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1. VECTORES
Iván Vargas Blanco Físico
Profesor, Instituto Tecnológico de Costa Rica
1.1 CANTIDADES VECTORIALES Y ESCALARES
Definición de Magnitud Atributo de un fenómeno, cuerpo o sustancia que puede ser distinguido cualitativamente y determinado cuantitativamente 1. También se entiende como cantidad física formada por un número y la unidad de medida respectiva.Ejemplos: 0.3 μm, 3 km, 24 m/s, 12 J.
Definición de Escalar Cantidad física que solo tiene magnitud. Son ejemplo de escalares: distancia, masa, tiempo, rapidez, temperatura, área, volumen, densidad, trabajo, energía, potencia y frecuencia. Los escalares pueden ser manipulados por las reglas del álgebra ordinaria. Ejemplos: 4 m, 5 kg, 60 s, 20 m/s, 37 °C, 8 m^2 , 4 m^3 , 24 Kg/m^3 , 1.78 J, 50 W y 333 Hz
Definición de Vector Cantidad física que tiene magnitud, dirección y sentido. Son ejemplo de vectores: la velocidad, la aceleración, la fuerza, el peso, la cantidad de movimiento, el desplazamiento, campo eléctrico y el campo magnético.(la palabravector significaportador en latín). Ejemplos: -4 m/s, +9.8 m/s^2 , 500 N 30°, -25 Kg m/s y –20 m
Representación gráfica de vectores
Un vector se representa gráficamente, como un segmento dirigido de rectaPQ de un punto
P llamadopunto inicial o origen a otro punto Q llamadopunto terminal o termino. Una punta de flecha en un extremo indica el sentido; la longitud del segmento, interpretada con una escala determina la magnitud. La dirección del vector se especifica al dar los ángulos que forma el segmento de recta con los ejes de coordenadas. Ejemplo:
Termino Q Dirección: 30° Magnitud: 60 m Escala: 1 cm = 20 m P Origen
(^1) Peste F.Vocabulario Internacional de Términos Fundamentales y Generales de Metrología .Centro Nacional
de Metrología.México.
Notación de vectores Algebraicamente los vectores se representan con letras del alfabeto castellano, mayúsculas o minúsculas; usualmente en un texto impreso se utiliza la letra en negrita, tal como b que significa ambas propiedades del vector, magnitud y dirección. En la escritura manual
ponemos una flecha sobre la letra para denotar la cantidad vectorial, tal comob
G
Ejemplos:
aG^ : -35 m/s, A
G
: 50 millas Norte, b : 15 km Suroeste, B: 20 m Oeste,PQ : 50 m/s 30°
La magnitud o longitud de un vector se representa colocando el vector entre barras o simplemente la letra asignada.
A =
G
50 millas, A =50 millas, PQ =: 50 m/s , PQ =: 50 m/s
Dirección de un vector con puntos cardinales
Para dar la dirección de un vector mediante puntos cardinales se anota de primero el punto cardinal norte o sur de acuerdo a la ubicación del vector , luego el ángulo que forma con el norte o sur y finalmente el punto cardinal este u oeste según corresponda. N A
G
: 20 m Escala: 1 cm = 10 m 30 ° O E A
G
: 20 m, N 60° O 45 ° B
G
: 30 m, S 45° E S B
G
: 30 m
Dirección de un vector con la medida del ángulo (coordenadas polares )
En este caso se anota la magnitud del vector y el ángulo que forman la rama positiva del eje X y el vector, el ángulo se toma como positivo o negativo en la misma forma que se hace en los estudios de trigonometría. La magnitud del vector y el ángulo son llamados coordenadas polares. y A
G
: 20 m Escala: 1 cm = 10 m 30 ° O x A
G
: 20 m, 150° 45 ° B
G
: 30 m, -45°
B
G
: 30 m
La magnitud y el ángulo son llamadas Coordenadas Polares
Vectores fijos Son aquellos vectores que no deben deslizarse sobre su línea de acción porque interesa que el origen coincida con un punto de aplicación del sistema. Ejemplo: F
G
Vectores libres Son aquellos vectores que pueden moverse libremente en el espacio con sus líneas de acción paralelas. Ejemplo:
A
G
A
G
Vector opuesto de un vector Se define como aquel que tiene la misma magnitud del vector y está a 180° respecto al vector y se representa como el negativo del vector, aG^ ⇒ - aG^ por lo cual se le llama vectores iguales y opuestos oantiparalelos. Un vector puede ser opuesto a otro si solo tiene dirección opuesta. Ejemplo:
A
G
- A
G
Vector unitario:uˆ Es aquel vector de magnitud la unidad o longitud unitaria y de igual dirección que el vector
dado. Si A o A
G
es un vector cualquiera de longitudA>0, entonces A/A o A/A
G
es un vector
unitario denotado por a oaˆ , con la misma dirección de A. Por lo tanto A=Aa o A =Aaˆ
G
Ejemplo:
A
G
: 7 m 60° ⇒ 1 7
G m D
A
A a m 60°
aˆ : 1 m 60°
Por lo tanto podemos escribir el vectorA
G
como A =Aaˆ
G
A = 7 aˆ
G
m
Este es uno de los vectores mas importantes
Vectores consecutivos Son aquellos vectores donde el término de uno coincide con el origen del siguiente. Ejemplo: b
G
aG cG
Vectores concurrentes Son aquellos vectores cuyas líneas de acción se intersecan en un punto. Ejemplo:
aG
b
G
cG
1.2 OPERACIONES CON VECTORES GRÁFICAMENTE
a)Multiplicación de un escalar por un vector gráficamente Si se multiplica un escalar λ por un vector A
G
resulta el vector A
G
λ cuya magnitud ha sido multiplicada por λ y el sentido depende del signo del escalar. Ej:
A
G
: 2 m 30° sí λ = 2 A
G
λ = 2(2 m) = 4 m 30 °
Practica 1. Dado el vectoraG^ : 50 m 300°. Hallar: a) La representación del vector b) El vector opuesto deaG c) El vector unitario deaG d) Un vector concurrente aaG e) Un vector consecutivo aaG f) Un vector perpendicular aaG
g) Un vector cuya magnitud sea aG 2
Método del polígono Para sumar vectores por el método del polígono se colocan los vectores consecutivos y el vector suma es la resultante que va desde el origen del primer vector al término del último vector. Ejercicio 1. Un auto se desplaza 300 m del Norte 30° al Este, luego 500 m del Sur 60° al Este y finalmente 300 m al Sur. Hallar la distancia y dirección a la que quedo del punto de inicio. Solución: N E b
G
N s a b c
G G G G
N a
G
E
E
c
G
s
G
Propiedades de la suma de vectores
- Ley conmutativa para la suma. a b b a
G G G G
b
G
a
G
a
G
b
G
- Ley asociativa para la suma. d (e f) (d e) f
G G G G G G
G
f
G
d
G
Leyes del álgebra vectorial^2
SiA
G ,B
G
yC
G
son vectores,m yn son escalares, entonces
- A
G
+B
G
=B
G
+A
G
Ley conmutativa para la suma
- A
G
+ (B
G
+C
G
) = (A
G
+B
G
)+C
G
Ley asociativa para la suma
- m(n A
G )= (mn)A
G =n(m A
G ) Ley asociativa para la multiplicación
- (m +n)A
G =m A
G +n A
G Ley distributiva
- m(A
G +B
G ) =m A
G +m B
G Ley distributiva Observe que en estas leyes sólo la multiplicación de un vector por uno o más escalares está definida. Mas adelante se definen los productos entre vectores.
(^2) Murray R.S.Matemáticas Avanzadas para Ingeniería y Ciencias. Mc (^) GrawHill. México.2001. pag.149.
b) Resta gráfica de vectores La resta de vectores es una suma indicada utilizando el concepto de vector opuesto. R A B A ( B)
G G G G G
Tiene la propiedad de no ser conmutativa. A B B A
G G G G
Ejemplo 1. Sean A
G
: 20 m 60° B
G
: 50 m 0°. Hallar: a)S A B
G G G
b)R A B
G G G
c)R B A
G G K
Solución:
B
G
A
G
A
G
B
G
Practica 1. Sean A
G
: 30 m 110° B
G
: 50 m 60° Hallar: a)S A B
G G G
b)R A B
G G G
c)R B A
G G K
d) Pruebe que A B ( B A)
G G G G
1.3 OPERACIONES CON VECTORES ANALÍTICAMENTE
1) SUMA ANALÍTICA DE VECTORES
Para sumar vectores analíticamente existen diferentes métodos:
Método de teoremas Consiste en hallar la resultante de la suma vectorial de dos vectores, utilizando relaciones como el teorema de Pitágoras o el teorema de cosenos y senos.
Teorema de Pitagoras Cuando los vectores forman un ángulo recto la magnitud de la suma o resultante se obtiene por medio del teorema de Pitágoras y la dirección por la relación trigonométrica tangente.
S^ G = a^2 +b^2 S
G
θ b
G
tan θ = a
b
aG
Recuerde que para la resta gráfica los vectores deben tener un origen común
Ejercicio 1. Dos hombres tiran de un bote, uno aplica una fuerza de 100 N y el otro de 80 N con un ángulo de 60° entre ellas. Hallar la fuerza resultante sobre el bote Solución:
Para la magnitud Para la dirección
(^222) cos θ 2 s =a +b − ab c
sen b
sen a
sen α β θ = =
= ( 100 )^2 +( 80 )^2 − 2 ( 100 )( 80 )cos 120 ° 2 s
- 2
senβ sen
2 s = + − −
- 2
sen senβ
s = 24400 sen β= 0. 4435 s= 156. 2 m/s β= 26. 3 °
Respuesta: s:
G
156.2 m/s, 26.3° (en coordenadas polares )
Ejercicio Propuesto: Un conductor de automóvil maneja 3 km en la dirección de 60° noreste y luego 4 km en la dirección norte.¿Dónde termina respecto de su punto de inicio?.Utilice el método anterior, compare su resultado con su respuesta si utiliza el método grafico.
Método de componentes rectangulares Dado un vector puede ser expresado en términos de muchos vectores que se suman consecutivamente llamados vectores componentes del vector. A 7
G
A 8
G
A
G
A 6
G
A 5
G
A 1
G
A 4
G
A 2
G
A 3
G
A A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8
G G G G G G G G G
La división de un vector en componentes no es única dado que un vector puede formarse por suma de muy diversas maneras, pero es de mayor utilidad descomponer un vector solo en términos de sus vectores componentes rectangulares o cartesianas.
a) Componentes Rectangulares o Cartesianas de un Vector Entre el ilimitado número de posibles divisiones de un vector en componentes tiene especial importancia las que se restringen a la dirección de los ejes cartesianos.
Vectores unitarios rectangulares
Los vectores unitarios rectangulares iˆ ,^ ˆj y kˆ^ son vectores unitarios cuya dirección y
sentido es la de los ejes positivosx,y, yz de un sistema de coordenadas rectangulares, a menos que se especifique de otra manera. Tales sistemas derivan su nombre del hecho de que un tornillo de rosca derecha girado 90° de Ox a Oy, avanzará en la direcciónz positiva. Se dice que tres vectores que tienen puntos iniciales coincidentes, y que no son coplanares forman un sistema derecho o sistema diestro si un tornillo de rosca derecha girado en un
ángulo menor que 180° de A
G
aB
G
avanza en la direcciónC
G
z A =Aiˆ
G
C
G
B =Bˆ j
G
C =C kˆ
G
kˆ jˆ B
G
y iˆ A
G
x iˆ^ = ˆj= kˆ= 1
Componentes de un vector en el plano y
A
G
A y
G
ˆ j (^) θ iˆ Ax
G
x Ax
G
: componente en la dirección del eje X Ay
G
: componente en la dirección del eje Y A Ax Ay
G G G
= + :Definición de suma de vectores
Utilizando los vectores unitarios, se tiene
Ax =Axiˆ
G
Ay =Ay jˆ
G
A= Ax +Ay=Axiˆ^ +Ay jˆ
G G G
Ejercicio 1. Calcule la magnitud y dirección del vector representado por los siguientes pares de componentes: a) A x =3.6 cm, A y =-7.2 cm
b) B x =-1.4 cm, B y =-9.35 cm
Solución:
2 2 A =+ Ax +Ay
G 22
B =+ Bx +By
G
A^ G^ =+ ( 3. 6 )^2 +(− 7. 2 )^2 B^ G=+ ( − 1. 4 )^2 +(− 9. 35 )^2
A=+ 64. 8
G
B=+ 89. 4
G
A=+ 8. 04
G
cm B=+ 9. 45
G
cm
tan
θ =
- 4
tan −
β=
θ = − 63. 4 ° β= 81. 5 °
Respuestas: A:
G
8.04 cm, -63.4° ; B:
G
9.45 cm, 81.5°
Ejercicio Propuesto: Calcule la magnitud y dirección del vector representado por los siguientes pares de componentes: a) a (^) x=-2.34 km, a (^) y=8.70 km
b) b x =1.60 km, b (^) y=5.75 km
b) Suma de varios vectores en el plano
Sean los siguientes vectores, todos en el planoXY y A=Axi ˆ^ +Ayˆj
G
B y B=Bxi ˆ^ +Byˆj
G
S y S
G
B
G
C=Cx iˆ^ +Cyˆ j
G
........ Ay A
G
Sumando los vectores se tiene Ax Bx x S =A+B+ C+...
G G G G
S x S=( Ax +Bx+Cx+...)iˆ+(Ay+By+Cy+...)ˆj
G
Sx =( Ax+Bx+C x+...) : suma de las componentes en la dirección del eje X Sy =( Ay+By+C y+...) : suma de las componentes en la dirección del eje Y
S=Sx iˆ^ +Syˆj
G
: vector resultante 2 2 S =+ Sx +Sy
G
: magnitud del vector resultante
tan θ = x
y S
S
θ = arc tan (^)
x
y S
S
: ángulo que forma el vector resultante
Ejercicio 1. Una partícula experimenta tres desplazamientos sucesivos en un plano, como sigue: 4.13 m SO, 5.26 m E, y 5.94 m en una dirección de 64° NE. Elija el ejex apuntando al este y el eje y apuntando hacia el norte, y halle (a) las componentes de cada desplazamiento, (b) las componentes del desplazamiento resultante, (c) la magnitud y dirección del desplazamiento resultante, y (d) el desplazamiento que se requerirá para traer de nuevo a la partícula hasta el punto del arranque.^3 Solución: N
C: 5. 94
G
m
O E
B: 5. 26
G
m
A: 4. 13
G
m S (a) Ax =Acos θ Bx =Bcos θ C (^) x =Ccos θ
Ax = 4. 13 mcos 225 ° Bx = 5. 26 mcos 0 ° C (^) x= 5. 94 mcos 26 ° A x=− 2. 9 m B x= 5. 26 m C x= 5. 34 m
Ay = Asen θ B (^) y = Bsen θ C (^) y = Csen θ Ay = 4. 13 msen 225 ° B (^) y = 5. 26 msen 0 ° C (^) y= 5. 94 msen 26 ° A y=− 2. 9 m B y = 0 m C y= 2. 6 m
∴ A=Ax iˆ^ +Ay jˆ
G
∴B=Bx iˆ^ +By jˆ
G
∴C=Cxi ˆ^ +Cy jˆ
G
∴ A =(− 2. 9 ˆi− 2. 9 ˆj)
G
m ∴ B =( 5. 26 iˆ+ 0 ˆj)
G
m∴ C =( 5. 3 ˆi+ 2. 6 ˆj)
G
m
(^3) Resnick.R. Física Vol.1. Cuarta Edición. Compañía Editorial Continental,S.A. México. 1999. Pb:
donde ( Ax , Ay,A z)son las magnitudes de los vectores componentes rectangulares o sea las
proyecciones del vector sobre los ejesx, y yz. z
A
G
Az =Az kˆ
G
y Ax =Axiˆ
G
Ay =Ay jˆ
G
x De esta manera el vector queda expresado así A=Axi ˆ^ +Ayjˆ +Azkˆ
G
Ejercicio 1. Representar el vector A
G
z
A
G
y
x
Practica 1. Represente los siguientes vectores ( 2, 2, 4) , ( -2, 4, 3)
Magnitud de un vector en tres dimensiones La magnitud se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras dos veces.
z Az
G
A
G
A y
G
y
Ax
G
x
2 2 2 A = Ax +Ay +Az
G
2 2 2 A = Ax +Ay +Az
G
: Magnitud del vector
Dirección de un vector en tres dimensiones La dirección del vectorA
G
en tres dimensiones se puede obtener de dos maneras:
a) por medio de los cosenos de los ángulos directores Son los ángulos que el vector forma con cada eje. α = ángulo entre el vector y el ejex β = ángulo entre el vector y el ejey γ = ángulo entre el vector y el ejez Los cosenos son respectivamente
A
Ax cosα = G ⇒ Ax Acos α
G
A
Ay cos β= G ⇒ Ay Acos β
G
A
Az cos γ= G ⇒ Az Acos γ
G
Luego se obtiene la función inversa para obtener cada ángulo. Por lo tanto todo vector en tres dimensiones se puede expresar con los ángulos directores así. A=Ax iˆ^ +Ayjˆ+Azkˆ
G
A Acosαi ˆ Acosβjˆ Acos γ kˆ
G G G G
donde A^2 =A^2 cos^2 α +A^2 cos^2 β+A^2 cos^2 γ
b) por medio de los ángulos θ y φ de las coordenadas esféricas Definimos dos ángulos; θ como el ángulo que hace el vector con el eje Z y φ como el ángulo que hace la proyección del vector sobre el plano XY con el eje X positivo ( ver figura ). Estos ángulos están dados de la siguiente forma:
A
Az cos θ = ⇒ Az =Acos θ
x
y A
A
tan φ = ⇒ Ay =Axtan φ
con esto se puede demostrar que: Ax =Asen θ cos φ Ay =Asen θsen φ Az =Acos θ
A las variables (r,θ,φ) se les llamacoordenadas esféricas. En nuestro casor = A. Por lo tanto todo vector en tres dimensiones se puede expresar de la siguiente forma.
A=Ax iˆ^ +Ayjˆ+Azkˆ
G
A =Asenθ cosφiˆ+Asenθsenφˆj+Acos θ kˆ
G
α ,β, γ son los ángulos directores
F
F (^) x cosα = G ⇒ 500
cos α = ⇒ α= 71. 2 °
F
F (^) y cos β= G ⇒ 500
cos β = ⇒ β= 56. 2 °
b)Por medio de coordenadas esféricas Como θ = 40 °y φ = 60 °, tenemos
F (^) x =Fsen θ cos φ F (^) y =Fsen θsen φ F (^) z =Fcos θ F (^) x = 500 Nsen 40 °cos 60 ° F (^) y = 500 Nsen 40 °sen 60 ° F (^) z= 500 Ncos 40 ° F (^) x = 160. 7 N F (^) y = 278. 3 N F (^) z = 383. 0 N
Los ángulos se obtienen como en el caso anterior.
Ejercicio Propuesto: Una fuerzaF actúa en el origen de un sistema en una dirección dado por α = 75° y γ = 130° Sabiendo queF (^) y = 300 N. Hallar: a) La fuerzaF b) Las componentesF (^) x y Fz c) El ángulo β Respuesta: (^) F = 416. 1 N,Fx= 107. 7 N,Fz= 267. 4 N, β= 43. 8 °
d) Suma de vectores en el espacio La suma de vectores en el espacio se realiza de manera similar a la empleada para los vectores en el plano. Sean los siguientes vectores,
A=Axi ˆ^ +Ayjˆ+Azkˆ
G
B=Bx iˆ^ +Byjˆ+Bz kˆ
G
C=Cx iˆ^ +Cyˆj+Cz kˆ
G
Sumando los vectores se tiene
S =A+B+ C+...
G G G G
S=( Ax +Bx+Cx+...)iˆ+(Ay+By+Cy+...)ˆj+(Az+Bz+Cz+...) kˆ
G
Sx =( Ax+Bx+C x+ ...) : suma de las componentes en la dirección del eje X Sy =( Ay+By+C y+...) : suma de las componentes en la dirección del eje Y Sz =( Az+Bz+C z+...) : suma de las componentes en la dirección del eje Z
S=Sx iˆ^ +Syˆj+Szkˆ
G
: vector resultante 2 2 2 S =+ Sx +Sy +Sz
G
: magnitud del vector resultante.
Ladirección se obtiene por medio de una de las formas mencionadas anteriormente.
Ejercicio 1. Dados los vectores:
a = 3 i ˆ+ 2 jˆ− 4 kˆ
G
b =− 2 i ˆ+jˆ+ 5 kˆ
G
c =−iˆ^ − 6 ˆ j
G
Hallar:
a) S^21 {a^3 (b c)}
G G G G
b) la magnitud y dirección deS
G
c) Un vector unitario en la dirección dea
G
d) Un vector opuesto ab
G
e) El vector 5a
G
Solución: (a)
b =− 2 i ˆ+jˆ+ 5 kˆ
G
c =−iˆ^ − 6 jˆ+ 0 kˆ
G
(b + c)=− 3 iˆ− 5 jˆ+ 5 kˆ
G G
3 ( b + c)=− 9 iˆ− 15 jˆ+ 15 kˆ
G G
a = 3 iˆ + 2 ˆj− 4 kˆ
G
a + 3 ( b+c)=− 6 iˆ− 13 ˆj+ 11 kˆ
G G G
S {a b c} i j kˆ 2
ˆ^11
ˆ^13
G G G G
S =− 3 iˆ − 6. 5 ˆj+ 5. 5 kˆ
G
(b)
S^ G=+ ( − 3 )^2 +(− 6. 5 )^2 +( 5. 5 )^2
S= 9. 03
G
dirección con ángulos directores:
A
Ax cosα = G ⇒
- 03
cos
α = ⇒ (^) α= 109. 4 °
A
Ay cos β= G ⇒
- 03
cos
β = ⇒^ β=^136.^0 °
A
Az cos γ= G ⇒
- 03
cos γ = ⇒ γ= 52. 5 °
