¡Descarga Resúmenes mates bachi y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Matemàtiques II
Resol
Pàgina 145
Geometria el·líptica
Una de les possibles geometries no euclidianes s’anomena el·líptica. I una versió senzilla d’aquesta es desenvolupa sobre una superfície esfèrica. Les rectes, en aquest cas, serien les circumferències màxi- mes (intersecció de la superfície esfèrica amb un pla que passa pel centre).
Aquesta geometria compleix els primers quatre postulats d’Euclides.
Triangle de la geometria el·líptica
Comprova que:
a) Dues rectes sempre es tallen.
b) Per un punt exterior a una recta no es pot traçar cap altra recta que no talli la primera.
c) En aquesta geometria el·líptica no es compleix el cinquè postulat d'Euclides.
a) Siguin R 1 i R 2 rectes en la geometria el·líptica, i S la superfície esfèrica.
R 1 = π 1 ∩ S ; R 2 = π 2 ∩ S
Com que els dos plans passen pel centre, es tallen → π 1 ∩ π 2 = r Els punts P = r ∩ S verifiquen:
P ∈ R 1 i P ∈ R 2 → P ∈ R 1 ∩ R 2 → R 1 i R 2 es tallen.
b) No és possible perquè totes les rectes es tallen.
c) El cinquè postulat d'Euclides:
«Per un punt P exterior a una recta r del pla només es pot traçar una recta paral·lela a aquesta».
Si fos cert, per un punt P exterior a una recta r del pla es pot traçar una recta que no la talla; però hem vist que això és impossible: per tant, no es compleix el postulat.
α β
γ
Matemàtiques II
1 Sistema de referència en l'espai
Pàgina 146
1 Representa els punts següents:
P (5, 2, 3), Q (3, –2, 5), R (1, 4, 0) S (3, 0, 4), T (0, 6, 3), U (0, 0, 4)
P (5, 2, 3)
Q (3, –2, 5)
R (1, 4, 0)
S (3, 0, 4)
T (0, 6, 3)
U (0, 0, 4)
Y
S
U Q (^) T
R
P
Z
X
2 Situa sobre unos eixos de coordenades un punt P****. Projecta’l, P' , sobre el pla XY****. Segueix el procés fins a determinar les coordenades de P****. (Observa que l'únic pas no determinat és decidir la situació de P' ). P (3, 5, 2)
Y
P
P'
Z
X
Matemàtiques II
3 Equacions de la recta
Pàgina 151
6 Obtén les equacions paramètriques, l'equació en forma contínua i les equacions implícites de la recta que passa per aquests punts: A (–5, 3, 7) i B (2, –3, 3) Vector director: (2, –3, 3) – (–5, 3, 7) = (7, – 6, – 4) Equacions paramètriques: l l l
x y z
Equació contínua: x y^ z 7
= +^ = –
Equacions implícites:
8
8
x y^ x y
x z^ x z
x y x z
4 *
7 Troba sis punts de la recta anterior diferents de A i B****.
Donant-li valors a λ, obtenim: λ = 1 → (9, –9, –1) λ = 2 → (16, –15, –5) λ = 3 → (23, –21, –9) λ = 4 → (30, –27, –13) λ = –2 → (–12, 9, 11) λ = –3 → (–19, 15, 15) (Per a λ = 0 i λ = –1, obtenim els punts que teníem).
8 Comprova si algun dels punts que es donen a continuació pertany a la recta r :
l A B C D r l
x y z
A ∉ r , perquè z ≠ 4
B :
l 8 l l 8 l
C :
l 8 l l 8 l
D ∉ r , perquè z ≠ 4
Matemàtiques II
5 Equacions del pla
Pàgina 155
9 a) Troba les equacions paramètriques i l'equació implícita del pla que passa per P (1, 7, –2), Q (4, 5, 0) i R (6, 3, 8). b) Troba tres punts més del pla. c) Calcula el valor de n per al qual el punt A (1, n , 5) pertany al pla.
a) El pla és paral·lel a PQ = (3, –2, 2) i a QR = (2, –2, 8) // (1, –1, 4). Equacions paramètriques: l μ l μ l μ
x y z
Equació implícita: x y z
- – – = 0, és a dir: 6 x + 10 y + z – 74 = 0
b) λ = 1, μ = 0 → (7, 3, 2); λ = 0, μ = 1 → (5, 4, 4); λ = 1, μ = 1 → (8, 2, 6) c) Substituïm en l'equació implícita: 6 · 1 + 10 · n + 5 – 74 = 0 → 6 + 10 n + 5 – 74 = 0 → 10 n = 63 → n = 10
10 Comprova si el punt de coordenades (15, 2, 7) pertany a aquest pla:
l μ l μ
x y z
l μ l μ
8 l μ
4 =^ =
Com que el sistema té solució, el punt pertany al pla i s'obté amb els valors λ = –1, μ = 7.
Matemàtiques II
7 El llenguatge de les equacions: variables, paràmetres…
Pàgina 159
13 Escriu les equacions implícites i paramètriques d’aquestes figures:
Z (^) Z
Z Z^ Z
X X
X (^) X (^) X
PLA YZ
EIX X
Y Y
Y Y^ Y
a (^) b c
d e^ f
Z
X
Y
Z (^) Z
Z Z^ Z
X X
X (^) X (^) X
PLANO YZ
EJE X
Y Y
Y Y^ Y
a (^) b c
d e^ f
Z
X
Y
a) x sempre val 0. y pot agafar qualsevol valor. z pot agafar qualsevol valor.
π: x = 0 → π: l μ
x y z
b) x pot agafar qualsevol valor. y sempre val 0. z sempre val 0.
Eix X :
y z
) (^) → r :
x l y z
c) z pot agafar qualsevol valor. El pla π en la seva intersecció amb el pla XY determina la recta r d'equació: r : 2 x – y = 0. Així, en l'espai XYZ :
π: 2 x – y = 0 → π:
l l μ
x y z
d) Calculem l'equació de la recta en el pla XZ : r passa per A (4, 0) i B (0, 3) → AB = (– 4, 3)
r : ,
l l 8 l
x z
(^4 4) z (^) x z (^3 3 4 )
= =^ =
r : 3 x + 4 z = 12 en el pla XZ.
Matemàtiques II
En l'espai XYZ la recta no agafa valors en y ; per tant, y = 0. Consegüentment, l'equació de la recta r en l'espai XYZ és:
r : :
l
l
y x z r
x y z
) (^) *
e) x pot agafar qualsevol valor. z pot agafar qualsevol valor. y sempre val 7.
π: y = 7 → π:
l
μ
x y z
f ) y pot tenir qualsevol valor. Calculem la recta que determina el pla ρ en en la seva intersecció amb el pla XZ : r passa per A (4, 0) i B (0, 3). Per l'apartat d): r : 3 x + 4 z = 12 en el pla XZ. Així:
π: 3 x + 4 z = 12 → π:
l μ l
x y z
14 Representa gràficament les figures donades per les equacions següents:
a) z = 4 b)
l μ
x y z 4
l l
x y z 4
x l y z
e) y z
) f ) x z
) g) y = 0 h) l μ
x y z
i)
x y z
l μ r
x y z
- k)^ x^ +^ y^ +^ z^ = 1^ l)
x y z x y z
m) x^2 = z^2 n)
x z
Atenció! Una d’aquestes equacions representa un punt, i una altra, tot l’espai; n’hi ha una que té dos paràmetres, però actuen com si només n’hi hagués un, i, finalment, n’hi ha una que no està expressada amb equacions lineals, però que es pot reescriure utilitzant-les.
a) z = 4 → z sempre val 4. x i y poden agafar qualsevol valor.
X
Z
Y
Matemàtiques II
i) .
x y z
x y z
sempre val. sempre val 4. sempre val
És un punt.
X
Z
P
Y
j) ot agafar qualsevol ot agafar qualsevol.
l ot agafar qualsevol μ p
x y z
x y z
p valor. p valor. p valor
Representa tot l'espai.
k) x + y + z = 1. És un pla.
Calculem les interseccions amb els eixos:
Eix X :
y z
Eix Y :
x z
Eix Z :
x y
* → z = 1 → (0, 0, 1)
X
Z
Y
l) ≤
coordenad s
u amb les e per sota d'aquest
x y z 8
x y z
Descri la regió limitada pel pla anterior, . ≥ ≥ ≥
Z
[
\
]
]
]
]
]]
Les tres variables han de ser positives.
Representa la regió compresa entre la part positiva dels plans XY , YZ , XZ i el pla x + y + z = 1. X
Z
Y
m) De l'equació x^2 = z^2 , obtenim dos possibles plans:
x = z x = – z
Y
Z
X
n) La variable y pot agafar qualsevol valor, mentre que x i z són fixes: és una recta paral·lela a l'eix Y.
Y
Z
X
Matemàtiques II
Exercicis i problemes resolts
Pàgina 160
1. Equacions paramètriques a partir de les implícites
Fes-ho tu. Escriu les equacions paramètriques de la recta determinada pels plans:
x y z x y z
Resolem el sistema:
8 l , l , l
x y z x y z x^ y^ z
– –^ –
+ + = =^ =^ +^ =
Equacions paramètriques:
l
l l
x
y z
2. Equació d'una recta que talla perpendicularment una altra
Fes-ho tu. Donada la recta r :
l l
x y z
Determina:
a) L'equació del pla π que passa per P i és perpendicular a r****.
b) L'equació de la recta que passa per P i talla perpendicularment r****.
a) Vector normal de π: n (^) π = (–2, 1, 0)
π: –2 x + y + k = 0 Passa per P (5, 5, 1) → les coordenades de P verifiquen l'equació → –10 x + 5 + k = 0 → k = 5 π: –2 x + y + 5 = 0
b) s està continguda en π pel fet de ser perpendicular a r. Busquem la recta que passa per P i per r ∩ π:
Calculem Q = r ∩ π:
–2(–1 – 2λ) + (3 + λ) + 5 = 0 → λ = – Q = (3, 1, –5)
PQ = (–2, – 4, – 6) = –2(1, 2, 3)
s :
l l l
x y z
Matemàtiques II
5. Pla que conté una recta i és paral·lel a una altra
Fes-ho tu. Fixa’t en les rectes:
r : x^ y z 2
– –^2
= = s : x^ y z 3
+ –^1
Estudia’n la posició relativa i obtén, si és possible, un pla paral·lel a s que contingui r****.
a) ran ( d (^) r , ds ) = ran
e o = 2 → r i s tenen direcció diferent.
Per tant, r i s es tallen o s’encreuen. Pr (1, 2, 0) ∈ r i Ps (–1, 1, 0) ∈ s → P Pr s = (–2, –1, 0)
ran ( d (^) r , d (^) s , RS ) = ran
f p = 3^ →^ no coplanaris^ →^ r^ i^ s^ s’encreuen.
b) π té com a vectors directors d (^) r i d (^) s i passa per Pr (1, 2, 0) ∈ r.
π:
x 1 y z 2 3
= 0 → π: x + y – 5 z – 3 = 0
Pàgina 162
6. Equació d'un pla que conté dues rectes paral·leles
Fes-ho tu. Troba l'equació del pla que conté la recta r :
x y z x z
i és paral·lel a s : x^ y (^) z 2
π té com a vectors directors els de les dues rectes i passa per un punt de r.
d (^) r = (1, –1, –4) × (1, 0, –2) = (2, – 2, 1) d (^) s = (2, 1, 0)
Punt de r : Pr = (–1, 0, 0)
π:
x y z
= 0 → π: – x + 2 y + 6 z – 2 = 0
7. Posició relativa de dues rectes en funció d'un paràmetre
Fes-ho tu. Estudia la posició relativa de les rectes següents segons els valors de m :
r : x m
y (^) z 1
= = – s :
l l l
x y z
d (^) r = (1, m , –1), Pr = (2, 1, 4) d (^) s = (2, –2, –2), Ps = (1, –2, 0)
ran ( d (^) r , ds ) = ran
1 m 2 2
e o
Matemàtiques II
- Si m = –1 → ran ( d (^) r , ds ) = 1 → r // s
Substituïm Ps en l'equació de r :
≠ ≠ 1
Per tant, no són coincidents.
- Si m ≠ –1 → ran ( d (^) r , ds ) = 2
P Pr s = (1, –2, 0) – (2, 1, 4) = (–1, –3, – 4) 1 m 2 1
= 10 m + 10
que és diferent de 0 per a m ≠ –1 → ran
1 m 2 1
f p = 3^ →^ les rectes^ s’encreuen.
Pàgina 163
8. Determinació d'un pla
Fes-ho tu. Troba l'equació del pla que conté la recta r :
x t y t z
- i talla el pla^ π : 2 x^ –^ y^ –^ z^ = 3
en una recta paral·lela al pla y = 0.
α té com a vectors directors el de r : d (^) r = (2, 1, 0) i el vector perpendicular als vectors normals a π i al pla y = 0.
n = (2, –1, –1) i n' = (0, 1, 0) n (^) a = n Òn'= (2, –1, –1) × (0, 1, 0) = (1, 0, 2)
α passa per Pr = (0, 0, –1)
α:
x y z
= 0 → α: 2 x – 4 y – z – 1 = 0
9. Posició de recta i pla
Fes-ho tu.
a) Estudia la posició relativa de la recta r :
x t y t z
- i el pla^ π :^ ax^ + 3 y^ –^ z^ = 0 segons els valors de^ a****.
b) Troba el punt de tall de r i π en el cas a = 1.
a) d (^) r = (2, 1, 0)
d (^) s = ( a , 3, –1) r pot ser paral·lela al pla, estar-hi continguda o tallar-lo.
(2, 1, 0) · ( a , 3, –1) = 2 a + 3 = 0 → a = – 2
Matemàtiques II
Exercicis i problemes guiats
Pàgina 165
1. Punts que divideixen un segment en tres parts iguals
Troba les coordenades dels punts que divideixen el segment AB en tres parts iguals, si A (5, –1, 6) i B (– 4, 4, 6).
a) P = ( x , y , z )
OP = OA + AP
AP AB ( , , ) ( , , ) , , 3
= = ` – – – j =d–^5 0 n
( x , y , z ) = (5, –1, 6) + 3 , , , , 3
d (^) – n (^) =d^2 6 n
b) Q =
d + d
n n
2. Recta continguda en un pla
Si r és la recta que passa pel punt P (1, –1, 1) i té com a vector director (1, 2, –2), hi ha algun valor de a per al qual la recta r està continguda en el pla π: 2x + 3y + 4z = a? En cas afirmatiu, troba el valor de a, i en cas negatiu, raona la resposta.
a) r :
l l l
x y z
b) Substituïm un punt qualsevol de la recta en el pla:
2(1 + λ) + 3(–1 + 2λ) + 4(1 – 2λ) = a → 3 = a Només es verifica l'equació del pla si a = 3.
3. Recta que talla una altra, passa per un punt i està continguda en un pla
Troba la recta r, que passa pel punt A (1, –1, 0), està continguda en el pla π : x + y = 0 i talla la recta s: x = y = z.
P = s ∩ π
Equacions paramètriques de s :
l l l
x y z
Substituïm un punt qualsevol de la recta en el pla:
λ + λ = 0 → λ = 0 → P = (0, 0, 0)
d (^) r = (1, –1, 0) – (0, 0, 0) = (1, –1, 0) = –(–1, 1, 0) → r :
l l
x y z 0
Matemàtiques II
4. Posició relativa de dues rectes
Si r és la recta que passa pel punt P (1, –1, –2) i és perpendicular al pla π : ax + 2y + 3z + 6 = 0 i s és la recta que passa per A (1, 0, 0) i B (–1, –3, – 4).
a) Calcula el valor de a perquè r i s es tallin.
b) Troba'n el punt de tall per a aquest a.
c) Quina seria la posició de les dues rectes per a un valor de a diferent de l'obtingut?
a) r :
d a P
r r
d ( , , ) ( , , ) ( , , ) P
AB
s –^1 –^3 –^4 –^ 1 0 0^ –^2 –^3 –^4 s =
r :
l l l
x a y z
x μ y z
APr = (1, –1, –2) – (1, 0, 0) = (0, –1, –2)
ran ( d (^) r , d (^) s , APr )= ran
a 2 0
f p →
a 2 0
= 2 a – 2
Si a = 1 → ran
a 2
f p = 2^ →^ les rectes es tallen.
b) a = 1
Punt de tall r ∩ s : l μ l μ l μ
4 →^ λ^ = 2,^ μ^ = –
Q = (3, 3, 4)
c) Si a ≠ 1 el sistema és incompatible; per tant, les rectes s’encreuen perquè ran ( d (^) r , ds ) > 1, ja que els vectors no són proporcionals independentment del valor de a.
5. Tall de recta i pla
Donats els punts A (1, 1, 1), B (1, 0, 0) i C (0, 2, 1), sigui r la recta que passa per A i B i π el pla que passa per C i és perpendicular a r. Troba el punt de tall de r i π.
a) r :
d P
r – r
r : l l
x y z
b) π: y + z + k = 0
Substituïm les coordenades de C en l'equació del pla: 2 + 1 + k = 0 → k = –3 → π: y + z – 3 = 0
c) P = r ∩ π
Substituïm un punt qualsevol de la recta en el pla: λ + λ – 3 = 0 → λ = 2
P = 1 , ,
d 3 n
Matemàtiques II
4 Troba els punts P i Q de manera que AQ = AB 5
(^3) i AP AQ 3 = 2 , si A (2, 0, 1) i B (7, 5, –4).
A (2, 0, 1) B (7, 5, – 4)
P Q
AB (5, 5, –5)
OQ OA AB
OP OA AP OA AQ
5 Troba el simètric del punt A (–2, 3, 0) respecte del punt M (1, –1, 2).
Sigui A' ( x , y , z ) el simètric de A respecte del punt M. Com que M és el punt mitjà del segment AA' , llavors:
x (^) , , y (^) z 2
e –^ + o (^) = (1, –1, 2)
x (^) 8 x ; 8 ; 8 y y z^ z 2
Per tant: A' (4, –5, 4).
6 Els punts A (1, 3, –1), B (2, 0, 2) i C (4, –1, –3) són vèrtexs consecutius d'un paral·lelogram. Troba el quart vèrtex, D , i el centre d'aquest paral·lelogram. Sigui D ( x , y , z ) l'altre vèrtex:
BA = CD 8 OD = OC + CD = OC + BA =
B A
M
C D Si M és el centre del paral·lelogram, és el punt mitjà de CA.
OM OC CM OC CA ( , , ) ( , , ) 2
d (^) – n (^) =d^5 1 – 2 n
Rectes
7 Troba les equacions paramètriques i implícites d'aquestes rectes:
a) Passa per A (–3, 2, 1) i B (–5/2, 3/2, 0). b) Passa per A (0, 1, –1) i és paral·lela a la recta que passa per B (1, 1, –1) i C (2, 0, 1).
a) Un vector director de la recta r és AB , , 2
d –^1 1 n.
Agafem el vector d ( , 1 – 1 2 , ) // AB.
- Equacions paramètriques: l l l
x y z
Matemàtiques II
- Equacions implícites: Sumant les equacions obtenim:
x y 8 x y x z x z
b) Un vector director de la recta s és BC (1, –1, 2).
- Equacions paramètriques: l l l
x y z
- Equacions implícites: Sumant les equacions obtenim: x y z y
8 Escriu les equacions implícites dels costats del triangle de vèrtexs A (1, 0, 1), B (–2, 0, 1) i C (0, 3, 1). Costat AB : AB = ( – 2 0 1 , , ) – ( ,1 0 1 , ) =( – 3 0 0, , )
x (^) 8 y (^) z y (^3) z
Costat AC : AC = ( ,0 3 1 , ) – ( ,1 0 1 , ) =( – 1 3 0, , )
x (^) 8 y (^) z x^ y (^1) z
– = = – –^ =–
Costat BC :
BC = ( ,0 3 1 , ) – –( 2 0 1, , ) =( ,2 3 0 , )
x (^) 8 y (^) z x^ y (^2) z
+ = = – +^ =
9 Comprova si hi ha alguna recta que passi pels punts P (3, 1, 0), Q (0, –5, 1) i R (6, –5, 1). ( , , ) ( , , )
PQ
PR
4 Les seves coordenades no són proporcionals. Per tant, els punts no són alineats.
10 Escriu les equacions paramètriques i les equacions implícites dels eixos de coordenades.
Paramètriques:
Eix OX →
x l y z
x y z
x y z
Implícites:
Eix OX →
y z
x z
x y
