residu: 0
b) 4 - 1 1
Quocient: 4 x - 5
Residu: 6
c) 3 0 0 5 0 - 1 3
Quocient:
3 x 9 x 27 x 76 x 228 x 685
5 4 3 2
Residu: 2 058
d) 1 0 - 1 0 1 0 - 1 0 1
Quocient: x x x x
7 6 3 2
Residu: 1
51 Si P ( x ) = x
3
- 4 x
2
- x + m , calcula m
perquè la divisió P ( x ) : ( x - 2) sigui exacta.
P ( ) m
m
52 Quin valor ha de tenir a perquè el residu
de dividir x
3
+ ax
2
- 3 x - a entre x - 4
sigui 67?
Dividim el polinomi entre x - 4:
a
a
a
4 a
1 4 + a 13 + 4 a 52 + 15 a
Igualem el residu a 67.
52 + 15 a = 67
a = 1
59 Determina les arrels dels polinomis
següents.
a) ( x - 3)( x + 5)( x - 2)
b) x ( x - 2)
2
(2 x + 1)
c) (2 x - 1)(3 x + 2)( x + 3)
2
d) x
3
2
e) x
3
2
f) 3 x
3
2
g) 2 x
4
3
2
h) x
4
3
2
a) x 1
x 2
x
3
b) x
1
x
2
x 3
c) x 1
= - 3 x
2
= - x
3
d)
x 1
= - 2 x 2
= 1 x 3
e)
x
1
= - 5 x
2
= - 2 x
3
f )
3 x + 1 = 0
x
x 4
1
= - x
2
= - x 2
3
Arrels d’un polinomi.
Factorització
57 Comprova si els valors x = - 1, x = 0
i x = 1 són arrels d’aquests
polinomis.
a) x
5
4
3
2
b) x
5
4
3
2
c) x
5
d) x x x x x
5 4 3 2
a) P ( x ) = x
5
4
3
2
P (-1) = 0 P (0) = 0 P (1) = 0
Arrels: x 1
= - 1 x 2
= 1 x 3
b) P ( x ) = x
5
4
3
2
P (-1) = 0 P (0) = - 10
P (1) = - 24
Arrel: x = - 1
c) P ( x ) = x
5
P (-1) = - 2 P (0) = - 1 P (1) = 0
Arrel: x = 1
d) P ( x ) = x x x x
x
5 4 3 2
P (-1) =
P (0) = 3 P (1) = 0
Arrel: x = 1
58 Troba les arrels d’aquests polinomis.
a) x
2
b) 5 x
2
c) 3 x
2
d) 3 x
2
a) x 1
1
x 1 2
b) x 5 1
x 5
2
c) x 2 1
x 2 2
d) No té solució.
ACTIVITATS FLAIX
solucionari
69 Factoritza aquests polinomis.
a) x
2
b) x
2
c) x
3
2
d) 2 x
3
2
e) x
3
2
f ) x
4
3
2
g) x
4
3
2
h) 4 x
4
3
2
a) ( x - 5 ) ( x + 6 )
b) ( x - 6 ) ( x + 4 )
c) ( x - 5 ) ( x + 1 ) ( x - 2 )
d) ( 2 x - 5 ) ( x - 1 ) ( x + 1 )
e) x ( x - 2 ) ( x + 3 )
f ) ( x 1 ) ( x 2 )
2 2
g) ( x 2 ) ( x 2 ) ( x 3 )
2
h) x ( 2 x 3 )
2 2
70 INVESTIGA. Opera i comprova que:
x
4
+ 2 x
3
+ 3 x
2
+ 2 x + 1 = ( x
2
+ x + 1)
2
Un polinomi que no té arrels reals es pot
factoritzar? Posa’n dos exemples.
Comprovació:
( x x ) ( x x ) ( x x )
x x x x x x x
x x x x x
2 2 2 2
4 3 2 3 2 2
4 3 2
Es pot factoriztar, però en factors de grau
parell.
Exemples:
x 2 x 1 ( x 1 )
4 2 2 2
16 x 24 x 9 ( 4 x 3 )
4 2 2 2
71 REPTE. Descompon aquest polinomi
en dos factors, sabent que s’anul·la
per a dos valors inversos entre ells.
P ( x ) = x
5
- 209 x + 56
Definim les arrels com a i
a
. Per tant,
un dels factors seria:
( x a ) x
a
x Ax
2
e o , amb
A a
a
66 Escriu un polinomi Q ( x ) de tercer grau
les arrels del qual siguin 3, - 1 i - 1,
i tal que Q (2) =- 18.
Q x ( ) c ?( x ) ( x )
cx cx cx c
2
3 2
Q ( ) 2 = 8 c - 4 c - 10 c - 3 c =- 18 c = 2
Q x ( ) 2 x 2 x 10 x 6
3 2
67 Calcula el polinomi de segon grau P ( x )
tal que P (1) = - 6, P (0) = - 3
i una de les seves arrels sigui 3.
P x ( ) = c ?( x - 3 ) ( x - a )
P a c
P ac
a
c
c
2 1 c
e o
2 ( c 1 ) 6 c 2 a
P x ( ) 2 ( x 3 ) x x x
2
e o
68 Descompon en factors aquests
polinomis.
a) x
3
b) x
2
c) 9 x
2
d) 6 x
2
e ) x
2
f ) 9 x
6
2
g) x
2
h) 3 x
2
i ) x
3
2
a) x ( x - 1 ) ( x + 1 )
b) ( x - 2 ) ( x + 2 )
c) ( 3 x - 1 ) ( 3 x + 1 )
d) 6 ( x - 1 ) ( x + 1 )
e) x - 5 x + 5
_ i_ i
f ) x ( 3 x 4 ) ( 3 x 4 )
2 2 2
g) ( x 3 )
2
h) 3 ( x 1 )
2
i ) x ( x 1 )
2
ACTIVITATS FLAIX
solucionari
d)
x
x
x
x
2 2
a)
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
2
b)
x x
x x x
x x
x
x x
x
c)
x y x y ( ) ( )
x y x y
x y x y
4 5 x 9 y
d)
x
x x
x
x x
x x x
74 Calcula i simplifica.
a)
x
x
x
x
x
x
e o
b)
x x
x
x
1 x
e o e o
x x x
e o
c)
x x x x
x
x
e o e o
a)
( x ) ( x )
x
x
x
1 2 x
b)
x x x
x x
x x x
x x x
x x
x x
x
x x x x
2
2
2 3
c)??
x x x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x x
x x
2
2
3 2
Per tant: x 209 x 56
5
( x Ax 1 ) ( x Bx Cx 56 )
2 3 2
Igualem els coeficients i obtenim el sistema
següent.
Bx Ax A B
Cx ABx x C A
x ACx Bx AC A
A C
4 4
3 3 3 2
2 2 2
Solució: A = 4, B = 4, C = 15
Per tant: x 209 x 56
5
( x 4 x 1 ) ( x 4 x 15 x 56 )
2 3 2
Fraccions algebraiques
72 Quines d’aquestes són fraccions
algebraiques?
a)
x
x
2
b)
x
2
c)
x 2
d)
x 1
3
e)
x
x 5
2
f )
x
x 2
4
a), c), d) i f ) són fraccions algebraiques.
b) és un polinomi.
e) no és una fracció algebraica perquè
té un exponent fraccionari.
ACTIVITATS FLAIX
73 Efectua les operacions i simplifica’n el
resultat.
a)
x
x
x
x
b)
x x
x
3 x x
2
c)
x y x y
a) Escriu un polinomi amb el qual es pugui
calcular el cost de la factura segons
el nombre de kWh consumits.
b) Quin serà l’import si es consumeixen
500 kWh?
c) Si la potència contractada és inferior a
10 kW, el seu preu és de 0,117126 €/kW
al dia. Modifica la fórmula per calcular
el preu si la potència contractada
puja a 6,5 kW. Quin serà l’import si
es consumeixen 500 kWh?
a)???
( ) [( , , , )
, , , ]
P x x
x
x
b) P ( 500 ) = 47 , 37553009 +
500 kWh, l’import serà de 129,10 €.
c)
, , , ]
x
x
P ( 500 ) = 64 , 92399632 +
En aquest cas, l’import serà de 146,65 €.
Aquesta activitat es pot fer servir per
treballar l’ODS 7, energia assequible
i no contaminant.
81 INVESTIGA. Escriu una expressió
algebraica que reflecteixi aquest procés
i explica per què ocorre.
Demana al teu company o companya
que multipliqui per 2 el número del
mes en què va néixer (gener = 1,
febrer = 2, març = 3…) i que sumi 5
al resultat.
Després, demana-li que ho multipliqui per
50 i que al resultat hi sumi la seva edat.
Demana-li que digui el nombre que li ha
sortit i resta-li 250.
En el nombre que en resulta, les dues
xifres de la dreta es corresponen a la seva
edat, i les de l’esquerra, amb el mes del
seu naixement.
P x ( ) = [( 6 5,? 62? 0 1, 17126 + 0 , 128518 x )?
2. Tradueixenunciatsa
llenguatgealgebraic
79 MATEMÀTIQUES I... CONSUM.
Aquestes són les tarifes d’una companyia
telefònica.
Dades
acumulables
Establiment de trucada
4 GB 15,
cèntims
5,85 €/mes
a) Expressa amb un polinomi
l’import d’una factura
en funció de les trucades.
b) Quin serà l’import
de la factura si s’han fet
25 trucades?
c) Quantes trucades s’hauran fet
si la factura d’aquest mes ha estat
de 9,85 €?
a) ( ) ( , , )? ,
P x x
x
b) P ( 25 ) = 7 , 0785 + 0 , 184525? 25 = 11,
L’import de la factura, si s’han fet
25 trucades, és d’11,69 €.
c) 7 0, 785 + 0 , 184525 x = 9 8, 5
x = 15
Aquest mes hauran fet 15 trucades.
80 MATEMÀTIQUES I... CONSUM.
Observa la factura de la llum d’una llar
que té 4,6 kW de potència contractats
i ha consumit 363 kWh els dos últims
mesos.
ENERGIA
Potència facturada 4,6 W × 62 dies × 0,117126 €/kW 33,40 €
Consum facturat 363 kWh × 0,128518 €/kWh 46,66 €
Impost sobre electricitat 5,1127 % s/80,06 € 4,009 €
TOTALENERGIA 84,15€
SERVEISIALTRESCONCEPTES
Potència facturada 62 dies × 0,000986 €/dia 0,06 €
Servei Urgències Elèctriques 2 mesos × 1,99 €/mes 3,98 €
TOTALSERVEISIALTRESCONCEPTES 4,04€
TOTALENERGIA,SERVEISIALTRESCONCEPTES 88,19 €
IVA 21 % s/88,19 18,52 €
TOTALIMPORTFACTURA 106,71€
CONEGUI AMB DETALL FACTURACIÓ I CONSUMS
INTERNET
INTERNET
83 En un supermercat el nombre de clients
atesos per dependent i hora està
relacionat amb la seva experiència.
S’ha estimat que aquest nombre es
pot calcular amb:
C
d
d
en què d són els dies que el dependent fa
que hi treballa i C és el nombre de clients
atesos en una hora.
a) Quants clients per hora atendria un
dependent que fa dos dies que hi
treballa?
b) Un dependent comença a ser rendible
quan atén 32 clients per hora.
Quan passa això?
c) Investiga el que succeeix amb
el nombre de clients atesos per
dependents que tenen molta
experiència.
a)
d 2 C
= = 16 clients
b)
C
d
d
d
12 d ies
c)
d 1 0 00 C
39 88 clients
d 10 000 C
39 89 clients
Podem afirmar que encara que tingui molta
experiància, un dependent no podrà mai
atendre més de 39 clients.
Anomenem m el mes i x l’edat.
( 2 m + 5 )? 50 + x - 250 = 100 m + x
Les dues primeres xifres del nombre
obtingut corresponen al mes, com que són
les centenes estan multiplicades per 100.
L’edat es correspon amb les dues últimes
xifres, que corresponen a les unitats, i per
tant es multipliquen per 1.
Per exemple, si el mes de naixement és
novembre i el company té 16 anys.
82 MATEMÀTIQUES I... FÍSICA. Es deixa
caure una pilota des de 20 m d’altura.
Per l’acció de la gravetat, l’altura y varia
en funció del temps t mesurat en segons
segons la fórmula següent.
y 20? , t
2
a) Determina l’altura de la pilota en els
instants t = 0, t = 1 i t = 2. Quin
significat tenen aquests resultats?
b) Té sentit considerar valors de t més
petits que 0?
c) Quants segons triga la pelota a arribar
a terra?
d) Quin resultat obtens per a t = 4?
Aquest resultat té sentit en la situació
que es presenta?
a) t 0 y 20? ,?
9 8 0 2 0 m
2
t 1 y 20? ,? ,
9 8 1 1 5 1 m
2
t 2 y 20? ,? ,
9 8 2 0 4 m
2
La pilota cau des de 20 m d’altura.
b) No, perquè el temps és una magnitud
que només pren valors positius.
c)? ,
y t
t
2 02 s
2
d)? ,?
t 4 y 20
58 4 m
2
No té sentit en aquesta situació perquè
la pilota estaria per sota del terra.
solucionari
