Prepara tus exámenes
Consigue puntos
Orientación Universidad
Vende en Docsity
Docsity AI

Prepara tus exámenes

Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity

Consigue puntos base para descargar

Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium

Orientación Universidad

Vende en Docsity

Docsity AI

Inicia sesión Regístrate

Prepara tus exámenes

Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity

Busca documentos

Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity

Busca tu universidad

Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad

Video Cursos

Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades

Quiz

Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación

Docsity AINEW

Resume tus documentos, hazles preguntas, conviértelos en quiz y mapas conceptuales

Ver preguntas

Despeja tus dudas leyendo las respuestas a las preguntas que realizaron otros estudiantes como tú

Consigue puntos base para descargar

Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium

Compartir documentos

20 Puntos

Por cada documento subido

Responde a las preguntas

5 Puntos

por cada respuesta dada (máx. 1 al día)

Todos los modos para conseguir puntos gratis

Consigue puntos de inmediato

Elige un plan Premium con todos los puntos que necesitas.

Oportunidades de estudio

Elige tu próximo programa de estudio

Ponte en contacto inmediatamente con las mejores universidades del mundo. Busca entre miles de universidades en todo el mundo. Busca entre miles de universidades partner oficiales

Comunidad

Pregúntale a la comunidad

Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio

Ebooks gratuitos

¡Nuestros e-books salva-estudiantes!

Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity

Números complejos, Ejercicios de Matemáticas Aplicadas

Pontificia Universidad Católica del Ecuador (PUCE) - Quito Matemáticas Aplicadas

Este documento proporciona una explicación detallada sobre los números complejos, incluyendo los diferentes tipos de números (naturales, enteros, racionales, irracionales y reales), las operaciones con números complejos (igualdad, adición, multiplicación), el plano complejo, el conjugado complejo, la forma polar y los teoremas de demoivre y euler. También se presentan ejemplos y aplicaciones de los números complejos, como la resolución de ecuaciones polinómicas y la representación gráfica de las raíces de la unidad. El documento cubre los conceptos fundamentales de los números complejos de una manera clara y comprensible, lo que lo hace útil para estudiantes universitarios y de bachillerato que estén aprendiendo sobre este tema.

Tipo: Ejercicios

2023/2024

Subido el 03/06/2024

alejandra-guerrero-76 🇪🇨

1 / 28

Esta página no es visible en la vista previa

¡No te pierdas las partes importantes!

Complex numbers

ICAM O1 - ALEJANDRO ALJURE 62

Types of Numbers: Natural, Integers, Rational, Irrational, and Real Numbers

The different types of numbers are explained in this video in an easy to understand way.

Download my notes in the video: https://www.dropbox.com/s/k23v4be4z2yk57j/25%20-%20Types%20of%20Numbers%2C%20rational%20integers.pdf?dl=0

Documentos relacionados

Números Complejos y sus propiedades

Números Complejos - Apuntes - Matematicas

(1)

Números Complejos - 1º Bachillerato - Teoría y ejercicios resueltos

Apuntes sobre los Números Complejos

Números complejos

ejercicios complejos

Números complejos, ejercicios

Números complejos

Actividad 4. Números complejos

Numeros complejos Ejericicos

NUMEROS COMPLEJOS EJERCICIOS

Ejercicios números complejos

Vista previa parcial del texto

¡Descarga Números complejos y más Ejercicios en PDF de Matemáticas Aplicadas solo en Docsity!

Complex numbers

ICAM O1 - ALEJANDRO ALJURE (^62)

Types of Numbers: Natural, Integers, Rational, Irrational, and Real Numbers The different types of numbers are explained in this video in an easy to understand way. Download my notes in the video: https://www.dropbox.com/s/k23v4be4z2yk57j/25%20-%20Types%20of%20Numbers%2C%20rational%20integers.pdf?dl=0 Related Video: Imaginary Numbers: http://youtu.be/iLGopblJ1Pc Transcendental Numbers - A Simple Explanation: http://youtu.be/TN1K7unzN2k. ------------------------------------------------------ SUBSCRIBE via EMAIL: https://mes.fm/subscribe DONATE! ʕ •ᴥ•ʔ https://mes.fm/donate Like, Subscribe, Favorite, and Comment Below! Follow us on: Official Website: https://MES.fm Steemit: https://steemit.com/@mes Gab: https://gab.ai/matheasysolutions Minds: https://minds.com/matheasysolutions Twitter: https://twitter.com/MathEasySolns Facebook: https://fb.com/MathEasySolutions LinkedIn: https://mes.fm/linkedin Pinterest: https://pinterest.com/MathEasySolns Instagram: https://instagram.com/MathEasySolutions Email me: [email protected] Try our Free Calculators: https://mes.fm/calculators BMI Calculator: https://bmicalculator.mes.fm Grade Calculator: https://gradecalculator.mes.fm Mortgage Calculator: https://mortgagecalculator.mes.fm Percentage Calculator: https://percentagecalculator.mes.fm Try our Free Online Tools: https://mes.fm/tools iPhone and Android Apps: https://mes.fm/mobile-apps

Complex numbers Number sets

Complex

2i Imaginary^5 i

3i (^196) i

Complex numbers Imaginary: k i, k ∊ ℝ

Complex number: x + iy, x,y ∊ ℝ.

➢Real numbers are of the form: x + i(0) ℝ ⊂ ℂ

i = − 1 Real part Imaginary part ℂ = {x + iy, x,y ∊ℝ, i = − 1 }

Also written as j

Complex 2i Imaginary^5 i

3i (^169) i

Complex numbers

Fundamental theorem of algebra A polynomial of degree n has exactly n complex roots (including repeated ones)

𝑦^ 𝑦 == 𝑥𝑥^22 −= 20 = 0

𝑦 = 𝑥^2 + 1 = 0

Degree 2 Degree 1

Operations: Complex numbers

Equality: x 1 + iyC 11 = C= x 22 + iy 2 ⇔ x 1 = x 2 , y 1 = y 2

Addition: (x 1 + iyC 1 ) + (x 1 + C 22 + iy 2 ) = (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 )

Multiplication: rC C 1 1 * C = r(x + 2 = (x 1 iy + iy) = 1 rx).(x + i 2 + iy ry 2 ) = (x 1 x 2 - y 1 y 2 ) + i(y 1 x 2 + x 1 y 2 )

C C 12 = x= x 12 + iy+ iy (^12) x 1 ,x 2 , y 1 , y 2 , r ∊ ℝ

Complex numbers

Example: How much is 3 + 4i multiplied by 7 + 11i?

(3 + 4i) * (7 + 11i) = 37 + 311i + 4i7 + 4i11i

= 21 + 33i + 28i + 44i^2

= 21 + 61i + 44(-1)

= - 23 + 61i

Complex numbers The complex plane (or Argand’s plane)

➢ ➢xy--axis: Real partaxis: Imaginary part

To write a number z: 1. 2. As a point (As a vector with componentsx,y) x,y

Point (r,θ)

Which number is greater? z 1 = 3 + 2i ó z 2 = 2 + 4i

𝜃 = tan−^1 𝑦 𝑥 𝑟 𝑟 21 == 2322 ++ 4222 == 2 135 == 34 ,, 4761 𝒓𝟏 < 𝒓𝟐

r is the norm or magnitude, absolute value, modulus

Complex numbers The complex plane (or Argand’s plane)

➢Subtraction (negative sum): 𝑧 𝑧 12 == 𝑥𝑥 12 ++ 𝑖𝑖𝑦𝑦 (^12) 𝑧^ 𝑧^1 −^ 𝑧^2 =^ 𝑥^1 −^ 𝑥^2 +^ 𝑖(𝑦^1 −^ 𝑦^2 ) 1 −^ 𝑧 2 =^ 𝑥 1 −^ 𝑥 2 2 +^ 𝑦 1 −^ 𝑦 2 2

JUST LIKE WITH VECTORS !!

➢ Complex numbers Example:

Calculate 31 ++4𝑖2𝑖 and write the solution in the standard form 𝑥 + 𝑖𝑦

Complex Conjugate Complex numbers

➢Properties:

𝑧 ∗^ 𝑧 𝑧+ҧ =^ 𝑧 ҧ^ =𝑎^ +𝑎 𝑖𝑏+^ 𝑖𝑏∗^ +𝑎 −𝑎 𝑖𝑏^ − 𝑖𝑏=^ 𝑎=^2 +2𝑎 𝑏^2 (^1) 𝑧 = (^1) 𝑧 ∗ 𝑧 𝑧ҧ ҧ = (^) 𝑧𝑧 ҧ 2

𝐼𝑓 𝑧 = 1 , (^1) 𝑧 = 𝑧ҧ

Real number

Polar form Polar form: ➢ ➢𝑅𝑒𝐼𝑚 == 𝑟𝑟 cossin 𝜃𝜃 ➢𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 = = 𝑟𝑟 coscos 𝜃 𝜃 + + 𝑖𝑟 𝑖 sinsin 𝜃𝜃
Multiplication: ➢𝑧 1 ∗ 𝑧 (^2) = = 𝑟 1 𝑟 (^1) 𝑟 2 coscos 𝜃 𝜃 1 1 + cos 𝑖 sin 𝜃 2 𝜃− (^1) sin∗ 𝑟 𝜃 21 cossin 𝜃𝜃 22 ++ 𝑖𝑖 sinsin 𝜃 𝜃 (^21) cos 𝜃 2 + cos 𝜃 1 sin 𝜃 2

➢𝑧^ =^ 𝑟^1 𝑟^2 cos^ 𝜃^1 +^ 𝜃^2 +^ 𝑖^ sin^ 𝜃^1 +^ 𝜃^2 12 =^ 𝑧 1 ∗^ 𝑧 1 =^ =𝑟 1 𝑟𝑟 112 coscos^ 𝜃 21 𝜃+ 1 𝜃+ (^1) 𝑖+ sin^ 𝑖^ sin 2 𝜃^1 𝜃 1 +^ 𝜃 1 ➢𝑧 1 𝑛^ = 𝑟 1 𝑛^ cos 𝑛𝜃 1 + 𝑖 sin 𝑛𝜃 1

= in coordinate notation 𝑟, 𝜃 = 𝑟 1 𝑟 2 , 𝜃 1 + 𝜃 2 = 𝑟^ =^ 𝑟^12 ,^2 𝜃^1 1 𝑛,^ 𝑛𝜃^1 DeMoivre’s Theorem

Example Polar form : Multiply in polar form:

1. i and (1+i)

2. i and - 3i

Polar form Multiplication in polar form: ➢ ➢RotationScaling

➢Example: Show that the product of two negative real numbers is positive

Polar form Power series:

cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃 = 1 −^ 𝜃 22! +^ 𝜃 44! −^ 𝜃 66! +^ ⋯^ +^ 𝑖^ 𝜃^ −^ 𝜃 33! +^ 𝜃 55! −^ 𝜃 77! +^ ⋯ = 1 + 𝑖𝜃 − 𝜃 22! − 𝑖 3 𝜃!^3 + 𝜃 44! + 𝑖 5 𝜃!^5 − 𝜃 66! − 𝑖 7 𝜃!^7 + ⋯

= 1 + 𝑖𝜃 + 𝑖 2 𝜃!^2 + 𝑖 3 𝜃!^3 + 𝑖 4 𝜃!^4 + 𝑖 5 𝜃!^5 + 𝑖 6 𝜃!^6 + 𝑖 7 𝜃!^7 + ⋯ = 𝒆𝒊𝜽

𝑒𝑖𝜃^ = cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃 Euler’s equation

e exponential :i𝜃 -^ behaves like a trueeit (^) differentiates as expected:

- eeiia⋅^0 e^ = 1ib (^) = ei(a+b)