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Resumen/Formulario Electromagnetismo
Isaac Aarón Jesús Lorenzo
- Resumen. Índice
- 1.1. Análisis vectorial.
- 1.2. Electrostática.
- 1.3. Electrostática en medios materiales.
- 1.4. Magnetostática.
- 1.5. Magnetostática en medios materiales.
- 1.6. Campos de variación lenta.
- 1.7. Ecuaciones de Maxwell.
- Formulario.
- 2.1. Análisis vectorial.
- 2.2. Electrostática.
- 2.3. Electrostática en medios materiales.
- 2.4. Magnetostática.
- 2.5. Magnetostática en medios materiales.
- 2.6. Campos de variación lenta.
- 2.7. Ecuaciones de Maxwell.
- Resumen.
1.1. Análisis vectorial.
El análisis vectorial se postula como una de las herramientas matemáticas fundamentales para el estudio del electromagnetismo. La noción de vector, así como las múltiples operaciones que con ellos se realizan, conforman la base del desarrollo de la teoría electromagnética. De las propiedades de estas operaciones, conviene destacar dos:
i Si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar es cero.
ii Si dos vectores son paralelos, su producto vectorial es cero.
Cuando cada punto del espacio lleva asociada una cierta magnitud, decimos que existe un campo, concep- to fundamental, pues constantemente hablamos de campos eléctricos y magnéticos. Ligadas al concepto de campo se encuentran:
i Las super cies equicampo, aquellas cuyos puntos tienen el mismo valor del campo, tal y como son las super cies equipotenciales.
ii Las líneas de campo, aquellas tangentes al vector asociado al campo en cada punto, como son las líneas de campo eléctrico, que son siempre abiertas, o las líneas de campo magnético, que son siempre cerradas.
Para el adecuado análisis de los campos, es necesario notar que:
i El ujo de un campo vectorial a través de una super cie es positivo si tiene la dirección de las líneas de campo.
ii Si la integral de línea de un campo entre dos puntos no depende de la trayectoria seguida, decimos que el campo es conservativo.
iii Si la curva sobre la que se realiza la integral de línea es cerrada, hablamos de circulación del campo, y si el campo es conservativo, la circulación siempre es cero.
El gradiente de un campo escalar se de ne como un vector tal que multiplicado escalarmente por el diferencial de longitud, da la variación de campo en la dirección del diferencial. El módulo del gradiente da el valor de la máxima variación del campo en un punto, su dirección indica la de máxima variación, y su sentido es hacia valores crecientes. Además, el gradiente es un vector ortogonal a las líneas equicampo.
La divergencia de un campo vectorial se de ne como el ujo del campo a través de la super cie que encierra un volumen que tiende a cero. Si la divergencia en un punto es positiva, hay una fuente de campo, mientras que si es negativa, hay un sumidero.
El rotacional de un campo vectorial se de ne de manera análoga a la divergencia, pero en lugar de integral el producto escalar del vector y el diferencial de super cie, se integra su producto vectorial. Si el rotacional de un campo es cero, decimos que el campo es rotacional, y además, es conservativo.
Si se conocen la divergencia y el rotacional de un campo vectorial, éste queda plenamente de nido. Gradientes, divergencias y rotacionales pueden combinarse para obtener notorios resultados:
i El rotacional de un gradiente es cero.
ii Si el rotacional de un campo es cero, puede expresarse como el gradiente de un campo escalar.
iii La divergencia del rotacional es cero.
iv Si la divergencia de un campo es cero, puede expresarse como el rotacional de un campo vectorial.
v La laplaciana de un campo escalar es la divergencia de su gradiente.
iv La super cie de un conductor es una super cie equipotencial.
v El campo eléctrico es perpendicular a la super cie del conductor. vi Si un conductor tiene una cavidad descargada en su interior, entonces el campo electrostático en el interior de la cavidad es cero, y el potencial, constante.
vii Si un conductor está conectado a tierra, es decir, si el potencial electrostático es cero en su interior, entonces el campo eléctrico en el exterior es cero. Si consideramos sitemas de múltiples conductores, el potencial electrostático de cada conductor de- pende de la carga del resto de conducotores. También existe una dependencia con la geometría y la posición relativa entre ellos, por lo que se introduce una constante de proporcionalidad entre ellos, de- nominada coe ciente de potencial. Un caso especialmente interesante de los sistemas de conductores son los condensadores, formados por dos placas conductoras de cargas opuestas, y tales que la diferencia de potencial entre ellas no depende de otros conductores. Un condensador queda de nido por su capacidad, que es una medida de la idoneidad del condensador para almacenar carga eléctrica.
La energía electrostática de una carga se de ne como el trabajo necesario para trasladar la carga desde el in nito hasta el punto en que se sitúa. Podemos decir que la energía electrostática de un sistema es la energía necesaria para formar el sistema, y ésta energía es igual a la energía distribuida en todo el espacio en el que existe campo electrostático.
1.3. Electrostática en medios materiales.
Extendemos ahora el estudio de la interacción electrostática a sistemas dieléctricos, que son aquellos que no permiten el libre movimiento de las cargas. En los dieléctricos, distinguimos dos tipos de cargas; las cargas propias, constituyentes del material, y las cargas libres, añadidas al material extrínsecamente. En aras de realizar dicho estudio, es conveniente distinguir tres escalas de magnitud:
i La escala macroscópica, correspondiente al tamaño de las muestras sobre las que se efectuan me- diciones.
ii La escala diferencial, correspondiente al tamaño de los elementos en que debe dividirse el sistema para poder considerar constante una cierta variable en cada elemento.
iii La escala microscópica, correspondiente al tamaño de los átomos y moléculas. El estudio de la electrostática en medios materiales comienza con el estudio del campo a una gran distancia del material dieléctrico. Esto nos permite realizar el desarrollo multipolar del potencial electros- tático a partir de un desarrollo en serie de Taylor de orden 2. En general, podemos expresar el potencial aproximado en función de tres términos que varían como r−^1 , r−^2 y r−^3 respectivamente. Los dos últimos términos son proporcionales a ciertas integrales que dependen únicamente de las distribuciones de carga. Ésto nos permite de nir el momento dipolar eléctrico y el tensor momento cuadrupolar. En general, el término cuadrupolar del desarrollo puede considerarse despreciable, aunque resulta fundamental en los casos en que el resto de términos se anula. El término monopolar depende de la carga libre, por lo que si ésta se anula, el potencial variará principalmente en función del término dipolar, en el que centramos nuestro estudio.
En ocasiones, los centros de gravedad de cargas eléctricas positivas y negativas no son coincidentes, de manera que los átomos y moléculas que conforman el material actúan como dipolos eléctricos. Por tanto, podemos hablar de un moemento dipolar eléctrico por unidad de volumen, y de nir así la pola- rización eléctrica. Expresando el potencial electrostático en función de la polarización, podemos de nir unas densidades de carga equivalentes, denominadas densidades de carga de polarización, que permiten calcular de manera sencilla el campo electrostático generado por un dieléctrico. Notemos que la carga de polarización total de un dieléctrico es cero, pero no necesariamente debe ser cero la carga de polarización contenida en un volumen encerrado en el dieléctrico.
Para pasar a estudiar el campo en el interior de un dieléctrico, se considera un elemento de volumen del dieléctrico, y se analizan los campos que actúan sobre tal elemento:
i El campo generado por las cargas del interior del dieléctrico.
ii El campo generado por la super cie exterior del dieléctrico.
iii El campo generado por la super cie del elemento de volumen.
iv El valor medio del campo electrostático generado por las cargas del interior del elemento de volumen.
Evaluando tales campos, se obtiene que las expresiones del potencial y el campo electrostáticos en el interior del dieléctrico son las mismas que las obtenidas para el exterior. A nivel microscópico, es posible de nir el campo molecular como aquel que polariza un átomo o molécula, cuyo cálculo es similar al empleado para obtener el campo en el interior de un dieléctrico.
Si en el dieléctrico hay tanto carga libre como carga de polarización, al aplicar la ley de Gauss, es necesario considerar ambas densidades de carga. Para poder expresar la ley de Gauss únicamente en fun- ción de la carga libre, se de ne el vector desplazamiento eléctrico. Así, el ujo del vector desplazamiento eléctrico a través de una super cie cerrada depende únicamente de la carga libre contenida en su interior. Notemos que la inexistencia de carga libre no implica que no haya desplazamiento eléctrico, puesto que el rotacional de éste vector puede ser diferente de cero.
De la relación entre la polarización eléctrica y el campo electrostático, puede de nirse la susceptibili- dad eléctrica. A partir de ella, puede de nirse la permitividad eléctrica, que relaciona el campo eléctrico con el vector desplazamiento. En general, podemos clasi car los materiales como:
i Lineales, si la susceptibilidad eléctrica y la permitividad relativa no dependen del campo electros- tático.
ii Isótropos, si el desplazamiento eléctrico, la polarización eléctrica y el campo electrostático son paralelos.
iii Uniformes, si la susceptibilidad electrostático y la permitividad relativa no dependen de la posición.
Los materiales LIU presentan un interés especial, pues son los mejor comportados, ya que, por ejemplo, la susceptibilidad eléctrica y la permitividad relativa son constantes. En un material LIU, sólo puede haber densidad volumétrica de polarización si hay carga libre en el interior; no así en la super cie del dieléctrico.
De la relación entre el momento dipolar eléctrico y el campo molecular, puede de nirse la polariza- bilidad eléctrica, que es una medida de la tendencia de las moléculas a ser polarizadas. En función de la polarizabilidad, distinguimos diferentes tipos de materiales:
i Paraeléctricos, que tienden a ser polarizados en presencia de un campo eléctrico.
ii Ferroeléctricos, que tienden a permanecer polarizados incluso sin presencia de un campo eléctrico.
Es posible establecer condiciones de contorno para el campo electrostático y el vector desplazamiento. Por un lado, las componentes tangenciales del campo electrostático son siempre continuas. En cambio, las componentes tangenciales del vector desplazamiento son continuas sólo si las de la polarización lo son. Por otro lado, la componente normal del vector desplazamiento es discontinua salvo que la densidad super cial de carga sea cero, mientras que la componente normal del campo electrostático es siempre discontinua.
La energía electrostática de un dieléctrico puede expresarse con facilidad en función del vector despla- zamiento y el campo electrostático. Si tenemos un sistema conectado a una batería capaz de suministrar energía, la fuerza eléctrica es tal que tiende a maximizar la energía del sistema, manteniendo los pon- tenciales constantes al hacer el desplazamiento. En cambio, si el sistema no está conectado a una fuente de alimentación, la fuerza eléctrica es tal que tiene a minimizar la energía del sistema, manteniéndose la carga constante durante el desplazamiento.
1.5. Magnetostática en medios materiales.
El estudio de la interacción magnetostátiva en materiales magnéticos es fundamentalmente equivalente al estudio de la electrostática en medios materiales. Del mismo modo que la electrostática en medios ma- teriales comenzaba con el desarrollo multipolar del potencial electrostático, la magnetostática en medios materiales comienza con el desarrollo multipolar del potencial vector magnético, a partir de un desarro- llo de Taylor de orden 2 a grandes distancias del material magnético. En general, podemos expresar el potencial aproximado en función de un único término que varía como r−^2. Éste término es proporcional a una cierta integral que depende únicamente de la geometría del material, permitiéndonos así de nir el momento dipolar magnético. En puntos alejados del material, la densidad de corriente es cero, por lo que es igualmente posible expresar el campo magnético como el gradiente del potencial escalar magnético.
Al igual que un dieléctrico podía considerarse como formado por dipolos eléctricos, un material mag- nético puede considerarse como formado por dipolos magnéticos, formados por dos polos, norte y sur. Por tanto, podemos hablar de un momento dipolar magnético por unidad de volumen, y de nir así la imanación. Expresando el potencial vector magnético en función de la imanación, podemos de nir unas densidades de corriente equivalentes, denominadas corrientes de imanación, que permiten calcular de ma- nera sencilla el campo magnetostático generado por un material. Análogamente, expresando el potencial escalar magnético en función de la imanación, podemos de nir unas densidades de polos magnéticos, que también simpli can el cálculo del campo. Notemos que la carga de polos magnéticos total de un material magnético es cero, pero no necesariamente debe ser cero la carga de polos magnéticos contenida en un volumen encerrado en el material.
Para pasar a estudiar el campo en el interior del material, el procedimiento es análogo al empleado en electrostática. Aunque la expresión del campo magnetostático en función de las corrientes de imanación permanece invariante, añadir un término a su expresión en función de las densidades de polos magné- ticos. Éste término es dependiente de la imanación del material, y como ésta es cero en el exterior, la nueva expresión obtenida es válida en todo el espacio. A nivel microscópico, es posible de nir el campo molecular como aquel que imana un átomo o molécula, cuyo cálculo es similar al empleado para obtener el campo en el interior de un material magnético.
Si en el material hay tanto corrientes libres como corrientes de imanación, al aplicar la ley de Ampère, es necesario considerar ambas corrientes. Para poder expresar la ley de Ampère únicamente en función de la corriente libre, se de ne el vector intensidad magnética. Así, la integral de línea del vector intensidad magnética a través de una curva cerrada depende únicamente de la intensidad de la corriente libre que atraviesa cualquier super cie limitada por la curva. Notemos que la inexistencia de corrientes libres no implica que no haya intensidad magnética, puesto que la divergencia de éste vector puede ser diferente de cero.
De la relación entre la imanación y la intensidad magnética, puede de nirse la susceptibilidad mag- nética. A partir de ella, puede de nirsela permeabilidad magnética, que relaciona el campo magnético con la intensidad magnética. En función de la susceptibilidad magnética, distinguimos diferentes tipos de materiales:
i Ferromagnéticos, si la susceptibilidad magnética es positiva y elevada. En ellos, puede haber una imanación no nula habiendo un campo magnético nulo.
ii Diamagnéticos, si la susceptibilidad magnética es negativa. Estos materiales pueden levitar, y en ellos, la imanación es antiparalela a la intensidad magnética.
iii Paramagnéticos, si la susceptibilidad magnética es positiva pero pequeña. En ellos, la susceptibili- dad es función de la temperatura, y la imanación es paralela a la intensidad magnética.
En el estudio de los materiales ferromagnéticos, resulta fundamental el conocimiento del ciclo de histére- sis. Un campo magnético exterior genera una fuerza sobre los dipolos magnéticos que tiende a alinearlos con el campo, de manera que la energía resultante es mínima. Esto ocurre hasta que se llega a una situación en que todos los momentos magnéticos están alineados con el campo, habiendo una imanación
denominada de saturación. Si se disminuye el campo, o más concretamente, el vector intensidad magné- tica, la imanación no disminuye de la misma manera en que había aumentado, de manera que cuando la intensidad magnética es cero, la imanación, denominada remanente, puede ser no nula. Si sigue dismi- nuyéndose la intensidad, hasta aplicar un campo denominado coercitivo, es posible anular la imanación. Si se continua disminuyendo el campo, todos los momentos magnéticos se alinearan de manera inversa a la anterior, obteniéndose una nueva imanación de saturación. Aumentando el campo nuevamente, puede volver a obtenerse la alineación de momentos magnéticos contraria, y sucesivamente, se produce el ciclo de histéresis. Un punto de este ciclo especialmente interesante es el punto de trabajo, ya que en él, la imanación tiene el mismo valor que la intensidad magnética pero sentido contrario.
Es posible establecer condiciones de contorno para el campo magnetostático y el vector intensidad magnética. Por un lado, la componente normal del campo magnetostático es siempre continua. En cambio, la componente normal de la intensidad magnética sólo si la de la imanación lo es. Por otro lado, las componentes tangenciales del la intensidad magnética son discontinuas salvo que la densidad super cial de corriente sea cero, mientras que las componentes tangenciales del campo magnetostático son siempre discontinuas.
1.6. Campos de variación lenta.
El estudio de los campos de variación lenta parte del concepto de fuerza electromotriz, que no es una verdadera fuerza, pues se de ne como integral de la fuerza por unidad de carga a lo largo de una curva cerrada. Podemos empezar considerando el caso de una pila. Si la pila se conecta a un circuito cerrado, la fuerza electromotriz viene dada por la integral en el interior de la pila de un cierto campo debido a las reacciones químicas. Si se conecta a un circuito abierto, la fuerza electromotriz viene dada por la integral en el exterior del campo electrostático. En general, el campo capaz de mover cargas a través de un circuito cerrado, y cuya integración a lo largo de una curva cerrada da la fuerza electromotriz, se denomina campo de Faraday, y es el propio campo eléctrico.
Sabemos que campos eléctricos variables, como los porducidos por cargas en movimiento, generan campos magnéticos. Faraday se preguntaba si, inversamente, campos magnéticos variables generaban campos magnéticos. Faraday realizó numerosos experimentos, mediante los cuales llegó a la conclusión de que una variación de ujo magnético induce una fuerza electromotriz. La ley de Faraday es la expre- sión matemática de éste resultado, al que se añade un signo negativo debido a la ley de Lenz, según la cual la fem inducida en un circuito es tal que se opone a la variación de ujo a través de su super cie.
Las posibles causas de variación de ujo de inducen una fuerza electromotriz son:
i Variación del campo magnético.
ii Deformación del circuito.
iii Movimiento del circuito.
Sin embargo, no siempre que hay variación de ujo se induce una fuerza electromotriz, al igual que no siempre que aparece una fuerza electromotriz hay variación de ujo. Si la variacón de ujo es debida a una variación del campo magnético al movimiento del circuito, podemos asegurar que se inducirá fuerza electromotriz. En cambio, si el circuito es deformado mediante una ruptura del circuito, de manera que el circuito antes y despés pueda considerarse diferente, no se induce fuerza electromotriz.
A partir de la de nición de fuerza electromotriz y de la ley de Faraday, el teorema de Stokes permite deducir que el rotacional del campo eléctrico es proporcional a la variación del campo magnético. Tal y como cabe esperar, el campo eléctrico no es irrotacional, por lo que, al no ser conservativo, es capaz de trasladar cargas en circuitos cerrados.
Llegados a este punto, resulta conveniente distinguir entre diferencia de potencial y voltaje entre dos puntos. La diferencia de potencial es la variación del potencial escalar, mientras que el voltaje es la integral del campo eléctrico entre dos puntos. En electrostática, ambos conceptos coinciden, puesto que
que la suma de las variaciones de energía cinétrica de las partículas cargadas y la energía electromag- nética es igual a menos el ujo del vector de Poynting a través de la super cie del sistema estudiado. Por tanto, la suma de ambas variaciones se conservará cuando tal ujo sea cero, por lo que al considerar el in nito, vemos que la energía total se conserva. En lo referente al impulso electromagnético, puede demostrarse que la suma de las variaciones del momento lineal de las partículas cargadas y el impulso electromagnético es igual al ujo del vector de tensiones a través de la super cie del sistema estudiado. Por tanto, la suma de ambas variaciones se conservará cuando tal ujo sea cero, por lo que al considerar el in nito, vemos que el impulso total se conserva.
Uni cadas la electricidad y el magnetismo, a partir de las ecuaciones de Maxwell, pueden intentar establecerse nuevas condiciones de contorno. La conclusión a la que se llega es que, pese a las diferencias con las ecuaciones estudiadas en electrostática y magnetostática, las condiciones de contorno son las mismas.
De la segunda ecuación de Maxwell, se deduce que el campo magnético procede del rotacional de un cierto potencial vector, y de la tercera, puede verse que el campo magnético procede tanto de dicho potencial vector como de un cierto potencial escalar. Este par de potentenciales electromagnéticos no son únicos. De hecho, dada una función continua y diferenciable, es posible obtener un nuevo par de potenciales electromagnéticos. De las ecuaciones de Maxwell y para un par de potenciales que cumplan la condición de Lorentz, pueden deducirse unas ecuaciones de onda para los potenciales. Las soluciones de éstas ecuaciones de onda tienen la peculiaridad de estar evaluadas en un tiempo diferente al que lo están las fuentes de campo. Por ello, decimos que los potenciales electromagnéticos están retardados. Éste retardo, debido a la nitud de la velocidad de la luz, es de suma importancia, puesto que si la velocidad de la luz fuese in nita, entonces no existiría radiación electromagnética.
Si se solucionan las ecuaciones de onda de los potenciales electromagnéticos para una partícula pun- tual en movimiento arbitrario, se obtienen dos términos en las expresiones de los campos. El primer término depende únicamente de la velocidad de la partícula, mientras que el segundo también depen- de de su aceleración. Además, el primer término varía como r−^2 , mientras que el segundo varía como r−^1 , por lo que tiene un mayor alcance. El primer término se denomina campo de acumulación, pues su energía se acumula en las cercanías de la carga, mientras que el segundo se denomina campo de radiación.
De las ecuaciones de Maxwell pueden también deducirse unas ecuaciones de ondas para los campos eléctrico y magnético. Es importante notar que, aunque toda solución de las ecuaciones de Maxwell es solución de las ecuaciones de onda, no toda solución de las ecuaciones de onda es solución de las ecuaciones de Maxwell. Consideramos las soluciones de la onda plana, es decir, aquella que en un instante dado tiene la misma fase en todos los puntos del plano de fase. Al solucionar la ecuación de ondas en un dieléctrico, vemos que los campos eléctrico y magnético son perpendiculares entre sí y a la dirección de propagación de la onda. Además, ambos campos se encuentran en fase, por lo que hay puntos de la onda en que la energía electromagnética es cero. Al solucionar la ecuación de ondas en un conductor, nuevamente vemos que los campos eléctrico y magnético son perpendiculares entre sí y a la dirección de propagación de la onda. Sin embargo, ambos campos ya no se encuentran en fase. Además, como diferencia fundamental, en un conductor la onda está amortiguada, viaja más despacio y tiene una menor capacidad de penetración.
- Formulario.
2.1. Análisis vectorial.
Gradiente:
dφ = ∇~φ · d~l (1)
∇^ ~φ = ∂φ ∂x
~i + ∂φ ∂y
~j + ∂φ ∂z
~k (2)
Divergencia:
div A~ = ∇ ·~ A~ = l´ım ∆V → 0
∆V
S
A^ ~ · dS~ (3)
~∇ · A~ = ∂Ax ∂x
∂Ay ∂y
∂Az ∂z
Rotacional:
rot A~ = ∇ ×~ A~ = l´ım ∆V → 0
∆V
S
dS~ × A~ (5)
∇ ·^ ~ A~ =
∂Az ∂y
∂Ay ∂z
~i +
∂Ax ∂z
∂Az ∂x
~j +
∂Ay ∂x
∂Ax ∂y
~k (6)
Gradientes, divergencias y rotacionales:
∇ ×^ ~ ∇~φ = 0 (7) ∇ ·^ ~ (∇ ×~ A~) = 0 (8)
Laplaciana: ∇^2 φ = ∇ ·~ ∇~φ (9)
Teoremas integrales: ∫
V
∇ ·^ ~ A dV~ =
S
A^ ~ · dS~ (10) ∫
S
(∇ ×~ A~) · dS~ =
C
A^ ~ · d~l (11) ∫
V
(~∇ × A~) dV =
S
(dS~ × A~) (12)
Coordenadas esféricas:
x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ (13) dSr = r^2 sin θ dθ dφ dSθ = r sin θ dr dφ dSφ = r dr dθ dV = r^2 sin θ dr dθ dφ (14)
Coordenadas cilíndricas:
x = ρ cos θ y = ρ sin θ z = z (15) dSρ = ρ dφ dz dSφ = dρ dz dSz = ρ dρ dφ dV = ρ dρ dφ dz (16)
Delta de Dirac:
δ(x) =
∞ si x = 0 0 si x 6 = 0
−∞
f (x)δ(x − x 0 ) dx = f (x 0 ) (18)
− 1 4 π
∇~^2
|~r − ~rq |
= δ(~r − ~rq ) (19)
2.3. Electrostática en medios materiales.
Momento dipolar eléctrico:
~p =
V
~r ′ρ(~r ′) dV (42)
Tensor momento cuadrupolar:
Q^ ˜ij =
V
ρ(~r ′)(3x′ ix′ j − δij r′^2 ) dV (43)
Qij = Qji (44)
Desarrollo multipolar:
φ =
Q
4 πε 0 r
~r · ~p 4 πε 0 r^3
~r · ( Q~˜r) 8 πε 0 r^5
Dipolo eléctrico:
φ =
4 πε 0
~r · ~p r^3
E^ ~ = 1
4 πε 0
[
3(~p · ~r)~r r^5
~p r^3
]
Polarización:
P^ ~ = d~p dV
φ =
4 πε 0
V
P^ ~ (~r ′) ~r^ −^ ~r^
′ |~r − ~r ′|^3
dV (49)
Densidades de carga de polarización:
σP = P~ · ~n (50) ρP = −∇ ·~ P~ (51)
φ =
4 πε 0
S(V )
σP (~r ′) |~r − ~r ′|
dS +
4 πε 0
V
ρP (~r ′) |~r − ~r ′|
dV (52)
E^ ~ = 1
4 πε 0
S(V )
σP (~r ′)
~r − ~r ′ |~r − ~r ′|^3
dS +
4 πε 0
V
ρP (~r ′)
~r − ~r ′ |~r − ~r ′|^3
dV (53)
Campo molecular:
Emol = E~P +
P~
3 ε 0
Desplazamiento eléctrico y ley de Gauss:
D^ ~ = ε 0 E~ + P~ (55) ∇ ·^ ~ D~ = ρ (56) ∮
S
D^ ~ · dS~ = Qf (int) (57)
∇ ×^ ~ D~ = ∇ ×~ P~ (58)
Susceptibilidad y permividad eléctricas:
P^ ~ = ε 0 χe E~ (59) εr = 1 + χe (60) ε = εr ε 0 (61) D^ ~ = ε E~ (62)
Materiales LIU:
∇ ×^ ~ D~ = 0 (63)
ρP =
ε 0 − ε ε
ρ (64)
Condiciones de contorno:
~n × ( E~ 1 − E~ 2 ) = 0 ←→ E 1 t = E 2 t (65) ~n · ( D~ 1 − D~ 2 ) = σ ←→ D 1 n − D 2 n = σ (66)
Energía electrostática:
We =
V
D^ ~ · E dV~ (67)
F^ ~ = (∇~We)φ (con batería) (68) F^ ~ = −(∇~We)Q (sin batería) (69)
2.4. Magnetostática.
Fuerza de Lorentz: F~ = q E~ + q~v × B~ (70)
Campo magnético:
B^ ~ = ~v c^2
× E~ (v c) (71)
Intensidad:
I = dQ dt
Densidad de corriente:
J^ ~ = ρ~v (73) K^ ~ = σ~v (74)
I =
S
J^ ~ · dS~ (75)
I =
C
K^ ~ · d~l (76)
Ecuación de continuidad:
∇ ·^ ~ J~ + ∂ρ ∂t
∇ ·^ ~ J~ = 0 (corriente estacionaria) (78)
Conductividad y ley de Ohm microscópica: J~ = g E~ (79)
Material LIU, resistencia y ley de Ohm macroscópica:
R =
L
gS
V = IR (81)
Leyes de Kirchho: ∑
i
Vi = 0 (de las mayas) (82) ∑
i
Ii =
j
Ij (de los nudos) (83)
Dipolo magnético:
B^ ~ = μ^0 4 π
[
m~ r^3
3( m~ · ~r)~r r^5
]
Imanación:
P^ ~ = d~p dV
φm =
4 π
V
M^ ~ (~r ′) ~r^ −^ ~r^
′ |~r − ~r ′|^3 dV (105)
A^ ~ = μ^0 4 π
V
M^ ~ (~r ′) × (~r − ~r ′) |~r − ~r ′|^3
dV (106)
Densidades de polos magnéticos:
σm = M~ · ~n (107) ρm = −∇ ·~ M~ (108)
φm =
4 π
S(V )
σm(~r ′) |~r − ~r ′|
dS +
4 π
V
ρm(~r ′) |~r − ~r ′|
dV (109)
B^ ~ = μ^0 4 π
S(V )
σm(~r ′)
~r − ~r ′ |~r − ~r ′|^3
dS +
μ 0 4 π
V
ρm(~r ′)
~r − ~r ′ |~r − ~r ′|^3
dV (110)
Corrientes de imanación:
K^ ~m = M~ × ~n (111) J^ ~m = ∇ ×~ M~ (112)
A^ ~ = μ^0 4 π
S(V )
K^ ~m(~r ′) |~r − ~r ′|
dS + μ 0 4 π
V
J^ ~m(~r ′) |~r − ~r ′|
dV (113)
B^ ~ = μ^0 4 π
S(V )
K^ ~m(~r ′) × (~r − ~r ′) |~r − ~r ′|^3 dS +
μ 0 4 π
V
J^ ~m(~r ′) × (~r − ~r ′) |~r − ~r ′|^3 dV (114)
Campo en el interior:
B^ ~ = ∇ ×~ A~ (115) B^ ~ = −μ 0 ∇~φm + μ 0 M~ (116)
Intensidad magnética y ley de Ampère:
H^ ~ =
B~
μ 0
− M~ (117)
∇ ×^ ~ J~ = J~f (118) ∮
C
H^ ~ · d~l = If (int) (119)
∇ ·^ ~ H~ = ρm (120)
Susceptibilidad y permeabilidad magnéticas:
M^ ~ = χm H~ (121) μ = 1 + χm (122) μ = μr μ 0 (123) B^ ~ = μ H~ (124)
Condiciones de contorno:
~n × ( H~ 1 − H~ 2 ) = K~ ←→ H 1 t − H 2 t = Kt (125) ~n · ( B~ 1 − B~ 2 ) = 0 ←→ B 1 n = B 2 n (126)
2.6. Campos de variación lenta.
Fuerza electromotriz:
ε =
E^ ~ · d~l (127)
Fem en una pila:
ε=
_
E^ ~ ′^ · d~l (circuito cerrado) (128)
ε=
^
E^ ~ · d~l (circuito abierto) (129)
Ley de Faraday:
ε = −
dΦ dt
∇ ×^ ~ E~ = − ∂
B~
∂t
Ley de Faraday en movimiento:
E^ ~ ′^ = E~ + ~v × B~ (132) ∫
C
E^ ~ ′^ · d~l =
C
E^ ~ · d~l +
C
(~v × B~) · d~l (133)
Inductancia mútua y autoinducción:
Φ( ij )= Mij Ij (134)
Mij = μ 0 4 π
Ci
Cj
d~rj · d~ri |~ri − ~rj |
Mij = Mji (136) Li = Mii (137)
Energía magnética:
Wm = IΦ (circuito rígido y estacionario) (138)
Wm =
i
IiΦi =
i,j
Mij IiIj (sistema de circuitos estáticos) (139)
Wm =
∞
H^ ~ · B dV~ (140)
F^ ~ = (∇~Wm)I (con batería) (141) F^ ~ = −(∇~Wm)Φ (sin batería) (142)
Reluctancia y circuitos magnéticos:
R =
C
dr μS
nI = ΦR (144)
Transformadores:
n 1 n 2
ε 1 ε 2
L 1
M 12
L 1 L 2 = M 122 (146)
Potenciales electromagnéticos:
B^ ~ = ∇ ×~ A~ (167)
E^ ~ = −∇~φ − ∂
A~
∂t
A^ ~ ′^ = A~ + ∇~χ (169)
φ′^ = φ −
∂χ ∂t
∇ ·^ ~ A~ + εμ ∂φ ∂t
= 0 (condición de Lorentz) (171)
Ecuaciones de onda de los potenciales electromagnéticos:
−∇^2 φ −
u^2
∂^2 φ ∂t^2
ρ ε
∇^2 A~ −
u^2
∂^2 A~
∂t^2
= −μ J~ (173)
Campos eléctrico y magnético de una partícula puntual en movimiento arbitrario:
E^ ~ = q 4 πε 0 R^2
(1 − β^2 )(~n − ~β) (1 − ~β · ~n)^3
q 4 πε 0 cR
~n ×
[
(~n − ~β) × β~˙
]
(1 − ~β · ~n)^3
B^ ~ =^1
c
~n × E~ (175)
Ecuaciones de onda de los campos eléctrico y magnético:
∇^2 E~ − μg
∂ E~
∂t
− με
∂^2 E~
∂t^2
( (^) ρ ε
∇^2 B~ − μg
∂ B~
∂t
− με
∂^2 B~
∂t^2
