Espacios Vectoriales
Universidad de Cuenca - Facultad de Ingeniería
Álgebra Lineal
Sep 2020 – Feb 2021
Ing. Walter Dután - Universidad de Cuenca - Facultad de
Ingeniería - Álgebra Lineal - Sep 2020 - Feb 2021
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Algebra Lineal: Suma de vectores y multiplicación escalar - Prof. Walter, Resúmenes de Álgebra Lineal
Una serie de lecciones sobre la suma de vectores y la multiplicación escalar en el contexto de la algebra lineal. Se explica cómo se pueden combinar vectores utilizando la ley del paralelogramo y cómo se pueden escalar vectores multiplicando por un escalar. También se discute el concepto de espacio generado y se proporcionan ejemplos de subespacios vectoriales.
Tipo: Resúmenes
2022/2023
1 / 51
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Espacios Vectoriales
Universidad de Cuenca - Facultad de Ingeniería Álgebra Lineal Sep 2020 – Feb 2021 Ing. Walter Dután - Universidad de Cuenca - Facultad de
Espacios y subespacios
Después de que la teoría de matrices se estableció hacia fines del siglo XIX, se advirtió que muchas entidades matemáticas que se consideraban muy diferentes de las matrices eran, de hecho, bastante similares. Por ejemplo, se reconoció que objetos como puntos en el plano, puntos en el espacio, polinomios, funciones continuas y funciones diferenciables (por nombrar solo algunos) satisfacen las mismas propiedades de suma y multiplicación por un escalar dadas para las matrices. En lugar de estudiar cada tema por separado, se razonó que es más eficiente y productivo estudiar muchos temas al mismo tiempo al estudiar las propiedades comunes que satisfacen. Esto eventualmente condujo a la definición axiomática de un espacio vectorial. Ing. Walter Dután - Universidad de Cuenca - Facultad de
Combinaciones lineales
Podemos sumar y escalar los vectores en la misma ecuación Sean escalares y vectores en El vector en se llama Combinación Lineal de los vectores , con pesos o coeficientes Geométricamente, se obtiene una combinación lineal estirando/encogiendo los vectores de acuerdo con los coeficientes, y luego sumarlos usando la ley del paralelogramo. Ing. Walter Dután - Universidad de Cuenca - Facultad de
Ecuaciones vectoriales
Una ecuación que involucra vectores con coordenadas es lo mismo que ecuaciones que involucran solo números. Por ejemplo, la ecuación Ing. Walter Dután - Universidad de Cuenca - Facultad de
Ecuaciones vectoriales
Resolver una ecuación vectorial. En general, la ecuación vectorial donde son vectores en y son escalares desconocidos, tiene el mismo conjunto solución que el sistema lineal con la matriz aumentada, cuyas columnas son los y las. Ing. Walter Dután - Universidad de Cuenca - Facultad de
Espacio generado
Será importante saber cuáles son todas las combinaciones lineales de un conjunto de vectores en. En otras palabras, nos gustaría determinar el conjunto de todos los vectores en de modo que la ecuación vectorial (en las incógnitas ) tiene solución (es consistente). Definición: Sean vectores en. El espacio generado de es el conjunto de todas las combinaciones lineales de , y es denotado Ing. Walter Dután - Universidad de Cuenca - Facultad de Ingeniería - Álgebra Lineal - Sep 2020 - Feb 2021
Espacio vectorial - Propiedades
El conjunto , junto con las operaciones de suma y multiplicación escalar, se denomina espacio vectorial si se cumplen las siguientes condiciones: (1) Si y están en , entonces también está en. (2) (3) (4) Existe un único “vector nulo” tal que para todo (5) Para cada vector existe un vector único tal que (6) Si es un número real y pertenece a , entonces también está en. (7) 1 veces es igual a ( ) (8) (^) ଵ ଶ ଵ ଶ (9) (10) (^) ଵ ଶ ଵ ଶ Conmutativa Asociativa Neutro aditivo Inverso aditivo Neutro multiplicativo Asociativa mixta Distributiva 1 Distributiva 2 Ing. Walter Dután - Universidad de Cuenca - Facultad de es cerrado bajo la adición es cerrado bajo la multiplicación escalar
Observaciones
- A los elementos del espacio vectorial se les denomina vectores, y a los del campo , escalares.
- Que la operación + sea una operación interna definida sobre significa que para todo y para todo ,.
- Que la operación sea una operación externa definida de en significa que para todo y para todo ,.
- Para la verificación de que un cierto conjunto es un espacio vectorial, hay que cerciorarse antes que las operaciones + y son, efectivamente, cerradas. Ing. Walter Dután - Universidad de Cuenca - Facultad de
Tres espacios vectoriales distintos de
El espacio es de cuatro dimensiones, y por lo tanto es el espacio de matrices. Los vectores en estos espacios son determinados por cuatro números. El espacio solución es de dos dimensiones, porque las ecuaciones diferenciales de segundo orden tienen dos soluciones independientes. El espacio es cero-dimensional (para una definición razonable de dimensión). Es el espacio vectorial más pequeño posible. Dudamos en llamar a este espacio como , que significa que no tiene componentes
- induciendo a pensar que no existe un vector. El espacio vectorial tiene exactamente un vector. No se tienen espacios sin el vector nulo. Cada espacio tiene su propio vector nulo (cero): matriz nula, la función cero, el vector en. Ing. Walter Dután - Universidad de Cuenca - Facultad de
Subespacios vectoriales
Aunque en ocasiones es necesario pensar en las matrices y funciones como vectores; los vectores que mayormente necesitamos son vectores columna. Ellos son vectores con componentes - pero quizá no todos los vectores con componentes. Existen importantes espacios vectoriales dentro de. Estos son subespacios de. Definición: Un subespacio de un espacio vectorial es un conjunto de vectores (incluyendo ) que satisface dos requerimientos: Si y son vectores en el subespacio y es cualquier escalar, entonces i) está en el subespacio, y ii) está en el subespacio En otras palabras, el conjunto de vectores es cerrado bajo la suma y bajo la multiplicación (y ). En resumen: todas las combinaciones lineales pertenecen al subespacio. Ing. Walter Dután - Universidad de Cuenca - Facultad de
Plano a través del origen de
Escojamos un plano que pasa a través del origen de : Este plano es un espacio vectorial “en su propio derecho”:
- La suma de dos vectores en el plano, permanece en el plano.
- La multiplicación de un escalar por un vector del plano, permanece en el plano. Un plano en el espacio tridimensional no está en (aunque parezca). Los vectores tienen tres componentes. El plano es un espacio vectorial dentro de , es un subespacio de. Todo subespacio contiene el vector nulo: si escogemos , ii) requiere que esté en el subespacio. Un plano sin el origen no es un subespacio. Ing. Walter Dután - Universidad de Cuenca - Facultad de
Línea a través del origen de
Las líneas que pasan a través del origen de : son subespacios vectoriales:
- La suma de dos vectores en la línea, permanece en la línea.
- La multiplicación de un escalar por un vector en la línea, permanece en la línea. Pero la línea debe pasar a través de Ing. Walter Dután - Universidad de Cuenca - Facultad de
Ejemplos
Para el cuarto de plano: vectores cuyos componentes son positivos o cero. El vector está incluido, pero el vector no. La regla ii) no se cumple cuando intentamos multiplicar por. El cuarto de plano no es un subespacio. Si se incluyen los vectores cuyas componentes son ambas negativas. Se tienen dos cuartos de plano. El requerimiento ii) es satisfecho al multiplicar por cualquier. Pero no se cumple la regla i) : la suma de y es , que está fuera de los dos cuartos de plano. Los dos cuartos de plano no constituyen un subespacio. Ing. Walter Dután - Universidad de Cuenca - Facultad de
Regla para subespacios
Las reglas i) y ii) envuelven la suma de vectores y la multiplicación por escalares, tales como y. Las reglas pueden ser combinadas en un solo requerimiento – la regla para subespacios: Un subespacio conteniendo y debe contener todas las combinaciones lineales. Ejemplo: para el espacio vectorial de todas las matrices , a continuación indicamos dos subespacios: ( todas las matrices triangulares superiores ( todas las matrices diagonales es además un subespacio de. La matriz nula es además un subespacio, cuando , y son todos iguales a cero. Ing. Walter Dután - Universidad de Cuenca - Facultad de