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TEMA: SEGMENTOS Y RECTAS
INTRODUCCIÓN
Antiguamente la distribución de los terrenos o la tarea de dar la forma a los
bloques de piedra para la construcción de templos o pirámides exigieron a los
egipcios el trazado de líneas rectas, ángulos; y en consecuencia tuvieron la necesidad
de trabajar con sus respectivas medidas.
Actualmente con las medidas de las líneas y de los ángulos se sigue trabajando
como por ejemplo: los topógrafos al realizar levantamientos topográficos utilizan un
instrumento para medir ángulos (teodolito); así mismo realizan el trazado de líneas
y trabajan con su medida.
GEOMETRÍA
Es una rama de las matemáticas que tiene por objetivo estudias a las figuras
geométricas propiedades y características independientemente de su tamaño.
FIGURA GEOMÉTRICA
Conjunto de puntos que adoptan una forma.
ETIMOLOGÍA
La palabra geometría, proviene de dos vocablos griegos:
Geo : tierra
Metrón : medida
Lo que hace entender el significado de la palabra geometría (medida de la
tierra).
Ahora la geometría se ha desarrollado como ciencia y su aplicación se amplía a
diversos campos como por ejemplo; en la ingeniería, la astronomía e incluso en
algunas actividades técnicas.
PARTES DE LA GEOMETRÍA
La geometría para un mejor estudio de las figuras geométricas se divide en dos
partes:
Geometría Plana (Planimetría)
Estudia a las figuras geométricas cuyos elementos están contenidos en un
mismo plano.
Geometría del Espacio (Estereometría)
Estudia las figuras geométricas cuyos elementos están contenidos en
diferentes planos.
ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE LA GEOMETRÍA
Estos elementos no tienen definición, de ellos solamente tenemos una idea.
Punto Recta Plano
Notación
Punto A
Notación
Recta L
Notación
Plano H
Rayo
Porción de recta que se determina al ubicar un punto en ella.
Notación:
Rayo OA:
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. B es punto medio
de AC y CD=2BC. Si AD=40, calcule AB.
A) 20 B) 10 C) 5 D) 30 E) 25
2. Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D además B es
punto medio de AD. Si AD=30 y CD=12, calcule BC.
A) 1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 2
3. De una línea recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D, de modo que
AD=30, AC=14 y BD=20. Calcule BC.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
4. Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y E. Si DE=2(AB),
BC=CD y AC=13, calcule BE.
A) 12 B) 26 C) 18 D) 20 E) 24
5. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "A", "B", "C" y "D". Se cumple:
AB=3; AC=5; 4AB–BD–2CD=4, calcule AD
A) 3 B) 5 C) 7
D) 9 E) 11
6. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos "A", "B", "C" y "D". Si AC + BD =
20, calcule "AD+BC"
A) 10 B) 15 C) 20
D) 25 E) 30
7. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D" tal que: AB + CD = 13 y BM –
MC = 1. Calcule "CD". Además "M" es punto medio de AD.
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9
TEMA: ÁNGULOS
ÁNGULO
Es la figura geométrica formada por dos rayos que tienen el mismo origen
Notación:
Ángulo A0B : ∢A0B
Medida del ∢A0B : m∢A0B
. m∢A0B = .
CLASIFICACIÓN
Según su Medida
1. Ángulo Nulo
Es aquel cuya medida es 0º
2. Ángulo Agudo
Es aquel cuya medida es mayor que 0º y menor que 90º.
3. Ángulo Recto
Es aquel cuya medida es 90º.
. m∢A0B = 90º.
4. Ángulo Obtuso
Es aquel cuya medida es mayor que 90º y menor que 180º.
5. Ángulo Llano
Es aquel cuya medida es 180º
. m∢A0B = 180º.
Según la Posición de sus Lados
1. Ángulos Adyacentes
En la figura los ángulos: A0B y B0C son adyacentes
2. Ángulos Consecutivos
En la figura: los ángulos: A0B, B0C, C0D y D0E son consecutivos.
2. Ángulos Suplementarios
Son dos ángulos cuya suma de medidas es 180º.
Si los ángulos A0B y CPD son suplementarios, entonces:
Ángulos determinados por dos rectas paralelas y una recta secante a ellas.
1. Ángulos Alternos
Internos Externos
Si: //
Entonces:
Si: //
Entonces:
2. Ángulos Conjugados
Internos Externos
Si: //
Entonces:
Si: //
Entonces:
3. Ángulos Correspondientes
Si: //
Entonces:
Propiedad
Si: //
Entonces:
. x = + .
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Si: L 1 //L 2 : Hallar x
Solución
Por ser ángulos alternos internos
200 - x=x+
200 - 12=2x
188 =2x
94 = x
L 1
L 2
x+12°
200°-x
4. Si: L 1 //L 2 : Hallar x
Solución
Por ser ángulos conjugados internos: x+30+x=
2x+30=
2x=
x=
5. Si: L 1 //L 2 : Hallar x
L 1
L 2
x
X+30°
L 1
L 2
x
X+26°
PROBLEMAS PROPUESTOS I
1. En la figura, hallar “”
A) 12º B) 20º C) 10º
D) 15º E) 16º
2. En la figura, m∢A0D = 100º.
Hallar el valor de “x”
A) 15º B) 12º C) 10º
D) 15º E) 16º
3. En la figura mostrada
= 4x – 15º
= x – 5
A) 52º B) 42º C) 32º
D) 22º E) 12º
PROPUESTOS II
1. Si: // ; calcular “”
A) 10º B) 20º C) 30º
D) 40º E) 50º
2. // ; calcular “x”
A) 7º B) 8º C) 9º D)
E) 10º F) 11º
3. Calcular “x”; - = 20
A) 15º B) 20º C) 25º
D) 30º E) 35º
4. Calcular el ángulo “x”,
siendo: //.
A) 60º B) 53º C) 45º
D) 37º E) 30º
5. En la figura: // ,
calcular “”
A) 95º B) 85º C) 75º
D) 65º E) 45º
6. // ; calcular “x”
A) 20º B) 25º C) 30º
D) 35º E) 40º
DPTO. DE PUBLICACIONES
“Manuel
b
h h b d D h
l
B
m
b
- TRIÁNGULO 06. CUADRADO
2
A = l
2
d
A =
- TRIÁNGULO RECTANGULO 07. RECTANGULO
A = b. h
- T. FORMULA TRIGONOMETRICA 08. PARALELOGRAMO (Romboide)
A = b. h
- TEOREMA DE HERON 09. ROMBO
Donde:
p =
a + b + c
P: semiperimetro^2
D. d
A =
05 TRIÁNGULO EQUILATERO 10. TRAPECIO
A = m. h
Donde:
b B
m
b. h
A =
a. c
A =
A = p ( p − a )( p − b )( p − c )
b
h
c
a
b
a
b
a (^) C
1
1
d
2
a.bSen A
2 l A =
3
h^23 A =
