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SOLUCIONES SERIES
- Estudia el carácter de las siguientes series:
a)
3 1
n^3
n n n n
∞
∑ (^) +
(^1) observamos que no cumple la condición necesaria de
convergencia ya que
lim n 3 5
n n →∞ n n
ya que el grado del numerador (3) es
mayor que el grado del denominador (3/2) luego la serie es DIVERGENTE.
b)
2 1
n^5 n
∞ n
∑ observamos que^ cumple la condición necesaria de convergencia ya
que
lim 0 n 5 n
n →∞
- (^) = ya que el numerador es un polinomio y el denominador una
función exponencial que crece más rápido que los polinomios. Aplicamos el criterio del cociente ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 1 2 2 (^12) 2 1 2
5 2 1 5^2 1
lim lim lim lim lim 1 (^1) 1 5 1 5 5 5
n^ n n n (^) n n n n n n n
n a n^ n^ n^ n a n n n
+^ + →∞ →∞ →∞ + →∞ →∞
luego la serie es CONVERGENTE.
c) 1
n n n
∞ ∑= observamos que cumple la condición necesaria de convergencia ya que
lim 2 0 !
n n →∞ n =^ ya que el numerador es una función exponencial y el denominador un factorial que crece más rápido que las funciones exponenciales. Aplicamos el criterio del cociente
( ) ( )
1
1 1
lim lim 1!^ lim 2!^ lim 2 0 1 2 1! !
n
n n n n n^ n n n n
a n n a n n
→∞ →∞ →∞ →∞
luego la serie es CONVERGENTE.
d) (^2 ) 1
n n^ n
∞ ∑= (^) − observamos que cumple la condición necesaria de convergencia.
Aplicamos el criterio del logaritmo.
( ) (^) ( ) ( )
2 1
lim lim lim lim 2 1 1
n n n n n n
L (^) L n a n Ln n Ln Ln Ln
− →∞ →∞ →∞ →∞
luego la serie es CONVERGENTE.
e) 1
n
n
n n
∞
∑ ⎜⎝ (^) − ⎟⎠ veamos si cumple la condición necesaria de convergencia.
lim 1 1 1
n n
n n
∞ →∞
⎜⎝ (^) − ⎟⎠ es una indeterminación.
lim 1 lim 1 lim (^1 1) lim 2 lim 1 1 1 1 1 2 0 1
n n n n (^) n
n (^) L n (^) n L n (^) n n n n n n (^) n n
n (^) e e e e e n
→∞ →∞ →∞ (^) →∞
⎛⎜ + ⎞⎟ (^) ⋅ ⎛⎜ + ⎞⎟ (^) ⋅⎛ (^) ⎜ +− ⎞⎟ ⋅ ⎝ −^ ⎠ ⎝ −^ ⎠ ⎝ − ⎠ − →∞
⎜⎝ (^) − ⎟⎠ ≠^ luego no se
cumple la condición necesaria de convergencia y la serie es DIVERGENTE.
f) n 1
Ln n
∞
∑ observamos que cumple la condición necesaria de convergencia ya que
lim n Ln 0 →∞ (^) n = ya que el numerador es una función logarítmica y el denominador un
polinomio que crece más rápido que las funciones logarítmicas. Aplicamos el primer criterio de comparación.
La serie 1
n n
∞
∑ es divergente ya que es la armónica de grado^ α^ =^1. Además
Ln (^1) n 3 n n
≥ ∀ ≥ luego n 1
Ln n
∞ ∑= es también DIVERGENTE.
g)
3 2 1
n^2
n n n
∞
∑ (^) + observamos que cumple la condición necesaria de convergencia
puesto que el grado del numerador (2/3) es menor que el grado del denominador (3/2). Aplicamos el criterio de comparación con la armónica y como 3 2 5 lim 5 6 1 n 2
n (^) n n n
→∞
\ y el grado 5 1 6
α = < la serie es DIVERGENTE.
c) 1 1
n^ n n n n
∞ ∞ = =
= ⎛^ ⎞
∑ ∑ (^) ⎜⎝ ⎟⎠
(^3) es una serie geométrica de razón 3 1 2
> luego es divergente.
Por lo tanto la suma es S = ∞.
- Estudia las siguientes series de potencias:
a) 1
n n
Lnx n
∞
∑ es una serie de potencias centrada en 0. Para calcular el radio mediante
el cociente calculamos
1
lim lim 1 lim (^ 1)^ lim (^ 1) 1 1 1 ( 1) ( 1)
n n (^) n n n n
L n l a^ n nL n^ n^ L n a Ln n Ln n Ln n
→∞ →∞ →∞ →∞
= = + = +^ = ⋅ + = ⋅
El primer límite es un cociente de polinomios del mismo grado. El segundo límite lo resolvemos por la regla de L’Hôpital.
( )
lim lim 1 lim 1 n n n 1
L n (^) n n Ln n n
→∞ →∞ →∞
=. Luego 1 1 1 1
r l
El campo de convergencia es un intervalo que tiene por extremos –1 y 1. Estudiamos la convergencia en los extremos.
Si x = − 1 obtenemos la serie ( ) 1
1 n n
Ln n
∞
∑ − que es una serie alternada. Aplicando
el criterio de Leibniz:
i) La sucesión n
Ln n (^) ∈
⎩ ⎭ `
es decreciente ya que el denominador crece más
rápido que el numerador.
ii) lim n Ln 0 →∞ n
Luego la serie de potencias es CONVERGENTE en x = − 1.
Si x^ =^1 obtenemos la serie^ n 1
Ln n
∞
∑ observamos que^ cumple la condición
necesaria de convergencia ya que lim n Ln 0 →∞ n = ya que el numerador es una
función logarítmica y el denominador un polinomio que crece más rápido que las funciones logarítmicas.
Aplicamos el primer criterio de comparación.
La serie 1
n n
∞
∑ es divergente ya que es la armónica de grado^ α^ =^1. Además
Ln (^1) n 3 n n
≥ ∀ ≥ luego n 1
Ln n
∞ ∑= es también DIVERGENTE.
Luego la serie de potencias es DIVERGENTE en x = 1. Entonces el campo de convergencia es (^) [ −1, 1 (^) ).
b) 1
n
n n
∞ n x
∑ (^) ⎜⎝ ⎠
⎟ es una serie de potencias que no está centrada en 0. Hacemos el
cambio de variable 1 2
y =^ x − y obtenemos 1 3
n n n
∞ n y
∑ que está centrada en 0.
Para calcular el radio mediante el cociente calculamos
1 1 1
lim lim 3 lim (^ 1)3^ lim^1 3 3 3
n^ n n n n (^) n n n n n
n l a^ n^ n a n n
+^ + →∞ →∞ →∞ + →∞
= = = +^ = +
n 3
=. Luego r^1 l
El campo de convergencia es un intervalo que tiene por extremos –3 y 3. Estudiamos la convergencia en los extremos.
Si y = − 3 obtenemos la serie ( ) ( ) ( ) 1 1 1
n n (^) n n n^ n n n
∞ (^) n ∞ (^) n ∞ n = = =
∑ −^ =^ ∑ −^ =^ ∑ −^1 n que es
una serie alternada. Aplicando el criterio de Leibniz: i) La sucesión (^) { n } (^) n ∈` no es decreciente.
ii) lim n →∞ n = ∞ ≠ 0.
No se cumplen las hipótesis del criterio de Leibniz, luego la serie de potencias es DIVERGENTE en y = − 3.
Si y = 3 obtenemos la serie 1 1
n n n n
∞ (^) n ∞ n = =
∑ =∑ observamos que no cumple la
condición necesaria de convergencia y por tanto la serie es DIVERGENTE en
y = 3. Entonces el campo de convergencia de 1 3
n n n
∞ n y ∑= es (^) ( −3,3 (^) ).
Deshaciendo el cambio de variable
