¡Descarga Programación lineal: resolución de sistemas y optimización de funciones objetivo y más Apuntes en PDF de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II solo en Docsity!
Tema 3: PROGRAMACIÓ LINEAL
Inequacions És una desigualtat entre dues expressions algebraiques separades pels signes <, ≤ , > o ≥.
Inequacions de primer grau amb una incògnita La resolució consisteix en trobar els valor numèrics de la variable pels quals es compleix la desigualtat. Hem de: i) eliminar els parèntesi ii) eliminar els denominadors iii) passem tots els termes que tenen incògnita (sola o acompanyada per un coeficient) a un costat de la desigualtat i la resta a l’altre. Hem de tenir en compte que en canviar de costat el nombres que estan sumant passen restant restant “ sumant multiplicant “ dividint , ...
iv) agrupem termes i aïllem la variable. Si en fer aquest pas passem un nombre negatiu a l’altre banda multiplicant o dividint, el signe de la desigualtat s’inverteix, es a dir, de
< passa a > ≤ passa a
≥
> passa a < ≥ passa a
≤
Ex: 2x – 30 ≤5x + 3 2x – 5x ≤ 30 + 3
- 3x ≤ 33
x (^) 3 − x ≥ - 11
Sistemes d’inequacions amb una incògnita Resolem per separat cadascuna de les inequacions i després trobem les solucions comuns. Ex:
x
x + > 2 1 (^1)
⎩⎨
⎧ − < 3 2 1 x
→ < → < 3 3 1 x x x ∈(−1,1)
Inequacions lineals amb dues incògnites És una desigualtat algebraica formada per dos incògnites, x i y, que té com a solució una regió del pla en la que els valors numèrics dels punts (xi, yj) que la formen compleixen la inequació.
- Resolució:
- Expressem la desigualtat com una igualtat i s’obté l’equació d’una recta - Representem la recta a través de dos punts ( per exemple els punts de tall amb els eixos) de forma que el pla queda dividit en dues regions o semiplans
- Agafem un punt qualsevol de cada zona i comprovem si compleix la inequació. Si un punt verifica la desigualtat tota la regió és solució de la inequació. Ex:
2x + y > 4
2x + y = 4 (0,4) 0 2·0 4 ← = = − + x y R 2 y = - 2x + 4 passa per (2,4) 0 0 2 4
← = = − + y x
R 1
agafem un punt de cada regió i verifiquem si compleix la inequació
R 1 ( 0 , 0 ) 2 · 0 + 0 > 4? No R 2 ( 2 , 2 ) 2 · 2 + 2 > 4? Si
la solució és la regió R 2 i no inclou la recta ja que la desigualtat no conté el signe =
Sistemes d’inequacions amb dues incògnites És un conjunt d’inequacions lineals amb dues incògnites de les quals volem trobar la solució
És una funció lineal de dues variables f (x,y) = ax + by ( a, b ∈|R ) que utilitzarem posteriorment per la resolució de problemes
- La funció objectiu, concretament les variables x i y, està sotmesa a un conjunt de restriccions que ve donat per un sistema d’inequacions lineals amb dues incògnites. La regió solució del conjunt de restriccions és, en general, un polígon convex del pla que s’anomena regió factible , si be de vegades pot donar una zona no acotada.
Regió acotada Regió no acotada
En el cas de tenir una regió acotada cal trobar els vèrtexs del polígon que corresponen als punts d’intersecció dels segments que limiten la regió factible.
Ex: Determineu la regió factible representada per
x + y ≥ 4 y ≤ 4 y ≥x
El polígon està determinat per les rectes
r: y = 4 – x s: y = 4 t: y = x
de manera que la regió factible és
Ara hem de determinar els vèrtexs
r y x4 – x = 4 40 : 4
= −
⎩⎨
⎧ = s y
x( 0 , 4 ) =
: 4 r y x (^) y
: 4 4 – x = x 22
= −
⎩⎨
⎧ = s y x
x( 2 , 2 ) =
⎩⎨
⎧ ==^ r y^
y
: 4 4 = x 44
x( 4 , 4 )
s y x
: y =
Teorema de localització. Optimització de la funció objectiu Si una funció objectiu subjecta a un conjunt de restriccions té solució i està acotada, el valor òptim de la funció s’obté en un dels vèrtexs de la regió factible o en un dels seus costats.
Ex: Donada la funció f(x,y) = 50x+40y i el conjunt de restriccions següent
x y
2 1000 x y
x y ≥ ≥ 0 0
Trobeu el punt de la regió factible que fa màxima la funció. Trobem la regió
factible com intersecció de les restriccions i els seus vèrtexs
x y
⎩⎨
⎧ →
x = 0
sigui màxim?
x = quantitat invertida en A y = quantitat invertida en B
10
funció objectiu: f(x,y) =x y 100 100 Restriccions:
- es disposa de 10000 € x + y ≤ 10000 r - inversió màxima en A 6000 € x ≤ 6000 s - inversió mínima en B 2000 € y ≥ 2000 t - inversió en A com a mínim igual a B x ≥ y u - les quantitats invertides són positives x ≥ 0 y ≥ 0
La regió factible és
y ( € en milers)
A B C
D x
Trobem els vèrtexs:
x y
⎩⎨
⎧
10 →
A (5,5) x y
x y
⎧ →
x = 6
x y
= (2,2)
C ⎩⎨
⎧ → y 2 =
x
= (6,2)
6 D ⎩⎨
⎧ →
y = 2
i substituïm els valors trobats a la funció objectiu per trobar el màxim
f(A) = 0,1 · 5000 + 0,07 · 5000 = 850 € f(B) = 0,1 · 6000 + 0,07 · 4000 = 880 € f(C) = 0,1 · 2000 + 0,07 · 2000 = 340 € f(D) = 0,1 · 6000 + 0,07 · 2000 = 740 €
El benefici serà màxim en invertir 6000 € en accions A i 4000 € en B
Ex: Una refineria de petroli te dues fonts de petroli cru: cru lleuger, que costa 35 dòlars per barril i cru pesat a 30 dòlars el barril. Amb cada barril de cru lleuger, la refineria produeix 0, barrils de benzina ( B ), 0,2 barrils de combustible per calefacció ( C ) i 0,3 barrils de combustible per turbines ( T ), mentre que per cada barril de cru pesat es produeixen 0,
- = (2000000,1000000) 300000
B ⎩⎨
⎧ → x y
y
(0,4000000) 0
C ⎩⎨
⎧ →
x y
i substituïm els valors trobats a la funció objectiu per trobar el mínim
f(A) = 90.000. f(B) = 100.000. f(C) = 140.000.
El cost mínim és per la compra de 3.000.000 de barrils de cru lleuger i cap de cru
pesat.
