Completitud de espacios m´etricos y normados
(repaso)
Objetivos. Repasar los conceptos de espacio m´etrico completo, sucesi´on de Cauchy y
sucesi´on regular de Cauchy. Demostrar el criterio de completitud para espacios normados
(en t´erminos de series convergentes).
Requisitos. Sucesiones de Cauchy, espacios completos, teorema de la convergencia do-
minada.
Completitud de un espacio m´etrico
Definici´on (sucesi´on de Cauchy). Recuerde la definici´on de la sucesi´on de Cauchy.
1. Toda sucesi´on convergente es de Cauchy. Sea (M, ρ) un espacio m´etrico, sea
(xn)n∈Nuna sucesi´on en My sea bun punto en Mtales que xn→b, esto es, ρ(xn, b)→0.
Demuestre que la sucesi´on (xn)n∈Nes una sucesi´on de Cauchy.
2. Sucesi´on de Cauchy con una subsucesi´on convergente. Sea (xn)n∈Nuna sucesi´on
de Cauchy en un espacio m´etrico (M, ρ). Sea (xν(k))n∈Nuna subsucesi´on de la sucesi´on
original que converge a un punto b, esto es,
l´ım
k→∞ xν(k)=b.
Demuestre que
l´ım
n→∞ xn=b.
Definici´on (espacio m´etrido completo). Un espacio m´etrico (M, ρ) se llama completo
si toda sucesi´on de Cauchy en este espacio tiene un l´ımite.
3. Ejemplo de un espacio m´etrico no completo. D´e un ejemplo de un espacio m´etrico
no completo.
Completitud de espacios m´etricos y normados (repaso), p´agina 1 de 3
