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PROBABILIDAD Definición axiomática: Sea E el espacio muestral de cierto experimento aleatorio. La Pi suceso es un número que verifica: 1) Cualquiera que sea el suceso A, O S P(A) S 1. 2) Si dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de su un de sus probabilidades. ANB=09 > P(AUB) = P(A) + P(B). 3) La probabilidad total es 1. P(E) = 1. robabilidad de cada ión es igual a la suma Definición de Laplace. Laplace define la probabilidad del suce: resultados favorables a que ocurra el suceso Á en e resultados posibles del experimento. so A como el cociente entre el número de l experimento y el número de 0 de casos favorables a A nm de casos posibles . |P(4)= Ejemploi: En el experimento de lanzar dos monedas al aire, hallar la que al salgan dos caras. Casos posibles: (cc, cx, Xc, xx); Casos favorables: (cc) probabilidad de 1 P(2 caras)== ( 1-7 Ejemplo 2: Calcular la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga: a) Un número par b) Un múltiplo de tres. c) Mayor que 4. Casos posibles: (1, 2, 3, 4, 5, 6). , b) pá: ni a) Plpar)=2 = Propiedades de la proba! ad 1) La suma de las probabilidades de un suceso y su complementario vale 1, por tanto la probabilidad del suceso complementario es: PlA)=1-P(4) 2) P(E)J=1. y P(D)=0 3) Pl4uB)=P(4)+P(B)-P(AN B) 4) Si ACB entonces: P(4) < P(B) 5) Si As, Az, »»., Ax SON SUCESOS incompatibles dos a dos, entonces: P(4, VA, Uno 0 Ay) = PA) + PAS) +0 000 PA) 6) Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = (Xi, Xar «o, Xny entonces: P(S) = P(x)+ ple) + Pr) + +PG) Leyes de Morgom ¿< AUB8= ANS ANB = AU8 A-B=ANB Scanned with CamScanner Ejemplo 3: habitantes son En una ciudad existen dos periódicos A y B: El 50% edadanos leen ambos lectores del diario A y el 30% del diario B. Un 20% de clu obabilidad de que periódicos. Se elige un ciudadano al azar. Calcula la pr dicho ciudadano: a) Sea lector de algún periódico b) Lea solamente el diario A. c) No lea la prensa d) Lea solamente uno de los diarios. Suceso A= (el ciudadano lee el diario Aj > p(A)=0,5 Suceso B= (el ciudadano lee el diario B)> p(B)=0,3 Hay ciudadanos que leen ambos periódicos > pla NB)=0,2 a) Ser lector de algún diario: nos sirve leer A 0 leer B o ambos por lo que nos piden la probabilidad de la unión PAU B)= p(4)+ p(B)- p(4NB)=0,5+0,3-0,2= 0,6 b) Leer sólo el diario A Probabilidad de leer A y no leer B: p(4—B)= pd c) p(No leer prensa)= 1-p(leer algún diario) = d) leer A y no leer Bo leer b y no leer A, es decir: ambos sucesos incompatibles. p(4-B)= p(4)-p(4ANB)=0,5-0,2=0,3 p(B-4)= p(8)-p(ANB)=0,3-0,2=0,1 Por lo que: p [(A-B)u(B-A)]=0,3+0,1=0,4 )-P(4NB)=0,5-0,2=0,3 1-0,6=0,4 (A-B)u(B-A) siendo Se llama probabilidad del suceso A condicionada al B y se representa por P(A/B) a la probabilidad del suceso A, sabiendo que ha ocurrido el suceso B. Ape Ejemplo 4: Calcula la probabilidad de obtener un 6 al tirar un dado, sabiendo que ha salido par. 6 AN HS par) A 3 Ejemplo 5: En una clase hay 20 alumnas y 10 alumnos. El 30% de las alumnas son rubias y el 20% de los alumnos son rubios. Tomamos un alumno al azar, sabiendo que es rubio, calcula la probabilidad de que sea alumna. A=(ser rubio) B=(ser alumna) pray al de rubios . 642.8, 4 n” de alumnos 30 30 15 AnBI= E P(B)= Scanned with CamScanner Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo a cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. al parten En «el final de cada rama parcial se constituye a Su vez, UN nudo del e SUnta un huevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo repr posible final del experimento (nudo final). Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de dar 1. de las ramas de cada nudo ha Ejemplo 7: d Una compañía de seguros hace una investigación sobre la cantidad de partes de siniestro fraudulentos presentados por los asegurados. Clasificando los seguros en tres clases, incendio, automóvil y "otros", se obtiene la siguiente relación de datos: o El 6% son partes por incendio fraudulentos; el 1% son partes de automóviles fraudulentos; el 3% son "otros" partes fraudulentos; el 14% son partes por incendio no fraudulentos; el 29% son partes por automóvil no fraudulentos y el 47% son "otros" partes no fraudulentos. a) Haz una tabla ordenando los datos anteriores y hallando el porcentaje total de partes fraudulentos y no fraudulentos. b) Calcula qué porcentaje total de partes corresponde a la rama de incendios, la de automóviles y cuál a "otros". Añade estos datos a la tabla. c) Calcula la probabilidad de que un parte escogido al azar sea fraudulento. ¿Cuál será, en cambio, la probabilidad de que sea fraudulento si se sabe que es de la rama de incendios? cuál a a,b) o j “PF ncendio [ Automóvil | Otros j Total | T_ Fraudulentos 6 o j 10 [__No fraudulentos [14 ___[ 29 1.90 [ Total [20 Í 30 [ 100 | c) Es fácil ver sobre la tabla que la probabilidad de escoger al azar un parte fraudulento es del 10%. La probabilidad condicionada que se pide es: P(FRAUDE/INCENDIO)=6/20=0.3 Ejemplo 8 Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de: a) Seleccionar tres niños. . b) Seleccionar exactamente dos niños y a. "o una niña 2 fo c) Seleccionar exactamente dos niñas _—_ pl niña y un niño. ¿mio o d) Seleccionar tres niñas. e Í Sol: Y niña 10 9 8 f a 3 niños)==-=-—=0,214 Pl sao A 4. ,_10 9 6 pl 2 mm b 2niños y 1 niña)==-=-= + , $ 7 ol Y 561514 Ex no YA 3 Za En aña 1069 610 9 s » si E 2.2.2 =0,482 niña E niño 16 1514 161514 ' E $ Sia £ hi niña Scanned with CamScanner C) P (2 niñas y 1 niño) 10,6,5,6 10. 5,6 510 16 15 14116 15 14 18 15 14 O EJERCICIOS 1%) _ Un estuche contiene 15 lápices de color rojo y 10 de color azul. a) Si elegimos uno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea rojo? b) Si extraemos dos, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean azules? c) Si elegimos dos, calcular la probabilidad de que el primero sea azul y el segundo rojo. . AP] Sol: y Rojo 14/24 e a) MR)=Z== ) P(R) 255 15/25 10/24 ¿7 10 9_3 b) P(AyA)s—-2 == 10/25 0 Rojo ) PAYA) 2524 2 ll 15/24 10 15 1 9/24 c) P(1%Ay ea Se Azul 20) Un restaurante tiene contratados a dos camareros (avier y Ana) para atender el servicio de comedor. Ana pone el servicio el 70% de los días y se confunde al colocar la cubertería sólo el 5% de los días. Javier, por el contrario, coloca mal alguna pieza el 25% de los días que pone el servicio. a) Esta mañana, el encargado del restaurante va a pasar revista al servicio; ¿cuál es la probabilidad de que encuentre algún servicio mál colocado? b) Por desgracia, el encargado encontró unos cubiertos mal ubicados y desea conocer la probabilidad de que haya sido Javier. _A Bien > a) p(mal)=P(Ana) . P(mal “sn + P(Javier): pla...) = or 005 =0,7-0,05+0,3-0,25=0,11 e ú e Mol 03 ¿0 Bien b) plravier/ as POJavier): PR, 1) 0,3- 0,25 25 =0,681 DS P(mal) 0,11 Javier o, Se mal 3%) De dos sucesos A y B sabemos que: P(4) = 0,48; P(AUB)= 0,82 y P(B) =0,42 a) ¿Son A y B independientes? b) ¿Cuánto vale P(A / B)? Sol: a) P(A)=1-0,48=0,52 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(ANB)>P(ANB)= 0,52+0,42-0,82=0,12 P(A)P(B)=0,52:0,42=0,2184+* P(ANB)>No son independientes b) P(A/B)= E rd Scanned with CamScanner 
