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Capítulo 1: Problemas de Complejos: Demostraciones y Aplicaciones - Prof. Abalia, Apuntes de Enfermería

Universidad del País Vasco / Euskal Herriko UnibertsitateaEnfermería
Prof. Inmaculada Abalia

Este capítulo aborda diversos problemas relacionados con los números complejos, incluyendo demostraciones de propiedades básicas, aplicaciones de transformaciones geométricas y resolución de ecuaciones. El documento contiene problemas relacionados con la desigualdad triangular, el área del triángulo de cauchy, las propiedades de los números complejos, la existencia de raíces de números complejos y aplicaciones a circuitos eléctricos.

Tipo: Apuntes

2016/2017

Subido el 26/01/2017

rhhn4r3uhrn34ri
rhhn4r3uhrn34ri 🇪🇸

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Capítulo 1
Problemas de omplejos
1.1. Vetores
1. Demostrar que son iertas las siguientes armaiones:
a
)
|z1−z2| ≤ |z1|+|z2| ∀z1, z2∈C
b
)
|z1+z2| ≤ |z1|+|z2| ∀z1, z2∈C
(Desigualdad triangular)
¾ Cuándo se umple la igualdad?
2. Utilizando la fórmula de Herón
A=pp(p−a)(p−b)(p−c)
, alular el área del
triángulo uyos vérties son los ajos de los omplejos raíes de la euaión
z3−(5 + 2i)z2+ (3 + 9i)z+ (4 −4i) = 0
. (Nota:
i
es una de las raíes).
3. Indiar el signiado geométrio de las operaiones:
a
) Conjugado de un vetor.
b
) Opuesto de un vetor.
) Opuesto del onjugado de un vetor.
d
) Conjugado del opuesto de un vetor.
e
) Multipliaión de un omplejo por su onjugado.
1.2. Operaiones
4. Demostrar que en
C
se satisfaen las siguientes propiedades:
1
pf3
pf4

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¡Descarga Capítulo 1: Problemas de Complejos: Demostraciones y Aplicaciones - Prof. Abalia y más Apuntes en PDF de Enfermería solo en Docsity!

Capítulo 1

Problemas de omplejos

1.1. Ve tores

  1. Demostrar que son iertas las siguientes arma iones: a ) |z 1 − z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 | ∀z 1 , z 2 ∈ C b ) |z 1 + z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 | ∀z 1 , z 2 ∈ C (Desigualdad triangular) ¾ Cuándo se umple la igualdad?
  2. Utilizando la fórmula de Herón

( A = √p(p − a)(p − b)(p − c)

) , al ular el área del triángulo uyos vérti es son los ajos de los omplejos raí es de la e ua ión z^3 − (5 + 2i)z^2 + (3 + 9i)z + (4 − 4i) = 0. (Nota: i es una de las raí es).

  1. Indi ar el signi ado geométri o de las op era iones: a ) Conjugado de un ve tor. b ) Opuesto de un ve tor. ) Opuesto del onjugado de un ve tor. d ) Conjugado del opuesto de un ve tor. e ) Multipli a ión de un omplejo p or su onjugado.

1.2. Op era iones

  1. Demostrar que en C se satisfa en las siguientes propiedades: 1

2 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS DE COMPLEJOS

a ) e^0 = 1 b ) ez^6 = 0 ∀z ∈ C ) ez^1 · ez^2 = ez^1 +z^2 ∀z 1 , z 2 ∈ C d ) |ez^ | = eRe(z)^ ∀z ∈ C e ) ez^ = 1 ⇔ z = 2kπi k ∈ Z f ) ez^1 = ez^2 ⇔ z 1 − z 2 = 2kπi k ∈ Z

  1. ¾Qué ondi iones deb en de umplir los argumentos de dos números omplejos para que el pro du to de di hos números sea un número real?.
  2. ¾Qué ondi iones deb en de umplir los argumentos de dos números omplejos para que su o iente sea un número omplejo imaginario puro?.
  3. Dado a ∈ R, se onsidera el número omplejo z =^34 − −^2 3iai Determinar a para que se umpla, en ada aso, que a ) Sea un número imaginario puro b ) Sea un número real ) Esté sobre la bise triz del primer uadrante
  4. Cal ular el valor de a que umple: a ) a a^ + i− i es real b ) a a^ + i− i es imaginario puro
  5. Cal ular A y B siendo A = 1 + cos^2 nπ + cos^4 nπ + · · · + cos 2(n^ − n^ 1)π

B = sen^2 nπ + sen^4 nπ + · · · + sen 2(n^ − n^ 1)π

( Sugeren ia: A + Bi =

n∑− 1 k=

rk donde rk = √n 1 )

  1. Demostrar que ∀n ∈ N ∧ n ≥ 2 y ∀z ∈ C, la suma de las raí es enésimas de z es ero. ¾Qué puede de irse del pro du to de las raí es?
  2. De ir si son verdaderas o falsas las siguientes arma iones, razonando la respuesta: a ) |ez^ | = e|z|, ∀z ∈ C b ) ez^ = ez^ , ∀z ∈ C ) |z 1 − z 2 | es la distan ia que hay entre los ajos de los omplejos z 1 y z 2

Departamento de Matemáti a Apli ada E.U.P. San Sebastián

4 CAPÍTULO 1. PROBLEMAS DE COMPLEJOS

a ) Hallar el ángulo que forman los ve tores I y E (ángulo de desfase). b ) Para un valor jo de R, hallar la rela ión entre L y C para que I sea máxima ( ir uito resonante)

1.5. Fun iones ir ulares e hip erb óli as

  1. De ir si son verdaderas o falsas las siguientes arma iones, razonando la respuesta: a ) cos(z 1 + z 2 ) = cos z 1 · cos z 2 + sen z 1 · sen z 2 ∀z 1 ∈ C, z 2 ∈ C∗ b ) ch(z 1 + z 2 ) = ch z 1 · ch z 2 + sh z 1 · sh z 2 ∀z 1 ∈ C, z 2 ∈ C∗ ) ctg(iz) = i · cth z d ) sen(iz) = i · sh z e ) cos z =

√ (^1) − cos 2z 2

  1. Resolver las e ua iones y representar grá amente las solu iones, de las e ua iones : a ) sen z = 3 b ) sen(iz) + 2 i ch(z) = − 1 ) cotg z = 1 + i d ) sen z + cos z = 1

1.6. Lugares geométri os

  1. Identi ar, en ada aso, y representar geométri amente el lugar geométri o de los ajos de los omplejos z que veri an: a ) z = (^1) z b ) |z − 1 + i| < 2 ) Arg(z) = π 6 d ) z z = z z

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