series de funciones, Apuntes de Análisis Matemático

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UNIVERSIDAD DE SEVILLA

Series de funciones e integral

de Lebesgue

Luis Bernal Gonz´alez

Departamento de An´alisis Matem´atico

Lugar y A˜no: Sevilla, 2012

Disponible en: http://personal.us.es/lbernal/

• Pr´ologo
• 1. Series de n´umeros reales e integral de Riemann
  • 1.1. Series num´ericas
  • 1.2. Criterios de convergencia
  • 1.3. Series de t´erminos positivos y series alternadas
  • 1.4. Otros criterios de convergencia
  • 1.5. Concepto y propiedades de la integral de Riemann
  • 1.6. Condiciones de integrabilidad
  • 1.7. Integraci´on y antiderivaci´on
  • 1.8. Cambio de variables e integraci´on por partes
  • Ejercicios
• 2. Integrales impropias
  • 2.1. Integrales impropias de primera especie
  • 2.2. Integrales impropias de segunda especie
  • 2.3. Integrales mixtas
  • 2.4. Criterios de convergencia. Convergencia absoluta
  • 2.5. Criterios de convergencia para funciones positivas
  • Ejercicios
• 3. Sucesiones de funciones
  • 3.1. Convergencia puntual y convergencia uniforme
  • 3.2. Algebra de sucesiones uniformemente convergentes .´ 2 Luis Bernal Gonz´alez
  • 3.3. Convergencia uniforme, continuidad y derivabilidad
  • 3.4. Convergencia uniforme e integraci´on
  • Ejercicios
• 4. Series de funciones
  • 4.1. Definiciones: sumas puntual y uniforme
  • 4.2. Relaci´on con la continuidad, derivaci´on e integraci´on
  • 4.3. Criterios de convergencia uniforme
  • Ejercicios
• 5. Series de potencias
  • 5.1. Radio e intervalo de convergencia de una serie de potencias
  • 5.2. Continuidad, derivabilidad e integrabilidad de series de potencias
  • 5.3. Funciones anal´ıticas
  • Ejercicios
• 6. Medida de Lebesgue
  • 6.1. El problema de la medida
  • 6.2. Espacios medibles, espacios de medida y medida exterior
  • 6.3. Construcci´on de la medida de Lebesgue en R
  • 6.4. Conjuntos medibles Lebesgue
  • 6.5. El conjunto de Cantor
  • Ejercicios
• 7. Integral de Lebesgue
  • 7.1. Funciones simples
  • 7.2. Funciones medibles
  • 7.3. Integral de Lebesgue de funciones no negativas
  • 7.4. Propiedades de la integral de funciones no negativas
  • 7.5. Conjuntos de medida nula
  • ´INDICE GENERAL
    • 7.6. Integral de Lebesgue de funciones medibles
    • Ejercicios
  • 8. Teoremas de convergencia
    • 8.1. Teoremas de convergencia
    • 8.2. Relaci´on entre las integrales de Riemann y de Lebesgue
    • 8.3. El espacio L^1 (X)
    • 8.4. Subespacios densos de L^1 (R)
    • Ejercicios
  • 9. Integrales param´etricas
    • 9.1. Introducci´on
    • 9.2. Continuidad de integrales param´etricas
    • 9.3. Derivabilidad de integrales param´etricas
    • Ejercicios
  • 10. Series de Fourier
    • 10.1. Serie de Fourier y coeficientes de Fourier
    • 10.2. Desigualdades e igualdades con coeficientes de Fourier
    • 10.3. Convergencia puntual de la serie de Fourier
    • 10.4. Convergencia uniforme de la serie de Fourier
    • Ejercicios
  • Bibliograf´ıa
  • Lista de s´ımbolos y abreviaturas
• ´Indice alfab´etico

Pr´ologo

Estas notas han sido concebidas para servir de base al estudiante que pretenda introducirse en los rudimentos de la teor´ıa de sucesiones y series de funciones y en la teor´ıa de integraci´on de Lebesgue. Ambas teor´ıas proporcio- nan instrumentos de amplio uso en an´alisis matem´atico, en sus dos vertientes te´orica y aplicada.

El texto est´a dirigido, inicialmente, a los alumnos de la asignatura hom´oni- ma Series de funciones e integral de Lebesgue, que actualmente se imparte como asignatura obligatoria en el segundo curso del Grado en Matem´aticas de la Universidad de Sevilla. No obstante, conf´ıo en que su utilidad vaya m´as all´a y pueda ser usado como consulta tambi´en fuera del ´ambito espec´ıfico de la asignatura citada. Espero, asimismo, que estas notas sean tambi´en de provecho para el profesor que imparta los contenidos de las mismas.

Como prerrequisito para una lectura provechosa de esta obra, se presu- pone al lector una fuerte familiaridad con nociones y resultados b´asicos del c´alculo infinitesimal. Me refiero en especial a conocimientos sobre sucesiones y series de n´umeros reales, convergencia, funciones reales de variable real, topolog´ıa de la recta real, continuidad, derivabilidad e integral en el sentido de Riemann. Aunque no es indispensable, ser´ıa asimismo bienvenida cierta base de topolog´ıa general, ´algebra lineal y geometr´ıa anal´ıtica. No obstante, y con objeto de hacer estas notas lo m´as autocontenidas posible, se han in-

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corporado, como recordatorio para el lector, algunos conceptos y resultados adicionales.

El texto se ha dividido en diez cap´ıtulos o temas. En el Cap´ıtulo 1 se recapitulan, sin demostraci´on, los conceptos y resultados b´asicos sobre series num´ericas e integral de Riemann, conocidos por el estudiante de un curso elemental de c´alculo. Ser´an muy ´utiles para impartir la teor´ıa y resolver pro- blemas correspondientes a los temas posteriores. Aprovecho para decir que, en los restantes cap´ıtulos, a veces se enunciar´an sin demostraci´on resulta- dos adicionales que son interesantes para una ulterior profundizaci´on en la materia de que trata el texto.

Como extensi´on del concepto de integral de Riemann, se estudia la noci´on de integral impropia, en la que ya ni el intervalo de definici´on de la funci´on ni la funci´on misma a integrar tienen por qu´e ser acotados. Presentamos este tipo de integral en el Cap´ıtulo 2.

Una sucesi´on real no es m´as que una aplicaci´on del conjunto de los n´ume- ros naturales en la recta real. Pero a veces surgen sucesiones que dependen de una variable, que determina la posibilidad de un l´ımite que a su vez es una funci´on. Estas son las sucesiones de funciones, que se estudiar´an en el Cap´ıtulo 3. Cuando se consideran las sumas parciales de estas sucesiones, obtenemos series de funciones, consideradas en el Cap´ıtulo 4. En ambos ca- sos se establecer´an condiciones para la propagaci´on de las propiedades de los t´erminos a la funci´on l´ımite o suma.

En el Cap´ıtulo 5 se desarrolla el que quiz´a sea el ejemplo m´as importante de serie funcional, a saber, las series de potencias, las cuales dan lugar al concepto de funci´on anal´ıtica. Las propiedades operacionales de este tipo de series, la estructura del conjunto de puntos de convergencia y diversos criterios de analiticidad se estudiar´an en este cap´ıtulo.

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Para concluir, es de justicia expresar mi agradecimiento a los profesores Ma^ Angeles Jap´´ on Pineda y Rafael Villa Caro por proporcionarme material abundante y valioso, fruto de su experiencia docente. He utilizado frecuente- mente, con provecho, dicho material en la elaboraci´on de esta obra.

El autor

Cap´ıtulo 1

Series de n´umeros reales e

integral de Riemann

Efectuamos en este cap´ıtulo una recapitulaci´on de algunos conceptos y teoremas que el lector probablemente conoce de un curso elemental de c´alculo infinitesimal. En concreto, se refieren a las series de n´umeros reales y a la integral en el sentido de Riemann. Por tanto, no se dar´an las demostraciones. Nuestro objetivo es que los resultados que se recopilan se puedan usar con comodidad en el resto de esta obra, tanto en la parte te´orica como en la pr´actica.

1.1. Series num´ericas

Como es usual, denotaremos por N el conjunto { 1 , 2 ,... } de los enteros positivos o n´umeros naturales, y por R el cuerpo de los n´umeros reales. Consideremos una sucesi´on de n´umeros reales, es decir, una aplicaci´on φ : n ∈ N 7 → an ∈ R, representada como es habitual por a 1 , a 2 , ..., {an}∞ n=1 o bien simplemente {an} o (an). Se llama serie asociada o generada por {an} a la sucesi´on {Sn} de sumas parciales de aquella, es decir, Sn = ∑nk=1 ak =

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Teorema 1.1.2. Si ∑^ an = S y ∑^ bn = S′^ entonces, para cada par α, β ∈ R, la serie ∑^ αan + βbn converge y ∑^ αan + βbn = αS + βS′.

Anotamos que a veces la sucesi´on {an} que genera la serie ∑^ an no em- pieza su numeraci´on con el sub´ındice 1, sino con otro sub´ındice N ∈ N 0 := N ∪ { 0 }. En tal caso la serie se expresa como ∑∞ n=N an y su suma, caso de ser convergente, es por definici´on el l´ımn→∞(aN + aN +1 + · · · + an).

1.2. Criterios de convergencia

Vamos a recordar condiciones, necesarias y/o suficientes, de convergen- cia de series num´ericas. Comencemos con la condici´on necesaria m´as popular.

Teorema 1.2.1. Si la serie ∑^ an converge, entonces l´ımn→∞ an = 0.

Por ejemplo, las series ∑(−1)n√n y ∑^ log n no convergen. Sin embargo, la condici´on dada el el teorema anterior no es suficiente para la convergencia. Por ejemplo, la serie arm´onica ∑^1 /n cumple que 1/n → 0, pero no es con- vergente. A continuaci´on, establecemos el criterio de Cauchy de convergencia de series num´ericas.

Teorema 1.2.2. La serie de n´umeros reales ∑^ an es convergente si y solo si para cada ε > 0 existe n 0 = n 0 (ε) ∈ N tal que ∑mk=n+1 ak < ε para todos los m, n ∈ N con m > n ≥ n 0.

Por definici´on, una serie de t´erminos positivos (STP) es una serie ∑^ cn tal que cn ≥ 0 para todo n ∈ N. De manera natural, una serie num´erica ∑^ an lleva asociada una STP, a saber, ∑^ |an|. Se dice que la serie ∑^ an es abso- lutamente convergente cuando ∑^ |an| es convergente. Tenemos la siguiente condici´on suficiente.

Teorema 1.2.3. Toda serie absolutamente convergente es convergente. Adem´as, si ∑^ an = S y ∑^ |an| = S∗^ entonces |S| ≤ S∗.

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Por ejemplo, la serie ∑(−1)n^3 +n^2 +n/ 2 n^ converge; en efecto, la serie ∑ |(−1)n^3 +n^2 +n/ 2 n| =

(1/2)n

es convergente, ya que | 1 / 2 | < 1. Por tanto, si disponemos de criterios de con- vergencia de STPs, obtendremos instrumentos para estudiar la convergencia ordinaria de series. Recordaremos algunos de esos criterios en la secci´on si- guiente.

1.3. Series de t´erminos positivos y series al-

ternadas

Trataremos aqu´ı sobre estos dos tipos especiales de series. Se conoce la siguiente f´acil caracterizaci´on de la convergencia de las STPs en funci´on de las sumas parciales.

Teorema 1.3.1. Una STP es convergente si y solo si su sucesi´on de sumas parciales est´a acotada. En consecuencia, toda STP es convergente o diver- gente, es decir, no puede ser oscilante.

Recordemos que una permutaci´on de N no es m´as que una biyecci´on φ : N → N. Si ∑^ an es una serie y φ es una permutaci´on de N, a la nueva serie ∑^ aφ(n) se la llama serie reordenada respecto de la anterior.

Teorema 1.3.2. Las STPs poseen la propiedad conmutativa, es decir, series reordenadas tienen el mismo car´acter, y la misma suma en el caso en que sean convergentes.

En general, una serie num´erica ∑^ an se dice que es incondicionalmente convergente cuando toda reordenaci´on suya converge, y a la misma suma. Una serie ∑^ an se dice que es condicionalmente convergente cuando con- verge pero alguna reordenaci´on suya no converge o converge a otra suma.

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(g) La serie arm´onica generalizada ∑^ n^1 a (a ∈ R) es convergente si y solo si a > 1. Se llama serie alternada a una serie cuyos t´erminos tienen signo alterno, es decir, una serie de la forma ∑(−1)ncn o bien ∑(−1)n+1cn con cn ≥ 0 para todo n. El teorema siguiente, conocido como Criterio de Leibniz, proporciona una condici´on suficiente de convergencia de series alternadas.

Teorema 1.3.4. Consideremos una serie alternada como la anterior. Si la sucesi´on {cn} es decreciente y cn → 0 , entonces la serie alternada es conver- gente. Adem´as, en tal caso, el error cometido en la aproximaci´on no excede el valor absoluto del primer t´ermino despreciado; es decir, si Sn es la suma parcial n-´esima de la serie alternada y S es la suma, entonces |Sn −S| ≤ cn+1.

Por ejemplo, la as´ı llamada serie anarm´onica 1 − 12 + 13 − 14 + · · · es convergente. Este ejemplo tambi´en muestra que el rec´ıproco del Teorema 1.2.3 es falso.

1.4. Otros criterios de convergencia

A veces tenemos una serie que no es absolutamente convergente pero tampoco alternada, con lo cual no podemos usar los criterios de convergencia anteriores. En el siguiente teorema se dan dos condiciones suficientes, que se basan en una descomposici´on factorial adecuada del t´ermino general.

Teorema 1.4.1. Sean ∑^ an y ∑^ bn dos series de n´umeros reales y deno- temos An = ∑nk=1 ak. Se verifica:

(a) [Criterio de Dirichlet] Si la sucesi´on {An} es acotada y la sucesi´on {bn} es decreciente y con l´ımite 0, entonces ∑^ anbn es convergente. (b) [Criterio de Abel] Si ∑^ an converge y la sucesi´on {bn} es mon´otona convergente, entonces ∑^ anbn es convergente.

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1.5. Concepto y propiedades de la integral de

Riemann

El concepto de integral es la abstracci´on y formalizaci´on de la idea de ´area. Aqu´ı recordaremos la integral de Riemann, mientras que en el Cap´ıtulo 7 introduciremos la integral, m´as general, de Lebesgue.

Consideremos un intervalo cerrado y acotado [a, b] ⊂ R. Se llama partici´on de [a, b] a cualquier conjunto finito de puntos de [a, b], uno de los cuales es a y otro es b. Luego cada partici´on P de [a, b] consta de puntos xi (i = 0, 1 , ..., n) con a = x 0 < x 1 < x 2 < · · · < xn = b. Sea f una funci´on acotada. Se define la suma superior de Riemann de f respecto de la partici´on P como el n´umero U (f, P ) = ∑ni=1 Mi(xi − xi− 1 ), donde Mi := sup{f (t) : xi− 1 ≤ t ≤ xi}. An´alogamente, la suma inferior de Riemann de f respecto de la partici´on P se define como el n´umero como el n´umero L(f, P ) = ∑ni=1 mi(xi − xi− 1 ), donde mi := ´ınf{f (t) : xi− 1 ≤ t ≤ xi}. Se tiene que L(f, P ) ≤ U (f, P ∗) para cualesquiera particiones P, P ∗^ de [a, b].

Definici´on 1.5.1. Sea f : [a, b] → R acotada. A los n´umeros reales ∫^ ab f :=

sup{L(f, P ) : P partici´on de [a, b]} y ∫^ ab f := ´ınf{U (f, P ) : P partici´on de [a, b]} se les llama, respectivamente, integral inferior de Darboux e integral superior de Darboux de f en [a, b].

Se verifica que (b − a) · ´ınf{f (t) : a ≤ t ≤ b} ≤ ∫ (^) b a f^ ≤^

∫ (^) b a f^ ≤^ (b^ −^ a)^ · sup{f (t) : a ≤ t ≤ b}.

Definici´on 1.5.2. Sea f : [a, b] → R acotada. Se dice que f es integrable Riemann en [a, b] cuando ∫ (^) b a f^ =^

∫ (^) b a f^ , en cuyo caso se denota este valor com´un por ∫ (^) b a f^ o^

∫ (^) b a f^ (x)^ dx, el cual se denominar´a la^ integral de Riemann de f en [a, b]. El conjunto de las funciones integrables Riemann en [a, b] ser´a denotado por R[a, b].

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Cap´ıtulo 8 que una funci´on acotada en [a, b] es integrable Riemann si y solo si “no tiene demasiadas discontinuidades”, en un sentido que se especificar´a.

Recordemos que, si f ∈ R[a, b], el valor medio integral de f sobre [a, b] se define como el n´umero μ = (^) b−^1 a ∫ (^) b a f^ (x)^ dx. Si^ f^ ≥^ 0 en [a, b],^ μ^ representa la altura de un rect´angulo de base el segmento [a, b] y ´area ∫ (^) b a f^. Entonces m ≤ μ ≤ M , donde m y M son respectivamente el ´ınfimo y el supremo de f en [a, b]. El Teorema del valor medio integral asegura que si f ∈ C([a, b]) entonces existe alg´un punto x 0 ∈ [a, b] tal que f (x 0 ) = μ.

Ya sabemos que cualquier combinaci´on lineal finita de funciones integra- bles Riemann es tambi´en integrable Riemann. El siguiente resultado completa esta afirmaci´on y nos viene a decir que la integral de Riemann es respetuo- sa con las operaciones elementales. Puede probarse usando la condici´on de Riemann. Recordemos que f +^ y f −^ denotan respectivamente la parte positi- va y la parte negativa de una funci´on f , es decir, f +(x) := m´ax{f (x), 0 } y f −(x) := m´ax{−f (x), 0 } = −´ınf{f (x), 0 }. Luego f +^ y f −^ son no negativas y se tiene f = f +^ − f −^ y |f | = f +^ + f −.

Teorema 1.6.3. Supongamos que f, g ∈ R[a, b]. Entonces las funciones f +, f −, |f |, f 2 y f · g est´an tambi´en en R[a, b].

1.7. Integraci´on y antiderivaci´on

Vamos a recordar la relaci´on que hay entre estas dos operaciones. Re- sulta que, en un sentido que se especificar´a m´as adelante, ambas coinciden esencialmente.

Supongamos que I ⊂ R es un intervalo y f : I → R es una funci´on. Se dice que la funci´on F : I → R es una primitiva de f cuando F ′(x) = f (x) para todo x ∈ I. Si el extremo izquierdo a (resp., el extremo derecho b) de I est´a en I, entendemos que F ′(a) = F (^) +′(a) (resp., F ′(b) = F (^) −′(b)). Es

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f´acil ver que dos primitivas de una misma funci´on en un mismo intervalo se diferencian en una constante.

Definici´on 1.7.1. Sea f ∈ R[a, b]. A la funci´on F : x ∈ [a, b] 7 → ∫ (^) x a f^ (t)^ dt se le llama integral indefinida de f en [a, b].

Podemos decir que la operaci´on de integraci´on “mejora” las propiedades de la funci´on.

Teorema 1.7.2. Si f ∈ R[a, b] entonces su funci´on integral indefinida es continua en [a, b].

Los dos resultados que agrupamos en el siguiente teorema son b´asicos y expresan la fuerte relaci´on existente entre integrar y la operaci´on inversa de derivar. Si k ∈ N, denotaremos por Ck([a, b]) el espacio de las funciones [a, b] → R diferenciables con continuidad hasta orden k inclusive.

Teorema 1.7.3. (a) [Primer teorema fundamental del C´alculo] Sea f ∈ R[a, b] y F su funci´on integral indefinida. Si f es continua en el punto x 0 ∈ [a, b] entonces F es derivable en x 0 y F ′(x 0 ) = f (x 0 ). En particular, si f ∈ C([a, b]) entonces F ∈ C^1 ([a, b]). (b) [Segundo teorema fundamental del C´alculo o Regla de Barrow] Sea f ∈ R[a, b]. Si g : [a, b] → R es una funci´on continua que es una primitiva de f en (a, b) entonces ∫ (^) b a f^ =^ g(b)^ −^ g(a).

1.8. Cambio de variables e integraci´on por

partes

Terminamos con este par de resultados, que son importantes desde los puntos de vista te´orico y pr´actico. Si c > d se entender´a que ∫ (^) d c f^ =^ −^

∫ (^) c d f^ , siempre que el segundo miembro tenga sentido.