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MATEMÁTICAS I
SEMINARIO N° 3
EJEMPLO 1. Graficar:
a) 𝑓
2 𝑥
b) 𝑔(𝑥) = 𝑒
−𝑥
c) M(x) = 3 𝑒
1 +𝑥
EJEMPLO 2. Graficar:
a) 𝑓(𝑥) = ln ( 𝑥)
b) 𝑔(𝑥) = ln(𝑥 − 1 )
c) ℎ
= ln 𝑥
2
EJEMPLO 3. Crecimiento de una población
Se ha estimado que después de 𝑡 años la población de cierto país será 𝑃
20
2 + 3 𝑒
− 0. 06 𝑡
millones.
a) ¿Cuál es la población actual?
b) ¿Cuál será la población dentro de 50 años?
c) ¿Qué le pasará a la población a largo plazo?
d) Trace la gráfica de 𝑃(𝑡)
EJEMPLO 4. Desintegración Radiactiva
Las sustancias radiactivas, como el uranio, se desintegran o decaen cierto porcentaje de su
masa en determinada unidad de tiempo. La forma más común de expresar esta rapidez de
decaimiento es dando el periodo o tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de la masa
inicial. A este periodo se le llama semivida o vida media de la sustancia.
Una de las sustancias radiactivas que más se conocen es el carbono 14 que se usa para
fechar objetos orgánicos. Cuando un objeto, como un trozo de madera o de hueso, forma
2026 - 1
UNIVERSIDAD PERUANA
CAYETANO HEREDIA
FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS EXACTAS
SECCIÓN FÍSICA, INFORMÁTICA Y MATEMÁTICAS
parte de un organismo vivo, acumulaba pequeñas cantidades de carbono 14 radiactivo. Una
vez muerto ya no sigue absorbiendo carbono 14.
EJEMPLO 5.
Si se mide la proporción de carbono 14 en el objeto, y se compara con la proporción en un
organismo vivo se puede estimar cuanto del carbono 14 original ha desaparecido. La vida
media del carbono 14 es 5730 años.
En general se puede demostrar que la cantidad de carbono 14 en un objeto es
0
−𝑘𝑡
siendo 𝑡 el tiempo transcurrido y 𝑄
0
la cantidad original.
Entonces 𝑡
1 / 2
el tiempo de vida media es
ln 2
𝑘
EJEMPLO 6.
Una pintura que se supone obra de Vermeer (1632-1675) contiene el 99.5% de su carbono-
14 original (vida media 5730 años). A partir de esta información diga si la pintura es una
falsificación. Explique sus razonamientos.
La chica con el arete de perla
EJEMPLO 7. Edad de una ballena
La edad 𝑇 (en años) de una ballena azul hembra se puede calcular aproximadamente a partir
de su longitud 𝐿 ( en pies)
Usando la fórmula 𝑇 = − 2. 57 𝑙𝑛 (
87 −𝐿
63
). Una ballena azul fue descubierta por un barco de
investigación y se estima que su longitud es de 80 pies. Aproximar su edad.
EJERCICIO 10. ¿Son iguales las funciones 𝑓(𝑥) = 2 ln 𝑥 𝑔(𝑥) = ln (𝑥
2
)? Justifique su
respuesta. Graficar las dos funciones y comparar con su razonamiento.
EJERCICIO 11. Dada 𝑓(𝑥) =
2
5 +𝑒
𝑥
a) Hallar el dominio
b) ¿Es esta función siempre creciente o decreciente?
c) Hallar la función inversa.
EJERCICIO 12. Una población crece de acuerdo con la ecuación 𝑃 = 𝑃 0
𝑘𝑡
(siendo 𝑃
0
y
𝑘 constantes). Determine la población en función del tiempo 𝑡, si crece a la tasa continua de
2% anual y comienza en 1 millón. Trace una gráfica de la población en función del tiempo.
EJERCICIO 13. El fechamiento o datación geológica de rocas se hace con potasio 40, no
con carbono 14, porque el potasio tiene una vida media más larga. El potasio decae a argón,
que permanece atrapado en las rocas y se puede medir, de ahí se puede calcular la cantidad
original de potasio. La visa media del potasio 40 es 1.28 x 10
9
año. Deduzca una fórmula
para 𝑃, la cantidad de potasio 40 remanente en función del tiempo en años, suponiendo una
cantidad inicial 𝑃
0
