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FUNCIÓN - ÁLGEBRA DE
FUNCIONES
Conserva celosamente tu derecho a
re exionar, porque incluso el hecho de
pensar erróneamente es
mejor que no pensar en absoluto.
hipatia de alejandría
LOGRO DE LA SESIÓN:
Al nalizar la sesión de aprendizaje, los estudiantes realizan operaciones aritmeticas con
funciones y reconoce la composición como una operación entre funciones
1.2. Operaciones con Funcio-
nes
- Suma de funciones:
(f + g) (x ) = f (x ) + g (x )
Dom(f + g) = Dom(f ) ∩ Dom(g)
- Diferencia de funciones:
(f − g) (x ) = f (x ) − g (x )
Dom(f − g) = Dom(f ) ∩ Dom(g)
- Multiplicación de funciones:
(f · g) (x ) = f (x ) · g (x )
Dom(f · g) = Dom(f ) ∩ Dom(g)
- División de Funciones: ( f g
(x ) =
f (x ) g(x ) Dom(f /g) = Dom(f ) ∩ Dom(g)-{x/g(x) = 0}
Ejemplo 1. Dadas las funciones f (x ) = x 2 + x ; x ≥ 0 y g(x ) = x − 3 ; x ∈ [− 2 ; 5 ]. Determine
f + g; f − g; f · g; f /g con sus respectivos do- minios
Solución. :
1.3. Composición de Funciones
Dadas dos funciones f y g, tales que
f : A −→ B ; g : B −→ C y que Rf ∩ Dg 6 = φ
entonces la función compuesta g ◦ f es aque-
lla función de nida por:
Dg◦f = {x /x ∈ Df ∧ f (x ) ∈ Dg }
(g ◦ f ) (x ) = g (f (x )) es la regla de co- rrespondencia
Ejemplo 2. Dadas las funciones f (x ) = 3x − 1 ;
x ∈ 〈 1 , 10 〉 y g(x ) = 2x 2 ; 1 < x < 7.. Deter-
mine f ◦ g; con sus respectivos dominios
Solución. :
- Hallar el dominio de f (x ) =
1 − |x + 2 |
Solución. :
R: Df = [− 3 ; − 1 ]
- Dadas las funciones f (x ) = 2x 2 + x + 6 ;
− 3 ≤ x ≤ 8 y g(x ) = 4x − 8 ; x ∈ [ 2 ; 20 ]. Determine g ◦ f ; con sus respectivos do-
minios
Solución. :
R:
[ − 1 −
√ 113 4 ;^
−1+
√ 113 4
] (g ◦ f )(x) = 8x^2 + 4x + 6
- Dadas las funciones f (x ) = xx^ +−^11 ; y
g(x ) = xx^ −−^34. Determine f ◦ g; g ◦ f ; con
sus respectivos dominios
Solución. :
R: (f ◦ g) (x) = 2x−7; Df ◦g = R − { 4 };
(g ◦ f )(x ) =
2x − 4 3x − 5 Dg◦f^ =^ R^ −^
MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 1
TAREA DOMICILIARIA
- Dadas las funciones f (x ) = 2x 2 + x + 6 ; − 3 ≤ x ≤ 8 y g(x ) = 4x − 8 ; x ∈ [ 2 ; 20 ]. Deter-
mine f + g; f − g; f · g; f /g con sus respectivos dominios.
- Dadas las funciones f (x ) = (^) x +x 4 ; y g(x ) = (^) x −^15. Determine f ◦ g; g ◦ f ; con sus respectivos
dominios
- Si f (x ) =
x^2 + 4 si x < 0 3 x si 0 ≤ x < 6
y g(x ) =
x^2 − 5 x si − 4 < x < 4 x + 4 si x ≥ 4
. calcular f − g
y determine su dominio y rango
- Hallar el dominio de f (x ) =
3x 2 − 4 6x 2 −11x − 10 +
x 2 +4x x − 1
- Dadas las funciones f (x ) = (^) x 1 + 2 ; y g(x ) = x^ +x 3. Determine f ◦ g; g ◦ f ; con sus respectivos dominios
- Dadas las funciones f (x ) =
x − 2 ; y g(x ) =
1 x. Determine^ f^ ◦^ g;^ g^ ◦^ f^ ; con sus respectivos dominios
- Dadas las funciones f (x ) = x + 6 ; x ≤ 4 y g(x ) = x − 2 ; x ∈ [− 3 ; 14 ]. Determine f + g;
f − g; f · g; f /g con sus respectivos dominios
- Dadas las funciones f (x ) = 4x + 1 ; y g(x ) = x 2 + 3 ; x > 0. Determine f ◦ g; g ◦ f ; con sus
respectivos dominios
- Determine el dominio, rango y gra car la función. f (x ) = x 2 + |x | − x + 1
- Determine el dominio, rango y gra car la función. f (x ) = |x − 2 | + |x + 1 |
- Determine el dominio, rango y gra car la función. f (x ) =
5 − |x − 3 |
Respuestas:
1: Df +g = Df −g = Df ·g = [ 2 ; 8 ]; Df /g = 〈 2 , 8 ] (f + g)(x) = 2x^2 + 5x − 2 (f − g)(x) =
2 x^2 − 3 x + 14 (f ∗ g)(x) = 8x^3 − 12 x^2 + 16x − 48 (f /g)(x) = (2x^2 + x + 6)/(4x − 8)
2: (f ◦ g) (x) = (^4) x−^119 ; Df ◦g = R −
19 4 ;^5
; (g ◦ f )(x ) =
x + 4 − 4 (x + 5 ) Dg◦f^ =^ R^ − {−^5 ;^ −^4 }
3: (f − g)(x ) =
5 x + 4 si x ∈ 〈−4; 0〉
−x^2 + 8x si x ∈ [0; 4〉
2 x − 4 si x ∈ [4; 6〉
4: Df =
[
]
5: (f ◦ g) (x) = (^3) xx+3 ; Df ◦g = R − {− 1 ; 0 }; (g ◦ f )(x ) = 3x + 7 Dg◦f = R − {− 2 }
6: (f ◦ g) (x) =
1 − 2 x x ;^ Df^ ◦g^ =^
1 2
]
; (g ◦ f )(x ) = √^1 x − 2
Dg◦f = 〈 2 ; +∞〉
7:Df +g = Df −g = Df ·g = [− 3 ; 4 ]; Df /g = [− 3 ; 4 ] − { 2 } (f + g)(x) = 2x + 4 (f − g)(x) = 8 (f ∗ g)(x) = x^2 + 4x − 12 (f /g)(x) = (x + 6)/(x − 2)
8: (f ◦ g)(x ) = 4x 2 + 13 ; Df ◦g = 〈 0 ; +∞〉; (g ◦ f )(x ) = (4x + 1 )^2 + 3 ; Dg◦f =
9:Df = R; Rf = [1; +∞〉
10:Df = R; Rf = [3; +∞〉
11:Df = [− 2 ; 8 ]; Rf =
[
]
