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PROBLEMARIO FUNDAMENTOS
MATEMÁTICOS
1.0 EXPONENTES Y RADICALES
Simplifica las siguientes expresiones aplicando la ley de
los exponentes.
3 (^1 3 2 5 )
(^2 ) 4 3 3
6 3 5 5 9 2 3 5 2
1 1 2 3 4 4 2 8
1]
2]
3]
x y z (^) x y sol
x y z z
x y sol x y
x y x y sol xy
5 5 3 4 6 4
1 3 2 2 2 3
3 (^2 4 ) 3 3
1 2 5 2 2
3 4 1 3 1 3 2 5 2
2 (^2 4 )
(^3 ) 2 2
4]
5]
6] 2
7]
x y x
sol
x y y
x y
sol
x
x y
x y x y sol
x y
xy y
sol
x y x
Encuentra el valor de x utilizando las propiedades de
exponentes.
2
1
5 3 1
3 2 2 1 1
4 3 3 8] = 3 4 2
2 4 2 9] = 3 9 3
5 4 16 10] = 4 5 25
1 1 11] 16 2 8
x
x x
x x
x x
sol
sol
sol
sol
^
4 4
4 1
6 3 2 3
6 2
12] 27
13]
14]
15] 25 125
x x
x x x
x x x
x x
sol
sol
sol
sol
^
^
4 2 2 1
7 3
6 3
6 3
3 8 9 16] 2 27 4
4 3 9 17] 3 4 16
1 1 18] 4 2 8
1 1 19] 8 64
2 20] 5
x x x
x
x x
x x
sol
sol
sol
sol
^
^
4 2 3 25 4
4 25
x
sol
Racionaliza las siguientes expresiones:
21]
22] 2 3
23]
24]
25]
sol
sol
sol
sol
26]
27]
28]
sol
sol
sol
sol
29]
30]
31]
32]
sol
sol
sol
33]
34]
35]
36]
37]
sol
sol
a a sol a a
x sol x
a b a b sol a b a b
x
2
2 2 1 1
38]
39]
40]
x sol
x x
sol
sol
sol
sol
sol
1.1 PRODUCTOS NOTABLES
Desarrolla correctamente los siguientes productos notables
(^)
(^) (^)
2 2
(^2 2 ) 3
3 2 2
x x y x y x y
y x a a
x x x
x x x x
x
2 3 2 1 3 10 6 2
y x y
^ ^
(^)
(^)
(^)
(^)
2 3 2
2 3 3
3
a m m a
x y y x x x
y x x y
x y y x x x
x y x x
x y x y y x
^ ^
^ ^
(^) (^)
2 3 2
2 2 2
2
2 2
x x y x a b
x y x y x y y
x x x y x y
x x x x
x y x
y
^
^ ^
(^)
3
2 2
3 2
2 2 2
x a
x x x x
x x x y x
x y x y x y
a y
b x
^ ^
(^34) (^) x 3 y (^) x 10 y
2
3 2
x x x
a y x x y a
x y x y x x
^ ^
1.2 OPERACIONES CON EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
Realiza las siguientes operaciones simplificando el resultado
a su mínima expresión
2 2 3 2 2 3 3 2
2 3 2
1]
z y x y z y z x zy y zx
sol zx y y z
^ ^
^ ^ ^ ^ ^ ^
^
1.3 FACTORIZACIÓN
Factoriza las siguientes expresiones algebraicas
2
2 2 2 2 2 2
3 2
2 2
2 2
2 2 2 2 3
1]
2]
3] 3 3
4] 1 4 + 4
5] 3 2 6
6] 3 9 + 3
7] 15 6 5 2 2 2
8] 2 2 +
9] 6 9 14 21
12]
x xy xz yz
ax bx ay by
a x bx a y by
x x x
y a y x ax
b x bx x
bz bx a z a x
x y xz y z xy
m n mx nx
2 3
2 2 2
3 2 2 2 2 2
11] 20 5 8 2
12] 3 7 7 3
13] 2 2 2 1
14] 3 2 6 4 2 3
15] 2 2 3 6
x ayx y ax
ax bx ay by
ay ab b y a
am an a m n
ax by a b bx ay
x nx xz nz ny xy
1.4 FACTORIZACIÓN
Factoriza las siguientes expresiones algebraicas
4 2 3 6
2 2 2 2 4
2 2 2
4 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
y y a a
x xy y b a b a
x b b
xy y
x x
x xy y a
a a b x y xy
a ax x
(^)
2
2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
x x
x y xy
x a m am
x xy y m mn n
am x a m x
x y x y
a x a x
1.5 FACTORIZACIÓN
Factoriza las siguientes expresiones algebraicas
2
4 4 4
2 2 2 4 2
4 2 4 2 2 4
2 4 4 4 2 2
2 4
5 9 +12 y 6 6 +
x b
xy
x
x y
x x x x
x x x x y y
y y x y x y
y y
(^)
4 2
6 3 3 6 2 2 4 4
2 2 4 2
4 2 4 4 2
4 2 4 2
4 2 4 2 2 2 4
2 4
a a
x x y y x y y x
m x x x
y y x x x x
x x x x
x x y y a a b b
x x
(^)
4 4 2 2
4 4 8 8
2 2
4 4
x y x y
x y x y
x b
xy
x
x
1.6 FACTORIZACIÓN
Factoriza las siguientes expresiones algebraicas
2 2
2 2
2 2
2 2
2
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x
2
2 2
2 2
2 2
2 2
4
x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x
4
x ² 12 20) x 3 ² x 4
4 2 4 2
4 2 4 2
4 2 4 2
4 2 4 2
4 2
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x
4 2
2 2 2 2
x x
x xy y x xy y
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
x xy y x xy y
x xy y x xy y
x xy y x y xy y
x y xy x y xy
1.7 FACTORIZACIÓN
Factoriza las siguientes expresiones algebraicas
2 2
2 2
2 2
2 2
2
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x
4 2
4 2 4 2
4 2 4 2
4 2 4 2
2 2
x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
1.8 DIVISIÓN SINTÉTICA
Utiliza el método de división sintética para factorizar los
siguientes polinomios
4 3 2
3 2
4 3 2
4 2
5 4 3 2
5 3 2
5 3 2
4 3
x x x x sol
x x x sol
x x x x sol
x x x sol
x x x x x sol
x x x x sol
x x x x sol
x x
2
5 3 2
5 4
6 4 2
5 4 3 2
4 2
4 2
4 3
x x sol
x x x sol
x x x sol
x x x sol
x x x x x sol
x x sol
x x x sol
x x
2 13 x 14 x 24 sol .
3 2
3 2
3 2
3 2
3 2
4 3
16] 4 5.
17] 5 3 9 0.
18] 7 4 12.
19] 2 2.
20] 6 12 8.
21] 9 23
x x x sol
x x x sol
y y y sol
y y y sol
x x x sol
x x
2
4 3 2
3 2
5 4 3 2
6 5 4 3
4 3 2
22] 5 6 4 8.
23] 5 13 7.
24] 18 3 22 4 +4 1.
25] 2 2.
26] 3 8 12 16
x x sol
x x x x sol
x x x sol
x x x x x sol
x x x x sol
x x x x
5 4 3 2
4 2
27] 9 9.
28] 21 20.
sol
x x x x sol
x x x sol
2
2
ab a x a b a^ b x x ab a b a x a^ b
x x^ y x y x x y x y (^) y x x
x
x x x x x
x x
x
x
x x x x (^) x x x
2
2
3 2 2
3
2 2
5
4
a a
a
a a
a a a a a a
a a (^) a
a a
x x
x x
x x (^) x
x x
a
b a a^ ab^ b
b b a (^) b
a a b
x
x x x
x x x
a b b
a b a
a b b
a a b
x y
x y
2
4 2
x y
x y x
x y x y (^) y x y
x x y
1.10 ECUACIONES LINEALES DE UNA
VARIABLE
Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado con una
variable.
^ ^ ^ ^
x Sol x
x x Sol x
x x x x Sol x
x x x x Sol x
x x x x Sol x
2
x x x x Sol x
x x x Sol x
x x Sol x
x x Sol x
x x
Sol x
x x Sol x
x x Sol x
x x Sol x
x x Sol x
x x Sol x
x x x Sol x
x x x Sol x
3
x x x Sol x
x x Sol x
x x Sol x
x x x Sol x
x
Sol. x 2
2
2
3
x x Sol x
x x x Sol x
x Sol x
x x Sol x
x
x Sol x
x x Sol x
x x Sol x
x x Sol x
1.11 ECUACIONES CUADRÁTICAS DE UNA
VARIABLE
Simplifica las siguientes expresiones y resuelve las
ecuaciones cuadráticas resultantes de la simplificación,
2
1 2
2
1 2
1 2
2 1 2
1
x x Sol x x
x x x Sol x x
Sol x x x x
x Sol x x x (^) x
x x Sol x x x
2
1 2
1 2
2 1 2
13 10 5^33
x
Sol x x x x
x x Sol x x x
x x Sol x x x (^) x
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
2 1 2 2 1
x x sol x x
x x x sol x x
x x sol x x
x x sol x x
x x sol x x
x sol x i x i
x x sol x
2
2 1 2
2 1 2
x
x x sol x x
x x sol x x
2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2
x x sol x x
x x sol x x
x x sol x x
x x sol x x
x x sol x x
x x sol x x
x x sol
. x 1 (^) 4 x 2 9
2 25 x 6 x 27 0 sol. x 1 (^) 9 x 2 3
2 1 2 2 1 2
x x sol x x
x x sol x x
2 1 2
2 1 2
2 1 2
2 1 2
2 1 2
2 1 2
2 1
x x sol x x
x x sol x x
x x sol x x
x x sol x x
x x sol x x
x x sol x x
x x sol x
2
2 1 2
2 1 2
2 1 2
x
x x sol x x
x x sol x x
x x sol x x
1 2 4 2
2 2 1 2
1 2
2 2 1 2
4 2
x x x sol x x
x x sol
x x sol x x
x sol x x x
x x sol x x
x x
6 3
3 3 1 2
sol i
x x sol
x x sol x x
x x x sol
2 9
- 3, 1 3, 1
x sol x
3 2
2
x x x sol
x x x sol
sol x x
2
x sol
x x
x sol
x sol
x sol
2
2
x sol x x
sol x x
x x sol
1.13 TEOREMA DEL BINOMIO
Desarrolla los siguientes binomios utilizando el teorema del
binomio:
(^) (^)
^ ^ ^ ^
1 2
5 6 4
5 5 5 2 2
7 (^5 5 )
6 5 5
2 3
x y y x y
x y x y xy
x x y x y y
x x x
x x x
x
(^) (^)
(^) (^)
(^12)
3 2
5 7 6 2 3
7 5 9 2
x y x y x
x x xy x
^ ^
Encuentra los términos indicados en la expansión de la
expresión.
(^)
(^)
(^)
2 4 5 5
25
20 3 2
15 1
19 primeros tres terminos de 3
20 primeros tres terminos de 5
21 últimos tres terminos de 4 3
c c
x x
z z
(^)
(^)
(^)
(^)
12 3
7 2
9 2
8
10 2 3
8
22 últimos tres terminos de 2
23 sexto termino de 4
24 quinto termino de 3
25 septimo termino de 4 3
26 cuarto termino de 3
27 quinto termino de
x t
x
x
x y
x y
x y
x y
1.14 SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES
2 4 6 4 3 2
- 1, 2 2. 1, 2 1 2 4
7 14 7 4 3
- 3, 1 4. 7, 4 11 2 3 11
4 12 4 4 5 6
- 2,1 6. 1, 2 5 11 5 2 1
5 7 16 2 3 8
- 1, 3 8 2 8 26
x y x y sol sol x y x y
x y x y sol sol x y x y
x y x y sol sol x y x y
x y x y sol x y
. 1, 2 3 4 11
3 5 13 7 3 14
- 1, 2 10. 2, 0 4 2 3 6
5( 3 ) (7 8 ) (^6 73 )
- 1 , 7 9 2( 18 ) 0 89 89
2( 5) 4( 4 )
- 1, 2 10( ) 11 12
3 4 2(2 7) 0 13 5(
sol x y
x y x y sol sol x y x y
x y x y sol x y x y
x y x sol y x y x
x y x
^ ^ ^ (^) ^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^
. 2, 3
- (2 1) 0
12( 2 ) 8(2 ) 2(5 6 ) (^1 )
- , 20( 4 ) 10 2 4
( 2) ( 3) 14
- 2, 6 ( 6) ( 9) 54
sol x y
x y x y x y sol x y
x y y x sol y x x y
^ ^ ^
^ ^ ^ ^ (^) ^ ^ ^
^ ^ ^ ^
^
0 7 8
- 7, 8 1 3 7 7 4
2 1
17 5 4. 2, 4
2 3 8
x y
sol
x y
x y
sol
x y
(^)
(^)
3 6 3 3
3 4 12
7 2 8
2 3 8
x y t
x y z t sol x z t
x y
^ ^ ^ (^)
3 4 0 3 4
- 6, 4 2 3 2 5
x y
sol x y
^
^
2 2 5 11
2 4 2 8 14
- 2, 5, 1, 3 4 8 19
2
x y z t
x y z t sol x y z t
x y z
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ (^)
6 12
- 3, 1 2 3 3
7
6 3 24 3 1
- , 5 4 2
2 6 12
x y x y
sol x y
x y y x
sol x x y
^ (^)
^ ^
9 4 10 6 1 1 1 23 6 8 5 1. , , 3 4 5 12 12 15 10
5 3 11 1 24 10 10. , 2, 6 5 15 2 7
1
25 1
6
x y z
x y z sol
x y z
x y z
x y z sol
x y z
x y
y z
z x
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
^ ^ (^) ^ ^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^
. 2, 3, 4
2 1
26 2 0. 3, 2, 4
2 11
8
27 2 9. 6, 5, 3
2 2 3
sol
x y
y z sol
x z
y z
x z sol
y x
^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^
12
29 2 7. 3, 4,
2 6
2
30 4. 1,1, 4
2 2 4
2 3 1
31 3 2 12.
3 2 5
x y z
x y z sol
x y z
x y z
x y z sol
x y z
x y z
x y z sol
x y z
^ ^ ^ ^ ^ (^)
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^ ^
1,3, 2
2 2 10
32] 3 2 2 1. 1, 2, 3
5 4 3 4
x y z
x y z sol
x y z
^ ^ ^ (^)
33] 2 4 2 2 , 2 2 ,
x y z
x y z a a a
x y z
^ ^ ^
^ ^ ^ ^
^ ^
34] 3 2 2 5 1, 3, 2
x y z
x y z
x y z
^ ^ ^ ^
^ ^
2 3 2 2
35] 2 5 8 6 5. 2 ,1 2 2 , ,
3 4 5 2 4
x y z w
x y z w sol a b a b a b
x y z w
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
36] 2, 1, 1
x y z
x y z
x y z
x y z
^ ^ ^
^ ^
37] 3, 2, 0, 1
x y z
x y t
x y z t
y t
^ ^
38] , , ,
x y z w
x y z w
x y z w
x y z w
^ ^ ^ ^
^ ^ ^
^
39] , , , 2 2 2 2
x y z w a
x y z w b (^) d a c d b c a b
x y z w c
x y z w d
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ (^) (^) (^)
3 2 2
2
3 2
x sol x x x^ x x
x x
x x x x^ x^ x
^ ^
2 7 11
2 1 4
x x sol x x x
2 8 11 9 29 3 2 2
1 5 29 29 3 2 2
2
3 2 2
5 7 3 2
2
3
x x x sol
x x x x x
x sol
x x x x x
x sol x
x x x x x
x x sol
x x x x
x x sol x x x
^
x 1 x
2.0 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
Exprese el logaritmo dado en términos de logaritmos de x,
y, z,
2 3 2 2
3 5 4
- log (^) a 2) ln 3) ln
x y x y xz
z z y
2 2 (^3 ) (^4 5 3 )
- log (^) a 5) log (^) a 6) ln
y x x y x
z yz (^) z
5 3 3 2
3
5 3 3 2
3
2 3 3 5 5
2 3
log 8) ln 9) ln
ln 11) log l2) ln
log 14) ln 15) ln
a
a
a
xz x yz x y z
y
xz x yz x y z
y
z x x y xz
y (^) z y
Escriba la expresión dada como un solo logaritmo
^ ^ ^
(^)
(^2 3 )
16 5log log 3 4 3log 5 1 2
17 log 2log 3log
x x x
x y x x y y
3 4 2
2 2
18 2log 3log log 2
19 3ln 1 ln 1 ln
20 ln 2 1 ln ln = 2
21 ln 4ln 2ln =
22 3ln ln1 3ln =
y y x y x
x x x
x x xy
z x x
x yx
2.1 ECUACIONES EXPONENCIALES Y
LOGARÍTMICAS
Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas y
exponenciales.
10
9
2 5
6 6 6
3 3
1 log 4 2. 13
3 2 log. 27 2 1 1 3 log 2. , 5 5 7 4 log 2 3 log 12 log 3. 2
5 2log 3log 5
x sol x
x sol x
x sol x
x sol x
x
sol. x 5 5
^ ^
^ ^ ^
2 2 2
5 5 5
2 10 10
5 5 5
2
6 log log 1 3log 4 s. 64 1 7 log log 6 log 9. 3 6 2
8 log log. 1
9 log 2 3log 2 log 2 2 2 2 2 2
10 log 5 4
x x ol x
x x sol x
x x sol x
x x x
x s
ol. x 21
^ ^ ^
4
8
4 4
3 3 3
11 log. 2 8 2 12 log 5. 9 3
13 log 1 2 log 3 2.
14 2log 3 log 1 3log 2. 1
15 log
x sol x
x sol x
x x sol x
x x sol x
4
5
16 2 6. log / log 2 3
x
x sol x
sol x
5 3 2 1
4
4 1 3
17 2 =3. log / log 8 9
18 ln 1 ln 1.
x x
x
x x
sol x
x x sol x
sol x
sol x
(^)
2 3 2
2
22 log 1 log 3. 5
23 log 5 1 2 log 2 3. 1.
24 log 4 log 2 3 log 2. 2
25 log 4 log 3 10 log.
x x sol x
x x sol x
x x sol x
x x x sol x
x x sol x x
2
26 log log 2. 2
- log 1
2
x x
x sol x
y sol x y y
2 3 3
2 2 2
2 5 5
- log
10 10 2 1
29 2log 10log 4.
30 2 log 6 4log.
31 8 log 2log 3.
32 log 5 1 2 log 2 3.
33 6 l
x x
x x
y y sol x y
x x sol x
x sol x
x sol x
x x sol x
(^)
2 6 6
3 3
4
og log.
34 2log 3 log 1 3log 2.
34 log 1.
2
z z sol x
x x sol x
x sol x
(^)
(^)
(^)
1 8
4 4
1 16
2 2 9
35 log 2 3log 2 1.
36 2log 3 log 2.
37 log 2 4log 2 1.
38 3log 3 log 4 2log 3.
x
x x
x
x x
sol x
sol x
sol x
sol x
4 1-
5
x x
x
sol x
sol x
2
2 1
3x+2 2 - 1
4 4
2 1
x x
x
x x
x x
sol x
sol x
sol x
sol x
^
^
^
2
6 1 1
1
3 2 2 2
2
x x
x x
x
x x
e sol x
sol x
sol x
sol x
^
^
^
1
2 (^2 )
x x
x (^) x
sol x
sol x
(^)
^
2.2 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Demostrar las siguientes identidades
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
1 sec csc cot tan 2 cos csc
1 cos 2 2 csc 1
3 sec csc sec csc
sec cos tan 4 tan sec
1 cos 5 2 csc 1 cos
6 tan tan
1 tan 7 csc tan
t t t t t t
y y sen y
x x x
x x
t sen t t sen t t
x sen x x sen x
v v v
2
1 1 8 4 tan sec 1 1
1 1 9 2 csc 1 cos 1 cos
1 csc 10 cot cos sec
sen x sen x x x sen x sen x
y y y
cot tan 11 csc sec cos
cot 1 12 cot 1 tan
1 sec 13 csc tan
sen
x x x
sen
13] ¿Qué altura alcanzara sobre su muro una escalera
de 5 m de largo, si forma con el piso un ángulo de
65°0´´;?
14] ¿Qué ángulo forma con el piso el pie de una
escalera de 7 m de largo, si dista de la base de un muro
2.5 m?
2.4 TEOREMA DE PITÁGORAS
Encuentra el valor de x en las siguientes figuras:
Resuelve los siguientes problemas:
11] Calcular la altura de un triangulo isósceles, si su
base mide 60 cm y cada una de los lados iguales
mide 50 cm.
12] ¿Cuánto mide la diagonal de un rectángulo de 28
m de largo y 21 m de ancho?
13] ¿A qué altura llega una escalera de 10 m de largo
en un muro vertical, si su pie esta a 3 m del muro?
14] Un terreno rectangular de 4000 m de largo por
3000 m de ancho tiene en medio una colina que no
permite una medición directa. ¿Cuál es la longitud de la
diagonal?
15] Para sostener la torre de la antena de una
estación de radio de 72 m de altura se desea poner
tirantes de 120 m para darles mayor estabilidad: si se
proyecta tender los tirantes desde la parte más alta de
la torre, ¿a qué distancia del pie de ésta deben
construirse las bases de concreto para fijar dichos
tirantes?
3.0 ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA
POR DOS PUNTOS.
Encuentra la ecuación general de la recta que pasa por los
puntos:
1 1, 4 3,1. 3 4 13 0
2 2, 3 3,1. 2 7 0
1 1 3 4, 2,1. 3 2 0 2 2
2 1 13 5 1 4 , 5, 3. 0 3 2 3 2 2
5 3, 5 2, 2. 7 5 4 0
1 1 6 , 2 2
A B sol x y
A B sol x y
A B sol y x
A B sol y x
A B sol x y
A
^ ^
^ ^
9 13 4, 6. 1 0 2 2
1 3 15 7 99 7 3, , 4. 0 2 4 4 2 8
B sol y x
A B sol y x
^ ^ ^
^ ^ ^
(^)
4 1 13 19 11 8 , 3, 4. 0 5 3 3 5 5
9 2, 5 7, 3. 8 9 29 0
10 2, 1 3, 2. 3 2 1 2 5 0
11 7,11 2, 7. 4 9 71 0
A B sol x y
A B sol x y
A B sol y x
A B sol x y
^ ^ ^ ^
^ ^ ^
^ ^ ^
12 12, 3 4, 5. 8 16 48 0
13 5.3, 4.2 2,1 5.2 7.3 3.1 0
14 1, 3 5,11 6 8 26 0
1 3 19 5 61 15 , 4 2, 0 2 4 4 2 8
16 11, 5 2, 7 2 9 67 0
17 5, 9 3, 7
A B sol x y
A B sol x y
A B sol y x
A B sol x y
A B sol x y
A B
^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^
16 8 8 0
18 3, 7 5, 21 28 8 28 0
3 17 13 19 2, , 1, 2 3 0 5 5 5
1 1 9 5 59 20 , 5 3, 0 2 2 2 2 4
21 3, 2 21, 7 24 9 21 0
22 9, 6 4, 9
sol x y
A B sol x y
A B sol x y
A B sol x y
A B sol y x
A B
^ ^ ^ ^
^ ^
sol 57 13 y 15 x 0
3.1 ECUACIÓN DE LA RECTA PARALELAS
Y PERPENDICULARES:
Obtenga una ecuación para las rectas que satisfaga las
condiciones dadas.
1 A través de 7, 3 , perpendicular a la recta con
ecuación 2 5 8. 5 2 29 0
A
x y sol x y
2 A través de 4,8 , perpendicular a la recta que
pasa por los puntos 5, 1 y 2, 3 ,
.
3 A través de 7, 2 , paralela a la recta que pasa
por los puntos 0, 4 y 6, 6 ,
A
B C
sol
A
B C so
.5 3 41 0
3 1 4 A través de , , paralela a la recta que 4 2
con ecuación 3 1.
5 Obtenga las ecuaciones de las alturas del triángulo
con vértices 3, 2 , 5, 4 , 3, 8
.
l x y
P
x y sol
A B C
sol x
^
6 9 0; 4 4 0; 3 5 5 0
6 A través de 4,10 , paralela a la recta que pasa
por los puntos 0, 5 y 8, 8 ,
.13 8 132 0
3 1 7 A través de , , paralela a la recta con 2 4
ecua
y x y x y
A
B C
sol x y
P
ción 2 x 4 y 5 sol.
^
8 A través de 5, 7 , paralela a la recta con
ecuación 6 3 4 0. 2 3 0
9 Hallar la ecuación de la recta que pasa por
el punto 1, 3 , que es perpendicular a la
P
x y sol x y
recta
3 4 11 0.
10 Hallar la ecuación de la recta que pasa por
el punto 7, 2 , que es paralela a la recta
3 5 11 0.
x y sol
x y sol
Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto
3, 4^ y que sea normal a la siguientes ecuaciones
11 2 5 10 0 12 2 3 4
13 3 5 0 14 6 1 2
15 5 20 6 16 9 4 0
x y y x
x y x y
x y x y
Encuentre una ecuación de la recta que sea ortogonal a
las ecuaciones dadas y que pase por el punto 2, (^5)
17 3 11 0 12 5 23 0
13 4 7 0 14 7 3 21 0
15 8 15 13 0 16 6 1 0
17 6 9 0 18 4 4 0
x y x y
x y x y
x y x y
x y x y
2
2
x x y
y x y
Hallar la ecuación de las parábolas cuyos elementos son
los siguientes:
2
2
2
2
16 3, 2 5, 2
. 4 8 28 0
17 5, 2 ecuación de la directriz 4
. 10 8 9 0
18 2, 3 1, 3
. 6 12 15 0
19 2, 3 , eje paralelo al eje Y
que pasa por el punto 4,
. 3 12 4
V y F
sol y y x
V y y
sol x y y
V y F
sol y y x
V
sol y x
2
24 0
20 Eje paralelo al eje X y que pase por los puntos
A 2,1 , B 1, 2 , 1, 3
. 5 21 2 20 0
21 Vértice sobre la recta 2 3 0, eje focal paralelo al
eje X y pasa po
y
C
sol y y x
y x
r los puntos A (^) 3, 5 y B (^) 5, (^1)
2
22 Hallar la ecuación del lugar geométrico cuya distancia
al punto 2,3 sea igual a su distancia a la recta
6 0. 6 8 23 0
23 Encuentre la ecuación de la par
F
x sol y y x
ábola que tenga eje
horizontal y que pasa por los puntos 2,1 , 6, 2
12, 1
24 Vértice 3,5 , eje paralelo al eje X y pasa por el
punto 5,
25 Foco 3, 2 direc
A B
C
V
A
F y
triz y 1
3.4 ECUACIÓN DE LA ELIPSE
Encuentra todos los elementos de las siguientes elipses
2 2
2 2
2
x y x y
sol C A A B B
F F LR e
x y x y
sol C A A B
B F F LR
e
x x
2 16 17 0
y y
sol C A A B B
F F LR e
^
2 2
2 2
2 2
x y x y
sol C A A B
B F F LR
e
x y x y
sol C A A B B
F F LR e
x y x
2 2
2 2
2 2
2 2
y
x y x y
x y x y
sol C A A B B
F F
x y x y
x y x y
Encuentra las ecuaciones de las elipses cuyos elementos
son los que se indican a continuación
^ ^ ^
2 2
2 2
2 2
2 2
11 4, 1 , 1, 1 y pasa por el punto P 8, 0
, 8 2 4 0 1 12 3,1 , 3, 2 , 3
. 9 8 54 16 17 0 39 13 3, 3 , 7, 3 , 4 . 39 64 234 256 1889 0 4 14 7, 2 , 5, 2 , 5 . 25 9 50 36 839
C F
sol x x y y
C A e
sol x y x y
F F LR
sol x y x y
B B e
sol x y x y
0 2 15 0, 5 , 0, 5 , 3 17 2, 3 el eje mayor paralelo al eje Y eje mayor
1 igual a 8 3 18 3,8 , 3, 2 , longitud del eje mayor 10
3 19 3, 1 , 5, 1 , 4 20 2, 6 , 2, 2 , 2
21 Hallar la ecuac
F F e
C
e
F F
V V e
V V LR
(^)
ión de la elipse cuyos vértices son los
puntos 4, 0 , 4, 0 y cuyos focos son 3,0 , 3, 0
22 Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son los
puntos 2,0 , 2, 0 y su excen
2 tricidad es 3
e
3.5 ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA
Encuentra todos los elementos de las siguientes hipérbolas
(^)
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
(^2 )
16 3 2 2
2 2
2 2
x y x y
x y sol
x y x
y y sol
x y y
y (^) x sol
x y x y
x y x y
x y x y
sol C V F
(^)
(^)
2 2
2 2
2 2
2 2
y x
y x x y
y x y x
sol C V F
y x
x y x y
y x y x
sol C V F
y x
2 2 4 x y 32 x 8 y 49 0
12 2, 0 , 2, 0 y 3, 0 , 3, 0 Hallar la
ecuación y su eexcentricidad.
13 7, 3 , 1, 3 , longitud del eje trasverso 4
14 3, 3 , 7, 3 , 5
15 3, 4 , 3, 2 , 2
5 15 3, 2 , 9, 2 , 3
17 8, 0 , 0, 0 , 8
1
V V F F
F F
V V LR
V B e
V V e
V V LR
(^)
28 8 2,8 , 2, 0 , 6
F F LR
4.0 SISTEMA DE ECUACIONES NO
LINEALES
Resuelve los siguientes sistemas utilizando el método
apropiado
2
2 2
2 2
2 2
2 2
6 9
- 4,1 3, 0 3
4
4 5
36
- 7.8, 4.9 6.4, 2. 2 2
4 32
2 8
1 (^5 9 )
3 2 6
y x x sol y x y
x y sol y y x
x y sol y x y
x y sol y x y
x y
x y
(^) ^
(^) ^
(^) ^ ^ ^
(^) ^
^ (^)
2 2
2 2
. .7, 1.8 2.5,.
1 6 16 4.
2 3 9
1 7 4 4.
2 6 12
sol y
x y
sol y
x y
x y
sol y
x y
(^)
^ (^)
2 2
2 2
2 2
4 8 36
- 1, 2 1, 2 2
41
- 5, 4 4, 5 9
2 31
2 9
x y sol y y x
x y sol y x y
x y sol y x y
^ ^
^
^
2
2 2
2 2
6 8
- 5, 3 2, 0 2
3 12
1 4
9
- 0, 3 3, 0 3
y x x sol y x y
x y sol y y x
x y sol y x y
^
^
^ ^
2
2 2
3
- 0, 3 2, 1 2 3
18
2 3
x y sol y x y
x y sol y x y
(^) ^ ^ ^
(^) ^
