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MATEM¡TICAS EMPRESARIALES I
Sumatorios y series
- Demostrar que
PM
n=m
rn^ =^
rM^ +1^ rm rM^ +m^ (r 1) para^ r^6 = 1.
- Usando las fÛrmulas de la progresiÛn y serie geomÈtrica, calcular
a)
X^20
n=
3 n^ , b)
X^12
n=
2 n ^1 c)
X^1
n=
2 n ^1 5 n^ , d)
X^1
n=
3 n ^1 2 n+2^ , e)
X^1
n=
2 n^ + 3n 5 n^ , f)
X^1
n=
32 n^ ;^ g)
X^1
n=
2 n=^2
h)
X^1
n=
e n=^2.
SoluciÛn: a)
P^20
n=
3 n^ =^
1 36 ^
1 320 , b)^
P^12
n=
2 n ^1 = 6^
24 ^
1 212
, c)
P^1
n=
2 n ^1 5 n^ =^
5 6
27 57 , d) X^1
n=
3 n ^1 2 n+^
= 1 , e)
X^1
n=
2 n^ + 3n 5 n^
= 154 + 109 = 76 , f)
P^1
n=
32 n^
= 458914 , g)
X^1
n=
2 n=^2
p^12 1 p^12 =
6(
p 2 + 1) h)
X^1
n=
e n=^2 = 1 =e
2 1 1 =pe =
pe e^2 (pe 1).
- Un trabajador aporta a un plan de pensiones 1000 euros al Önal de cada aÒo durante N aÒos. El plan de pensiones paga un interÈs anual del 10%. a) øCu·nto dinero tendr· en el fondo de inversiÛn despuÈs de 20 aÒos? b) El trabajador quiere jubilarse cuando su plan de pensiones tenga m·s de 100 : 000 euros. øCuantos aÒos tendr· que esperar para jubilarse?
SoluciÛn: a)
P^19
n=
1000(1:1)n^ = 1000 (1:1)
(^0) (1:1)^20 1 1 : 1 = 57275. b) Tendr· que esperar 26 aÒos.
- Calular los siguientes sumatorios con el mÈtodo de ecuaciones recurrentes
a)
X^ N
n=m
rn^ con r 6 = 1, b)
X^ N
n=
nrn^ con r 6 = 1 (progresiÛn aritmÈtico-geomÈtrica) c)
X^ N
n=
n^2. SoluciÛn: a)
X^ N
k=m
rn^ =
rm^ rM^ + 1 r b)
X^ N
n=
nrn^ = r rN ^ +1 1 N (^) (r r1) 2 (rN^ 1)
c)
X^ N
n=
n^2 = N 3 3 + N 2 2 + N 6 = N^ (N^ +1)(2 6 N^ +1).
- Usando la acotaciÛn mediante integrales demostrar que
a)
X^ N
n=
n^2 N 3 3 , b)
X^ N
n=
p n (^23)
p N 3 , c)
X^ N
n=
p^1 n
p N
Series numÈricas
- Estudiar el caracter de las siguientes series
a)
X^1
n=
p^3 n^ + 2 2 n^5 + 3n 1
b)
X^1
n=
p n n^2 + n + 1
c)
X^1
n=
en+ nn^
d)
X^1
n=
n
p 2 n^2 + 1
e)
X^1
n=
n
n + 2
f)
X^1
n=
en n^2
g)
X^1
n=
n1+1=n^
h)
X^1
n=
n! + 1 (n + 1)!
i)
X^1
n=
2 n 2 n +
p 3 n^3 + 3
j)
X^1
n=
5 n + 1
n k)
X^1
n=
n 22 n+1^ l)
X^1
n=
n^2 + 2 n!
m)
X^1
n=
32 n 41 n^ n)
X^1
n=
Ln n Ò)
X^1
n=
nn+1^ o)
X^1
n=
(n + 2)! n!10n
p)
X^1
n=
n + 2n 3 n+2^ q)
X^1
n=
5 n^ 3 n^ r)
X^1
n=
n
1 n^2 s)
X^1
n=
n^5 + 3n^3 n + 2n
t)
X^1
n=
3(n + 1)n nn^
u)
X^1
n=
n 2 v)
X^1
n=
Ln n^2
w)
X^1
n=
(Ln) 1 n
x)
X^1
n=
n 2 (n + 2) 3
p 3 n^2 + 1=n
y)
X^1
n=
4 n + 3 (n + 1)! z)
X^1
n=
n^2 3 n^ + n
SoluciÛn: a) convergente b) convergente c) convergente d) convergente e) conver- gente f) divergente g) convergente h) divergente i) divergente j) convergente k) con- vergente l) convergente m) divergente n) divergente Ò) convergente o) convergente p) convergente q) convergente r) divergente s) convergente t) divergente u) convergente v) convergente w) divergente x) divergente y) convergente z) convergente.
- Contestar razonadamente a las siguientes cuestiones a) De dos series de tÈrminos positivos
P 1
n=1 an^ y^
P 1
n=1 bn^ sabemos^ que^ la
serie
P 1
n=1 an^ es convergente y que^ nlim!
an bn
= 5. øCuanto vale (^) nlim!1bn?
b) De una serie
P 1
n=1 an^ sabemos que es convergente. Calcular^ klim!
Pk n=1 an k
c) De una sucesiÛn sabemos que 0 < an < 1 n
. Determinar el caracter de la serie P 1 n=1(an)^2. øEs posible determinar el caracter de la serie^
P 1
n=1 an? d) De una serie de tÈrminos positivos
P 1
n=1 an^ sabemos^ que^ es convergente. Determinar el car·cter de las siguientes series:
d 1 )
P 1
n=
an
, d 2 )
P 1
n=1(an)
