series en numeros complejos, Diapositivas de Teoría de Números Complejos

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La función de una variable entera positiva, que se denota

f (n) o un, donde n = 1, 2, 3,... , se llama sucesión.

Por tanto, una sucesión es un conjunto de números

u1, u2, u3,...

en un orden definido y formados de acuerdo con una regla definida. Cada

número de la sucesión se llama termino y un es el término n-ésimo.

La sucesión u1, u2, u3,... también se denota { un }

Una sucesión es finita o infinita según tenga un número finito o infinito de

términos. A menos que se especifique otra cosa, se considerarán únicamente

sucesiones infinitas.

SUCESIONES Y SERIES

Sucesiones

Suponiendo que:

lim an = A lim bn = B

n → ∞ n → ∞

1) lim ( an ± bn ) = lim an ± lim bn = A ± B

n → ∞ n → ∞ n → ∞

2 ) lim ( an ﮲ bn ) = ( lim an ) ﮲ ( lim bn ) = A ﮲ B n → ∞ n → ∞ n → ∞ 3 ) lim ( an / bn ) = ( A / B ) n → ∞

Teorema sobre limites de sucesiones

Series

Sea la sucesión u 1 , u 2 , u 3 ,... un Formando una sucesión de: S 1 = u 1 S 2 = u1 + u 2 S 3 = u 1 + u 2 + u 3 : Sn = u 1 + u 2 + u 3 +... + un

Sn = Suma parcial n-ésima, es la suma de los primeros n términos de la sucesión {un}

Sn = ∑ un = u 1 + u 2 + u 3 +... Se llama Serie Infinita. n=

Si Lim Sn = L Existe, la serie se llama Convergente y Sn es su suma n → ∞ ( de lo contrario se llama Divergente)

Una condición para que la serie converja, es que Lim un = 0 n → ∞

Ejemplo 1

El conjunto de números { zn } = i, i^2 , i^3 ,…i^100 es una sucesión finita; el término n-ésimo es zn = in^ donde n = 1, 2,... , 100

El conjunto de números { zn } = 1 + i, (1 + i) 2 /2!, (1 + i) 3 /3!,.. .es una sucesión infinita el término n-ésimo es zn = (1 + i) n/n!, donde n = 1, 2, 3,....

{(1+i)n^ /n!} = (1+i); (1+i) 2 /2!; (1+i) 3 /3!; (1+i) 4 /4!... (1+i) n^ /n!;...

{1+i n} = {1+i }; 0; {1-i }; 2; {1+i }; 0; {1-i }; 2;...

La sucesión, puede tener a lo sumo un límite, vale decir que si el

Lim zn = a donde a es un número finito n → ∞

Entonces se dice que la sucesión converge hacia a , Si la sucesión no tiene límite, diverge.

Ejemplo 2

{Zn} = {1+i n} = {( 1 +i ); 0 ; ( 1 - i); 2 ; ( 1 +i ); 0 ; ( 1 - i); 2 ;.. .} n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n= Se repite, luego

No existe Lim zn luego, la Sucesión Diverge.

n → ∞

Ejemplo 3

{Zn}= { (1+i n)/n } = { - 1 , - i/ 2 , 1 / 3 , i/ 4 , - 1 / 5 , - i/ 6 , 1 / 7 , i/ 8 ,... }

Como

Lim Zn = Lim ( 1 +i n^ /n) = 0 n → ∞ n → ∞

Luego, la Sucesión Converge

Ejemplo 4, Verificar convergencia de : Zn = in^ / n n= 1, 2,3,...

Zn = i, i^2 /2, i^3 /3, i^4 /4, i^5 /5,... = i, - 1/2, - i/3, 1/4 , i/5,...

Si se representa en forma gráfica el plano Z, puede sospecharse que el límite a = 0, para comprobar debemos demostrar que:

ꓯ Lim Zn = a si ꓯ Ԑ > 0, n Ꞓ IN / ꓯ n > N => | zn – a| < Ԑ , N=entero positivo

n → ∞ Lim Zn = a Lim in^ / n n → ∞ n → ∞ Zn = in^ / n ; a = 0 | Zn – a| < Ԑ | in^ /n - 0 | < Ԑ | in^ / n | < Ԑ | i |n^ / n < Ԑ 1 / n < Ԑ Despejando n > 1 / Ԑ

Como condición está que n > N

N = [ n ] + 1

Número natural parte entera se suma cualquier valor entero (1, 2, 3,….)

Luego N = [n] + 1 N = [ 1/ Ԑ ] + 1 => n > N y la sucesión converge a cero.

Ejemplo 5, Investigue la convergencia de la sucesión.

ꓯ Lim Zn = a si ꓯ Ԑ > 0, n ϵ IN / ꓯ n > N => | zn – a| < Ԑ , N=entero positivo

n → ∞

Demostrar : Lim Zn = a Lim (n-1)/(4n+1) = 1/ n → ∞ n → ∞ Sol. Zn = (n-1)/(4n+1) ; a = ¼ | Zn – a| < Ԑ | (n-1)/(4n+1) – 1/4 | < Ԑ | -5 / ( 16n + 4 ) | < Ԑ 5 / ( 16n + 4 ) < Ԑ Despejando n > (5 – 4Ԑ / 1 6 Ԑ )

Como condición está que n > N

N = [ n ] + 1

Número natural parte entera se suma cualquier valor entero (1, 2, 3,….)

Luego N = [n] + 1 N = [(5 – 4Ԑ / 1 6 Ԑ )] + 1

Teorema 1. La sucesión Zn = xn + iyn converge en el número a = α + i β, si y solo si: Existe lim Zn = a lim xn = α n → ∞ → n → ∞ → a = α + i β lim yn = β n → ∞

La sucesión {zn} se denomina ACOTADA, si existe un número positivo M que para todos los elementos de zn, se cumple: | zn | ≤ M

Teorema 2. Cada sucesión es acotada, si:

lim zn = a lim τn = b

n → ∞ n → ∞

1) lim ( zn ± τn ) = ( a ± b )

n → ∞

2. lim ( zn ﮲ τn ) = ( a ﮲ b ) n → ∞
3. lim ( zn / τn ) = ( a / b ) n → ∞-

Teorema sobre limites de sucesiones

Ejemplo 7,

Demostrar que la sucesión Zn =( 3 +ni)/(n+ 2 ni) donde n= 1 , 2 , …

Zn = (3 +ni) * (n-2ni) = 3n +2n 2 + i (n^2 - 6 n) (n+2ni) (n-2ni) 5 n 2 5 n 2

Lim Zn = a Lim (3n +2n 2 ) / 5 n 2 = 2 / 5

n → ∞ n → ∞ Lim (n^2 - 6 n) / 5 n 2 = 1 / 5 n → ∞

Luego, la sucesión {Zn} = { ( 3 - ni)/(n+ 2 ni) } converge a ( 2 / 5 + i 1 / 5 )

Series Geométricas

∞

De la forma Sn = ∑ az k-^1 = a + az + az 2 + az^3 +... + az k-^1 +...

k= 1

Si Sn = a + az + az 2 + az 3... + az n-^1 z Sn = az + az 2 + az 3... + az n-^1

Sn - z Sn = a - az n Sn ( 1 - z) = a( 1 - z n^ ) Sn = a( 1 - z n^ ) / ( 1 - z)

Como Lim Sn = L n → ∞

Como Lim Sn = Lim a( 1 - z n^ ) / ( 1 - z) = a/( 1 - z) Lim ( 1 - z n^ ) n → ∞ n → ∞ n → ∞

Para |z| < 1 , => z n^ → 0

luego Lim Sn = L = a/( 1 - z) n → ∞ es convergente ꓯ z / |z| < 1

Caso particular:

de ∞ Sn = ∑ az k-^1 = a + az + az 2 + az^3 +... + az k-^1 +.. = a( 1 - z n^ ) / ( 1 - z). k= Para a=1, |z| < 1

∞ Sn = ∑ z k-^1 = 1 + z + z 2 + z^3 +... + z n^ = 1 / ( 1 - z) n= Para a=1, z=-z, donde |-z| = |z| < 1

∞ Sn = ∑ z k-^1 = 1 - z + z 2 - z^3 +... + z n^ = 1 / ( 1 +z) n=

1. Condición necesaria de la convergencia

Teoremas

2. Prueba de n-’esimo término para la divergencia

3. Convergencia absoluta y condicional

Ejemplos: