Operaciones con números complejos, Apuntes de Matemáticas

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Matemáticas

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Unidad Tema

Conjuntos numéricos 33 33 Expresiones algebraicas 35 35, 38 Factorización Fracciones algebraicas 44

Potenciación de números reales 57, 60 56, 57 Radicación de números reales 63, 68 63 Racionalización 74

Números imaginarios 87 Conjunto de números complejos 88, 91 88, 92, 97

8 Proposiciones lógicas^153

Teoría de la demostración

10 Análisis de una variable cualitativa

MATEMÁTICAS 9

RECURSO ACTIVIDAD TIEMPO ESTIMADO

Utilice las preguntas de la sección Lo que sabes de la página 30, para verificar qué recuerdan los estudiantes sobre los aspectos generales de las operaciones con números reales.

15 minutos

Lea la cronología de los números reales de la página 31 y explíqueles que el desarrollo de los conjuntos numéricos se viene dando desde que la humanidad empezó a contar.

10 minutos

Pídales que solucionen la Evaluación diagnóstica de la página 30. Luego, dígales que la revisen y sin buscar en ningún libro intenten responderla. Propóngales que señalen con rojo las preguntas que definitivamente no pudieron responder. Proyecte las respuestas del solucionario y pídales que verifiquen qué ejercicios hicieron bien.

20 minutos

Utilice el esquema planteado en la ampliación: Números reales de la página 32 para recordarles la clasificación de los números racionales y las respectivas conversiones entre decimales y fracciones.

15 minutos

Vaya al enlace web planteado para la página 32 y muéstreles la Construcción del número de oro.

15 minutos

Explíqueles la contenencia que se presenta entre los conjuntos numéricos y lléveles a clase el recurso Conjuntos numéricos de la página 32. Pídales que se organicen en grupos y lo desarrollen.

30 minutos

R U T A

1

TEMA: Conjuntos numéricos TIEMPO ESTIMADO: 90 minutos LOGRO: Identifica comprensivamente, las características, las relaciones y las propiedades del conjunto de los números reales.

INDICADOR DE DESEMPEÑO: Identifica las relaciones de contenencia entre los conjuntos numéricos. Reconoce las diferencias que pertenecen a uno u otro conjunto numérico. Determina la pertenencia de un número a un conjunto numérico.

Rutas didácticas

RECURSOS:

Ampliación multimedia

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Evaluaciones

ÁREA GRADO VOLUMEN PERÍODO^ UNIDAD

Matemáticas

R U T A

2

RECURSO ACTIVIDAD TIEMPO ESTIMADO

Proyecte la actividad: Números reales propuesta para la página

33. Verifique que tienen clara la diferencia entre número racional y número irracional.

10 minutos

Lleve a clase el recurso Hoja de vida de Dedekind de la página

33. Lea la historia y haga una reflexión sobre los aportes de este personaje a la formación de los números reales.

10 minutos

Proyecte el enlace: Números reales de la página 32 y dígales que lean allí la parte relacionada con descomposición en factores primos. Pregúnteles sobre la forma de encontrar números primos a partir de la criba de Eratóstenes.

20 minutos

Organícelos en parejas y dígales que resuelvan la sección Afianzo competencias que está propuesta en la página 34. Revise constantemente el trabajo de cada pareja y resuelva las inquietudes que se puedan presentar. Explique los ejercicios 37 y 38 y haga énfasis en el uso del teorema de Pitágoras.

50 minutos.

Recurso imprimible

Enlace web

TEMA: Números racionales, números irracionales y números reales TIEMPO ESTIMADO: 90 minutos LOGRO: Identifica comprensivamente, las características, las relaciones y las propiedades del conjunto de los números reales.

INDICADORES DE DESEMPEÑO: Reconoce las propiedades que cumplen las operaciones dentro de los sistemas numéricos. Realiza operaciones entre distintos conjuntos numéricos.

RECURSOS:

Actividad

RECURSO ACTIVIDAD TIEMPO ESTIMADO

Explique a los estudiantes las expresiones propuestas en la página 38. Haga énfasis en que ellas son identidades algebraicas pues se verifican para todos los números reales. Dígales que lean con atención el cuadro propuesto en la página y si es necesario que lo copien en una ficha bibliográfica para que siempre lo tengan a la mano. Explique los ejemplos propuestos.

30 minutos

Para repasar los productos notables planteados en la página 38, proyecte la actividad Igualdades notables. Puede hacer un concurso con ella y premiar al estudiante que complete primero la actividad.

15 minutos

Dígales que resuelvan el Afianzo competencias de la página 39. Cuando lo terminen pase al tablero a dos estudiantes y pídales que explique en qué forma resolvieron los ejercicios 105 y 106.

45 minutos

R U T A

4

TEMA: Productos y cocientes notables TIEMPO ESTIMADO: 90 minutos LOGRO: Halla con propiedad productos y cocientes de expresiones algebraicas, en forma abreviada.

INDICADORES DE DESEMPEÑO: Identifica productos y cocientes entre polinomios que se pueden resolver abreviadamente. Resuelve productos por simple inspección. Resuelve cocientes por simple inspección.

RECURSOS:

Actividad

R U T A

5

RECURSO ACTIVIDAD TIEMPO ESTIMADO

Explíqueles el significado de la palabra “factorizar” y recuérdeles paso a paso los 9 casos propuestos en la tabla de la página 18. Trabaje con ellos los ejemplos de las páginas 40 y 41y verifique que entendieron la forma de factorizar.

40 minutos

Pídales que lean la sección matemáticamente de la página

41. Luego solicite que intenten aplicar alguno de los casos de factorización vistos para simplificar la expresión allí propuesta. Luego, que escriban un párrafo que justifique su respuesta.

10 minutos

Lleva a clase el recurso Factorización de la página 40, imprima el número de copias para su grupo. Organice a los estudiantes en grupos de cuatro, entregue a cada grupo una copia del imprime y pida que lo resuelvan. Plantee las dudas generales en el tablero y aclárelas.

40 minutos

TEMA: Factorización RECURSOS: TIEMPO ESTIMADO: 90 minutos LOGRO: Comprende los procesos de factorización y los aplica correctamente en la simplificación de expresiones algebraicas.

INDICADORES DE DESEMPEÑO: Identifica las características que debe cumplir una expresión para ser factorizada por los casos vistos. Factoriza correctamente una expresión y la expresa como el producto de varios factores primos.

Recurso imprimible

RECURSO ACTIVIDAD TIEMPO ESTIMADO

Aplique la sección lo que sabes como evaluación para la página 54 y verifique qué tanto recuerdan las propiedades básicas de la potenciación y la radicación aprendidas en años anteriores. Cuando hayan terminado proyecte las respuestas y pídales que verifiquen cuántas respuestas fueron correctas. Utilice este recurso como diagnóstico del nivel del grupo. Proponga actividades de refuerzo en los temas específicos en los que presenten deficiencias.

45 minutos

Analice la Cronología de la potenciación y la radicación propuesta para la página 55. Pida a los estudiantes que como tarea investiguen en Internet las biografías de los matemáticos mencionados.

15 minutos

Como introducción al tema imprima la Hoja de vida Srinivasa Aaiyangar Ramanujan de la página 56. Pida a un estudiante que la lea en voz alta y resalte los aportes de este matemático al tema.

15 minutos

Explique el concepto de Potenciación de números reales. Luego, explique los ejemplos de la página 56. Resuelva a los estudiantes las dudas que se les presenten.

15 minutos

R U T A

7

TEMA: Potenciación de números reales TIEMPO ESTIMADO: 90 minutos LOGRO: Identifica comprensivamente, la potenciación como una operación.

INDICADOR DE DESEMPEÑO: Halla potencias de números reales. Realiza operaciones que involucran potencias.

Rutas didácticas

RECURSOS:

Recurso imprimible

Evaluaciones

ÁREA GRADO VOLUMEN PERÍODO^ UNIDAD

Matemáticas

Biblioteca del profesor

R U T A

8

RECURSO ACTIVIDAD TIEMPO ESTIMADO

Recuerde las propiedades de la potenciación, explíqueles los ejemplos propuestos en el libro en las páginas 57 y 58. Haga énfasis en que las propiedades se aplican con el fin de simplificar expresiones y eliminar exponentes negativos de las mismas.

30 minutos

Como refuerzo de su explicación proyecte la ampliación Resolver operaciones con potencias sugerida en la página 57. Resuelva dudas de los estudiantes.

10 minutos

Proyecte el recurso Operaciones con potencias de la página

56. Pídales que cuando finalicen presionen la tecla corregir para revisar las respuestas.

20 minutos

Dígales que se organicen en cinco grupos y asígnele a cada grupo un conjunto de ejercicios de los propuestos en la sección Afianzo competencias de la página 59. Pídales que los resuelvan y que al finalizar la clase intercambien sus cuadernos y revisen todas las soluciones. De esta manera, podrá propiciar un ambiente distinto de trabajo en grupo y de intercambio de ideas.

30 minutos

TEMA: Potenciación de números reales TIEMPO ESTIMADO: 90 minutos LOGRO: Identifica comprensivamente, la potenciación como una operación.

INDICADORES DE DESEMPEÑO: Aplica las propiedades de la potenciación en la simplificación de expresiones algebraicas.

RECURSOS:

Actividad

Ampliación multimedia

RECURSO ACTIVIDAD TIEMPO ESTIMADO

A partir de la explicación propuesta en la página 63 recuérdeles la relación entre las potencias y las raíces; si es posible, plantee un ejemplo numérico que deje clara esta relación. Recuérdeles las condiciones para las raíces teniendo en cuenta las partes de la radicación.

20 minutos

Como refuerzo proyecte el recurso Valor numérico de un radical indicado para la página 63. Haga énfasis en la forma de realizar los cálculos teniendo en cuenta las potencias.

10 minutos

Explique los ejemplos de la página 63 recuerde que los exponentes fraccionarios siempre resultan ser radicales, con lo cual para estos exponentes se pueden usar las propiedades de la potenciación vistas en el tema anterior.

10 minutos

Pídales que lean las explicaciones propuestas en la ampliación Potencias y radicales de la página 63. Si es posible, dígales que se conecten a Internet y den una lectura rápida de los links propuestos.

20 minutos

Aproveche los ejemplos propuestos en la página 57 para retomar las propiedades de la potenciación y explicar las respectivas propiedades de la radicación propuestas en la página 64. Pídales que lean minuciosamente el cuadro planteado en esta página.

30 minutos

R U T A 1 0

RECURSOS:

(^) Ampliaciones multimedia

TEMA: Radicación de números reales TIEMPO ESTIMADO: 90 minutos LOGRO: Identifica claramente la radicación como una operación inversa a la potenciación.

INDICADORES DE DESEMPEÑO: Calcula la raíz de un número real. Aplica las propiedades de la radicación para simplificar expresiones algebraicas. Realiza operaciones que involucran radicales.

Actividad

RECURSO ACTIVIDAD TIEMPO ESTIMADO

Pídales que, como repaso de la clase anterior, entren a la página web propuesta para la página 64: Propiedades de la radicación de números reales. Allí encontrarán un corto resumen de lo que usted explicó anteriormente.

10 minutos

Como explicación inicial pídales que revisen la ampliación Simplificar radicales propuesta para la página 64. Después de observar la explicación, pídales que reconstruyan los ejercicios para verificar que entendieron el procedimiento.

15 minutos

Explíqueles el proceso utilizado para simplificar radicales, retome los ejemplos de la página 65 del libro y explique paso a paso las justificaciones que están dadas en color rojo.

20 minutos

Pídales que se organicen por parejas y propóngales que resuelvan los ejercicios de la sección Afianzo competencias de las páginas 66 y 67 Observe los diferentes desarrollos y solucione las dudas que se puedan presentar.

45 minutos

R U T A 1 1 TEMA: Simplificación de expresiones con radicales TIEMPO ESTIMADO: 90 minutos LOGRO: Identifica claramente la radicación como una operación inversa a la potenciación.

INDICADOR DE DESEMPEÑO: Aplica las propiedades de la radicación para simplificar expresiones algebraicas.

Ampliación multimedia

Enlace web

RECURSOS:

R U T A 1 3

RECURSO ACTIVIDAD TIEMPO ESTIMADO

Trabaje la Multiplicación de radicales, para ello explíqueles que para multiplicar radicales deben tener en cuenta que los índices sean iguales. Por esta razón, dicha operación se puede plantear en dos casos: radicales con igual índice y radicales con diferente índice. Utilice los ejemplos de las páginas 70 y 71 para mostrar esta diferencia. Para el segundo ejemplo de la página 48 haga énfasis en que este estilo de ejercicios es una aplicación geométrica puesta en el plano algebraico.

20 minutos

Pídales que resuelvan los ejercicios de la sección Afianzo competencias de la página 72. Organícelos en parejas y dígales que uno de los integrantes de dicha pareja deberá resolver los numerales pares el otro los numerales impares. Durante la actividad, revise y corrija dudas de los estudiantes. Finalmente, entregue impresas las soluciones de los ejercicios que puedan encontrar en el solucionario y pida que revisen aciertos y errores.

30 minutos

Explíqueles la división de radicales. Lea si es necesario el concepto de la página 73. 5 minutos

Dígales que lean los ejemplos propuestos en la página 73 y luego, solucionen la sección Afianzo competencias planteada allí mismo.

30 minutos

TEMA: Multiplicación y división de radicales RECURSOS: TIEMPO ESTIMADO: 90 minutos LOGRO: Identifica claramente la radicación como una operación inversa a la potenciación.

INDICADORES DE DESEMPEÑO: Aplica las propiedades de la radicación para simplificar expresiones algebraicas. Realiza que involucran radicales

Biblioteca del profesor

Enlace web

R U T A 1 4 TEMA: Racionalización TIEMPO ESTIMADO: 90 minutos LOGRO: Racionaliza expresiones algebraicas fraccionarias de manera ordenada.

INDICADORES DE DESEMPEÑO: Encuentra el factor racionalizante. Escribe el conjugado de una expresión. Racionaliza denominadores de fracciones algebraicas.

RECURSO ACTIVIDAD TIEMPO ESTIMADO

Explíqueles el objetivo y concepto de la racionalización. Utilice el ejemplo de la página 74 para mostrar el procedimiento de racionalización de denominadores monomios y búsqueda del factor radical de una expresión.

15 minutos

Proyecte la actividad Racionalizar una expresión propuesta para la página 74. Cuando terminen pídales que verifiquen sus respuestas.

10 minutos

Explique la forma en que se racionaliza cuando la expresión es un binomio. Para ello, pídales que lean detenidamente el ejemplo planteado en la página 75. Haga énfasis en que las explicaciones en color rojo son las justificaciones de cada proceso de desarrollo.

20 minutos

Dígales que vayan al enlace Racionalización con tres términos en el denominador propuesto para la página 75. Pídales que escuchen la explicación y luego, intenten reconstruir solos el procedimiento.

20 minutos

Para finalizar el tema pídales que resuelvan en grupo los ejercicios de la sección Afianzo competencias propuesta en la página 77.

25 minutos

RECURSOS:

Actividad

R U T A 1 6

RECURSO ACTIVIDAD TIEMPO ESTIMADO

Explique el porqué de la creación de un nuevo conjunto numérico y plantee la unidad imaginaria como la base para escribir los números de dicho conjunto. Realice la lectura de los usos de los números imaginarios y los ejemplos de la página 86.

20 minutos

Lleve a la clase el recurso Hoja de vida de Leonard Euler propuesto para la página 86. Lea la biografía de este personaje y analice con ellos sus aportes a la formación del conjunto de los números complejos.

10 minutos

Pídales que lean el recurso Números imaginarios propuesto para la página 87. Luego, pregúnteles qué entendieron de la explicación allí planteada. Aproveche la lectura para explicar el concepto de potencias de i.

20 minutos

Proyecte el recurso Potencias de i de la página 87. Indíqueles que al finalizar presionen en el ícono comprobar y verifiquen sus respuestas.

10 minutos.

Para reforzar el trabajo organícelos en parejas y dígales que solucionen los ejercicios de la sección Afianzo competencias de la página 87. Corrija luego, los errores y dudas de los estudiantes.

30 minutos

TEMA: Números imaginarios TIEMPO ESTIMADO: 90 minutos LOGRO: Comprende las características y propiedades del conjunto de los números complejos y las aplica correctamente. INDICADORES DE DESEMPEÑO: Identifica expresiones que corresponden a números imaginarios. Escribe radicales como números imaginarios puros. Calcula potencias de i. Representa números complejos en su forma binomial o cartesiana.

Rutas didácticas

RECURSOS:

Recurso imprimible

ÁREA GRADO VOLUMEN PERÍODO UNIDAD

Matemáticas

Actividad

R U T A 1 7 TEMA: Conjunto de los números complejos RECURSOS: RECURSOS: TIEMPO ESTIMADO: 90 minutos LOGRO: Comprende las características y propiedades del conjunto de los números complejos y las aplica correctamente.

INDICADORES DE DESEMPEÑO: Representa números complejos en su forma binomial o cartesiana. Halla el conjugado de un número complejo. Determina la norma de un número complejo.

Recurso imprimible

Ampliaciones multimedia

Enlace web

RECURSO ACTIVIDAD TIEMPO ESTIMADO

Para iniciar la clase lea a los estudiantes la Breve historia de los números complejos propuesto para la página 88. Pídales que resalten las ideas principales de la lectura.

10 minutos

Explique la forma en la que se construye el conjunto de los números complejos y utilice los ejemplos de las páginas 88 y 89 para explicar cómo se representan.

15 minutos

Pídales que completen los ejercicios del 1 al 4 del recurso imprimible Representación de números complejos propuesto para la página 88. Luego, dígales que intercambien sus cuadernos y corrijan ellos mismos la actividad.

20 minutos

Organícelos en grupos de a cuatro y pídales que resuelvan las actividades de la sección Afianzo competencias de la página 90. Permítales que seleccionen, según lo visto hasta el momento, los ejercicios que deben resolver.

30 minutos

Pida a un estudiante que lea en voz alta el contenido de la ampliación Grafica, conjugado, norma e inverso de un número complejo la correspondiente a la página 91. Luego, explique paso a paso la forma en la que se halla el conjugado de un número complejo.

15 minutos