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12 COLUMNAS
Pither Ascencion Ortiz Albino
La selección de elementos estructurales se basa en tres características importantes:
resistencia, rigidez y estabilidad. En la presente se analizará los elementos
estructurales por estabilidad para lo cual las fuerzas internas actuantes deben
necesariamente estar en compresión axial ( Miembro relativamente largo,
cargado a compresión ), es decir, de elementos en compresión con área
transversal constante. Figura Nª 01, se trata pues de predecir la carga o el nivel
de esfuerzo al cual una columna se volverá inestable y se pandearía.
Figura Nº01 columna asilada en compresión y posibles secciones
CONCEPTOS PREVIOS
Se consideran tres estados de equilibrio de una columna cargada en compresión
axial, analizando los efectos que tiene sobre la misma aplicación de una carga
transversal unitaria y que produce una deformación lateral.
EQUILIBRIO ESTABLE. Se carga la columna y al retirar la carga axial la columna
regresa a su posición inicial. P< Pcr, donde (P= carga interna obtenida por equilibrio
y Pcr =pandeo critico).
EQUILIBRIO INDEFERENTE .- Se carga la columna y al retirar la carga axial la
columna permanece en la posición deformada. P=Pcr
EQUILIBRIO INESTABLE.- Se carga la columna y al retirar la carga axial la
columna continúa deformándose. P > Pcr.
TIPOS DE COLUMNA
COLUMNAS CORTAS.
Son aquellas que esencialmente fallan o fluyen por esfuerzo de compresión
o aplastamiento, no hay pandeo, podría representarse por la siguiente
formula P^ / A.
COLUMNAS INTERMEDIAS
Son aquellas que fallan o fluyen por inestabilidad en el intervalo inelástico
(falla por pandeo inelástico), podría representarse con las siguiente formula. P / A MC / I ; .donde P / A >> MC / I
COLUMNAS LARGAS
Son aquellos que esencialmente fallan por flexión en el intervalo elástico
(pandeo elástico).
P / A MC / I ;^ Donde MC / I >>P/A
RADIO DE GIRO(r)
Definida como, la medida del alejamiento promedio de la sección resistente del
centro de gravedad. Ejemplo dos secciones de la misma área, el de menor radio de
giro presentara menor rigidez torsional y también un peor comportamiento frente a
pandeo:
A
I
r
L Longitud real de la columna entre los puntos de apoyo o de restricción lateral.
K Factor de fijación de los extremos
Le KL Longitud efectiva, teniendo en cuenta la manera de fijar los extremos.
r Radio de giro mínimo de la sección transversal de la columna.
FACTOR DE FIJACION DE LOS EXTREMOS ( K )
El factor de fijación de los extremos mide el grado de limitación contra rotación,
traslación, deformación de cada extremo que a continuación se ve en la siguiente
figura:
Figura Nº0 3 Factor de fijación de extremos de columnas
LONGITUD EFECTIVA ( Le ).- La longitud efectiva es una combinación de la longitud
real con el factor de fijación de extremos; Le KL. En los problemas de este libro se
usan los valores prácticos recomendados del factor de fijación de extremos como
se muestra en la figura anterior. En resumen para calcular la longitud efectiva se
usara la siguiente relación:
1.- Columnas con extremos de pasadores o articulados Le KL ^1.^0 L
2.- Columnas con extremos fijos o empotrados Le KL ^0.^65 L
3.- Columna con extremo libre y el otro empotrado Le KL ^2.^1 L
4.- Columnas con pasador y el otro fijo o empotrado Le KL ^0.^80 L
RAZON DE ESBELTEZ DE TRANSICION Cc.
La pregunta sería en todo caso ahora ¿cómo se considera que una columna es
larga, intermedia o corta?, para poder establecer los límites crearon el denominado
razón de esbeltez de transición o de la constante de la Cc
y
c
S
E
C
2 2
Si la razón de esbeltez efectiva real r
Le es mayor que Cc , entonces la columna es
larga, y al analizar y diseñar la columna se debe usar la fórmula de Euler.
Si la razón real r
Le es menor que Cc , entonces la columna es corta o intermedia.
En este caso, se debe usar los reglamentos especiales o la fórmula del esfuerzo de
comprensión directo, como se verá en secciones posteriores.
FORMULA DE EULER PARA EL PANDEO DE COLUMNAS CON EXTREMOS
ARTICULADOS.
Para el caso de una columna cargado axialmente y en compresión cuyos extremos
pueden girar libremente sobre pasadores sin fricción. Estas columnas se llaman
columnas de extremos articulados o pasador. La forma de pandeo que se muestra
es posible solo a una carga crítica (o de Euler) pues antes de esta carga la columna
se conserva recta.
Columna con extremos de pasador-.
EI
P 2 (2)
2 2
2
v
dx
d v
Ecuación de la misma forma que la del movimiento armónico simple y su solución
es:
v (^) x Asen x B cos x (4)
Donde A y B son constantes arbitrarias que deben determinarse a partir de las
condiciones de frontera y representan las amplitudes del movimiento armónico
simple.
Evidentemente v ( x )^0 , satisfaría el problema con valor de frontera representado
por las formulas antes descritas. Esta solución es trivial representa simplemente el
cambio dimensional axial debido a fuerzas axiales de compresión. Lo que nos
interesa es encontrar el valor P que causaría la flexión, en pocas palabras, una
solución no trivial v^ ( x )^0 al problema con valor de frontera.
Para x ^0 ; la deflexión es igual a cero ^ ^
v 0 0 ;
v 0 Asen 0 B cos 0 (^0) , se concluye que Bx ( 1 ) (^0) ; B 0
Para x^ L ; la deflexión también es igual a cero v L ^0
v (^) L Asen L B cos L 0
Pero sabemos que B ^0
Por lo que
v (^) L Asen L 0
Consideramos ambas posibilidades.
Caso I.- Si A ^0 , la deflexión v también es cero ya que v^ ( L ) Asen^ L sería cero,
por lo que la columna permanece recta por consiguiente se considera solución
trivial.
Caso II.- sen^ L ^0 está dado por la siguiente ecuación conocida como ecuación de
pandeo (ecuación característica)
sen L 0 Se satisface cuando L 0 ,, 2 , 3 ......... n
Sin embargo como L ^0 en
EI
P 2
significa que P ^0 , esta solución no es de
interés, por tanto las soluciones que se considera son^ L^ ,^2 ,^3 ........ n
n / L
Figura Nº0 4 Valores que toma el seno
En consecuencia utilizando la definición anterior de EI
P 2 e igualando tenemos:
2
2 2
L
n
EI
P
Al despejar se obtiene la carga que origina el pandeo o curvatura de una columna,
o sea, la carga crítica es:
2
2 2
L
n EI
Pcr
Donde:
Figura Nº0 5 Formas de modo
Problema
Analizar un elemento de armadura de 2. 0 m de longitud, cuya fuerza interna en
función de F es 2F en compresión, por esfuerzo permisible y pandeo crítico además
calcular cual es el mayor valor de F que puede aplicarse el elemento de la
armadura, que tiene una sección circular tal como se muestra en la figura, para un
módulo de elasticidad de E 72 Gpa y un esfuerzo permisible de perm ^270 Mpa
DATOS
E 72 Gpa
perm 270 Mpa
I.- Considerando el elemento estructural como columna corta (Falla por material)
6 2 (^2 )
N m
F
Area
F
perm
F 381 , 704. 4 N
F 381 , 704. 4 N Constituye el mayor valor de F que no sobrepasara el esfuerzo
admisible del material y que puede soportar en condiciones de seguridad.
II.- Considerando AD con Pandeo
2
2
e
er L
EI
P
(^4 ) ( 0. 05 ( 0. 04 ) ) 2. 898 10 4
1 I m
N
E N m E m
Per 514 , 840. 45
2
2 9 6 4
2 F 514 , 840. 45 N
F 257 , 420. 23 N
El valor de la fuerza interna no podrá aumentar más aun valor mayor
F 257 , 420. 23 N , Ya que el elemento en compresión fallaría por inestabilidad
geométrica
CARGAS PERMISIBLES DE COLUMNAS, PANDEO ELASTICO.
Para columnas largas con carga axial de compresión, cuya razón de esbeltez es
mayor que el valor de transición Cc , se puede usar la fórmula de Euler antes
deducida, para predecir la carga critica. La fórmula es:
2
2
e
cr L
EI
P
Otra forma de expresar esta fórmula es función del momento de inercia, puesto que
r I / A 2 . Entonces la formula se transforma en:
Ejemplos:
1.- Para una columna circular con ambos extremos de pasador o articulado de hacer
material AISI 1020 laminado en caliente, cuyo diámetro es de 30mm y su altura 1200
mm, Cual es la carga máxima que el miembro puede soportar, para N ^3 , calcular
la carga admisible:
De la tabla del L Mott.
Sy 331 Mpa ,^207 207 /^2
9 E Gpa E N m
a) Para extremos articulados o pasador k ^1 , Le^ KL ^1.^0 ^1200 ^1200 mm
b) Radio de giro
mm
r r D
r
r
r I A 7. 5
2
2
4
c)^160
- 5
1200 mm
mm
r
Le
d)
6 2
2 2 9 2
n m
n m
Sy
E
cc
160 > 111. (^11) se aplica la fórmula de Euler.
e) Formula de Euler
2
2
Le / r
EA
Pcr
2 4 2
2
A mm x m
N KN
n m m
Pcr 56411. 23 56. 41
2
2 9 2 4 2
f) Carga Admisible
Pa 18. 80 KN 3
- 41
FORMULAS GENERALIZADAS DE LA CARGA CRITICA O DE PANDEO
Un diagrama típico esfuerzo deformación a la compresión para una probeta se
representa en la siguiente figura Nº 6.
De 0 a^ A el material se comporta elásticamente y en este tramo se aplica la formula
2
2
Le / r
E
cr
Que viene a ser la porción de la curva ST.
Mas halla de A tenemos la línea punteada es la región situada más allá del intervalo
útil, que se indica con la línea punteada.
Una columna con un Le^ /^ r S 1 será la columna de más corta longitud que se
pandeara elásticamente.
Una columna con un Le^ / r < S 1 no se pandeara en el límite de proporcionalidad del
material quizás ha alcanzado un punto B en el que se ha generado una columna
de material diferente por E que ahora es Et.
En el intervalo inelástico, en consecuencia el esfuerzo crítico será
2
2
Le / r
Et cr
^ .
Figura Nº0 6 Curvas Esfuerzo Deformación y Pandeo de una columna (fuente del google.com)
Las columnas que se pandean elásticamente se denominan a veces columnas
largas.
Las columnas con baja relación Le / r no presentan esencialmente fenómenos de
pandeo y reciben el nombre de columnas cortas.
Como ejemplo de fórmulas para diseño de columnas con carga nominalmente
concéntrica, se dan a continuación formulas representativas para acero
estructural, y aleaciones de aluminio Las fórmulas para columnas cargadas
concéntricamente se consideran en la siguiente sección. Para lo cual la formulas
se pueden escribir Como:
2
2
L e
EI
Pcr
2
2
L / r
EA
Pcr e
2
2
L / r
E
e
cr
Dónde:
cr Esfuerzo critico = A
Pcr y N
cr per
FORMULAS PARA COLUMNAS DE ACERO ESTRUCTURAL
El American Institute of Steel Construcin AISC (ejemplo A.36, A.53 o lamina A-
15 del libro del autor L. mott) recomienda el uso de las formulas apegadas al
modelo que se ilustra en la figura g). Como se fabrican aceros en diversas
resistencias a la fluencia o cedencia , las formulas se establecen en términos de
Sy (esfuerzo de fluencia), que varía para las distintas clases de aceros. El modulo
elástico “ E ”^ para todos los aceros es aproximadamente el mismo. La fórmula
de pandeo elástico de Euler está especificado para las columnas delgadas
comenzando con un valor de ^ Le / r ^1 Cc relativo a la esbeltez correspondiente
a un valor de 1 /^2 del esfuerzo de cedencia o fluencia Sy del acero. Para que se
cumpla esta hipótesis, de la ecuación / 1. 92
2
2
L r x
E
e
perm
^ , la relación de
esbeltez será Cc^ ^ Le /^ r ^1 2 E / Sy
2 ^ .
Utilizando esta ecuación con
3 E ^200 ^10 MPa, el esfuerzo admisible para
columnas que tengan una relación de esbeltez mayor que Cc será.
L r Mpa L r
e e
perm
6 2 2
(^23)
03 10 / / / 1. 92
1416 200 10
Donde Le es la longitud efectiva de la columna. Un factor de seguridad de 1.
correspondiente al pandeo, se ha incorporado en la ecuación anterior.
No se admite columnas cargados axialmente en compresión en las que
r
Le de 200.
No se admite columnas cargados axialmente en tracción en las que
r
Le 300
Para un r
Le menor que Cc , el AISC especifica una formula parabólica:
Mpa FS
L (^) e r Cc Sy perm
..
(^22)
Donde F:S: es el factor de seguridad, definido como
3
3
8
/
8
/ 3 3
5
.. c c
e C
Le r
C
L r F S
Es interesante observar que el Factor de Seguridad F.S. varia, siendo más
conservador para los valores de r
Le más altos. La ecuación escogida para F.S. es
aproximadamente la que corresponde a un cuarto de sinusoide con el valor de 1.
para ^0 r
Le , y el de 1.92 para Cc r
Le
Figura Nº
FORMULAS PARA COLUMNAS DE ALEACION DE ALUMINIO
Se dispone de un gran número de aleaciones de aluminio para aplicaciones de
ingeniería lamina A-17 del libro del autor Lmott. Las resistencias a la fluencia y ultima
4
I yy 1. 24 p lg
r min (^) 0. 592 p lg zz
Datos Pagina A-5 L.Mott
- 928 lg
- 44
rx ry p , por consiguiente las sección se pandeara respecto al eje
zz
, rzz 0. 592 p lg.
"
" r
Le 54 r
Le
Mpa Le r
perm^71.^00
- 16
2
3
2
3
. ksi
Mpa
ksi Mpa 10. 30
- 895
A
Pa
perm ; klb
p
klb Pa p 14. 83 lg
- 44 lg 10. 30 2
2
N
lb
N
Pa lb 65 , 963. 84 1
Pa Carga axial permisible
2.- Calcular la capacidad resistente del perfil W 12”x30 de acero estructural A. 36 si
tiene el extremo inferior empotrado y el superior articulado cuya longitud es 16.pies
Datos
Sy 36 ksi 248 Mpa
E 200 , 000 Mpa
W =12”x
2 A 8. 79 p lg
4 I (^) xx 238 p lg rx ^5.^20 p lg
4
I yy 20. 3 p lg ry 1. 52 p lg , La columna pandeara al menor valor de r, en este
caso ry 1. 52 p lg por que usara este valor.
Datos Pagina A-7 L. Mott
"
"
r
kl
- 17 248
2 3
x Cc
r
kl Pandeo inelástico
- 90 8 126. 17
3
3
3
3
Cc
Le r
Cc
Le r FS
Mpa FS
Le r Cc Sy perm^88.^27
- 90
(^2222)
ksi Mpa
ksi perm Mpa^12.^80
- 895
A
Pa perm , Pa^ ^ permxPa
8.79plg2 112.51klb lg 2
Pa 12. 80 x p
klb
Si L 20"^126.^32
KL 0. 8 20 " 12 lg
p
r
Cc
2 3
x >Cc
kl
r Pandeo elástico.
Mpa
r
Le
2
6
2
6
perm
Mpa 9. 36 ksi 6.895Mpa
1ksi
- 55
A
Pa
perm p klb
p
klb Pa 8. 79 lg 82. 27 lg
2 2
3.- Seleccionar la sección Wde acero estructural A36de una columna articulada
en los extremos, de 16” de longitud que soporta una carga de compresión de 2 74
klb
Datos
Sy 36ksi248Mpa
L 16' 192 p lg
K=1.
E 200 10.
3 Mpa
P = 274 klb (Carga interna calculada por equilibrio).
