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An´alisis de una variable
Tema 6. Series num´ericas
1 Introducci´on y propiedades generales
El concepto de serie aparece al pretender dar sentido a la suma de los t´erminos de una sucesi´on indefinida de n´umeros. En el estudio de las series interesa adem´as de la suma, la serie en s´ı misma y la manera de converger a su suma.
No obstante, el principal inter´es de las series es el contrario, es decir, expresar un n´umero o una funci´on como suma de una serie.
Como la suma de infinitos n´umeros, no ha sido definida, podemos considerar las sumas parciales Sn = a 1 + a 2 + ... + an ∀n ∈ N. Estas sumas se aproximan cada vez mas a la suma buscada al crecer n. Es decir, la suma S = limn→∞ Sn. De todas formas, no todas las sucesiones Sn tienen l´ımite y a pesar de algunas ingeniosas extensiones de la definici´on sugerida como por ejemplo las sumas de Cesaro y Abel, algunas sucesiones carecen de suma.
Definici´on 1. Dada una sucesi´on {an} de n´umeros reales, si Sn = a 1 + a 2 + ... + an, la sucesi´on {Sn} se llama sucesion de sumas parciales.
Definici´on 2. Dada una sucesi´on {an} de n´umeros reales, se llama Serie de t´ermino general an, al par de sucesiones ({an}, {Sn}). Generalmente se utiliza la notaci´on
n=1 an.
Definici´on 3. La serie
n=1 an^ es^ convergente^ si la sucesi´on de sumas parciales, {Sn}, es convergente a S, S se dice suma de la serie y S =
n=1 an. Si la sucesi´on^ {Sn} no es convergente, se dice que la serie es divergente.
Proposici´on 1. Si
n=1 an^ y^
n=1 bn^ son dos series convergentes y^ α^ ∈^ R^ ⇒
i)
n=1(an^ +^ bn)^ es convergente y^
n=1(an^ +^ bn) =^
n=1 an^ +^
n=1 bn.
ii)
n=1 αan^ es convergente y^
n=1 αan^ =^ α^
n=1 an
Es evidente que todo resultado sobre sucesiones puede enunciarse para series, haciendo a 1 = S 1 y an = Sn − Sn− 1 y viceversa.
Teorema 1. Criterio General de Convergencia (Cauchy o del resto).
n=1 an es convergente si y solo si ∀ > 0 , ∃n 0 ∈ N tal que |
∑m k=n+1 ak|^ < ^ ∀m^ ≥^ n > n^0.
1
Dem.
Basta recordar que {Sn} es convergente si y solo si es de Cauchy, esto es si ∀ > 0 , ∃n 0 ∈ N tal que |Sm − Sn| < ∀m ≥ n > n 0. •
Teorema 2. Si
n=1 an^ es convergente^ ⇒^ an^ →^0
Dem.
Si
n=1 an^ es convergente^ ⇒^ ∃S^ ∈^ R^ tal que S^ = limn→∞^ Sn. Entonces,^ limn→∞^ an^ = = limn→∞(Sn − Sn− 1 ) = S − S = 0. •
∑^ Esta condici´on es solo necesaria. Por ejemplo la serie arm´onica, ∞ n=
1 n verif ica^ limn→∞^
1 n = 0^ pero no es convergente. Si lo fuese, dado > 0 , existiria n 0 ∈ N tal que ∀n > n 0 y ∀p ∈ N tendr´ıamos 1 n+1 +^
1 n+2 +^ ...^ +^
1 n+p ≤^ . Tomando^ p^ =^ n y ^ =^
1 2 ⇒ ⇒ (^) n+1^1 + (^) n^1 +2 + ... + (^) n+^1 n > (^21) n + (^21) n + ... + (^21) n = 2 nn = 12 , absurdo.
Para series de t´erminos positivos mon´otonas decrecientes, se puede dar la siguiente condici´on que es m´as fuerte que la anterior.
Teorema 3. Sea {an}, an ≥ 0 ∀n ∈ N y a 1 ≥ a 2 ≥ ... ≥ an ≥ .... Si
n=1 an^ es convergente ⇒ limn→∞ nan = 0.
Dem.
Sea n ∈ N, entonces S 2 n −Sn = an+1 +an+2 +...+a 2 n ≥ na 2 n ≥ 0 ⇒ limn→∞ na 2 n = 0
Por otra parte, S 2 n+1 − Sn = an+1 + an+2 + ... + a 2 n + a 2 n+1 ≥ (n + 1)a 2 n+1 ≥ 0 ⇒ limn→∞(n + 1)a 2 n+1 = 0 ⇒ limn→∞(2n + 1)a 2 n+1 = limn→∞(2(n + 1)a 2 n+1 − a 2 n+1) = 0.
De limn→∞ 2 na 2 n = 0 y limn→∞(2n + 1)a 2 n+1 = 0, concluimos
limn→∞ nan = 0. •
Ejemplo.
n=
1 n es divergente, porque^ {^
1 n }^ es positiva y decreciente y limn→∞ n (^) n^1 = 1 6 = 0
La Serie Geom´etrica.
n=1 r n (^) = 1 + r + r (^2) + ... + rn (^) + ...
Si |r| ≥ 1 ⇒ rn^ no tiende a 0 y la serie diverge. Si |r| < 1 , ⇒ Sn = 1 + r + r^2 + ... + rn^ = 1 −r
n+ 1 −r. Pasando al l´ımite,^ S^ =^
1 1 −r.
Ejemplo
n=1(
1 2 )
n (^) = 12 1 − 12 = 1
4.- Si α > 1 ⇒ (^11) α > (^21) α > ... > (^) n^1 α > ... decreciente. Por el criterio de condensaci´on,
∑∞ k=1 2
k 1 (2k^ )α^ =^
k=1 2
(1−α)k.
Esta es una serie geom´etrica con r = 2^1 −α^ y sabemos que converge si y solo si | 21 −α| < 1 ⇔ 21 −α^ < 1 ⇒ 1 − α < 0 ⇔ α > 1. Resumiendo, si
α > 1 la serie
k=
1 nα^ es convergente y
α ≤ 1 la serie
k=
1 nα^ es divergente.
Teorema 6. Criterio de comparaci´on. Sean
n=1 an^ y^
n=1 bn^ dos series de t´erminos positivos, α ∈ R i) Si ∃n 0 N tal que bn ≤ αan ∀n ≥ n 0 y
n=1 an^ es convergente, entonces,^
n=1 bn^ es convergente. ii) Si ∃n 0 N tal que an ≥ αbn ∀n ≥ n 0 y
n=1 bn^ es divergente, entonces,^
n=1 an^ es divergente.
Dem.
i) Sean Sn =
∑n k=1 ak^ y Tn^ =^
∑n k=1 bk.
Como bn ≤ αan ∀n ≥ n 0 ⇒
∑n k=n 0 bk^ ≤^ αSn,^ ∀n^ ≥^ n^0.
Como
n=1 an^ es convergente, la sucesi´on^ {αSn}^ es acotada y^ ∃M^ ∈^ R^ tal que αSn ≤ M ∀n ∈ N ⇒ Tn =
∑n k=1 bk^ =^
∑n 0 − 1 k=1 bk^ +^
∑n k=n 0 bk^ ≤^ Tn^0 −^1 +^ M^ ∀n^ ≥^ n^0 ⇒ ⇒ {Tn} es acotada y
n=1 bn^ converge.
ii) An´alogo al anterior. •
Este criterio es utilizado para estudiar series de aspecto muy complicado.
Ejemplos i)
n=
3+sin^2 n 2 n+n.
Evidentemente, 0 ≤ 3+sin
(^2) n 2 n+n ≤^
3+ 2 n+n =^
4 2 n+n ≤^
4 2 n^ = 4^
1 2 n^.
La serie
n=
1 2 n^ es geom´etrica convergente^ ⇒^
n=
3+sin^2 n 2 n+n es convergente.
ii)
n=
n+ n^2 +1 Es evidente que es de t´erminos positivos y^
n+ n^2 +1 ≥^
n n^2 +
n luego divergente.
En lo sucesivo, cuando no haya duda, denotaremos la serie simplemente por
an
Corolario 1. Sea limn→∞ a bnn = β > 0 i) Si β = 0 ∧
bn convergente ⇒
an convergente
ii) Si β > 0 las dos series
an y
bn tienen el mismo car´acter. iii) Si β = +∞ ∧
an divergente ⇒
bn divergente.
Dem.
i) Si limn→∞ a bnn = 0 ⇒ an << bn ∀n > n 0 ⇒ si
∑ bn^ convergente^ ⇒ an convergente. •
Ejemplos i)
n=
2 n+ n^2 +2n+5. Es divergente ya que limn→∞
2 n+ n^2 +2 1 n+ n
= 2 > 0 y la serie ∑∞ 1
1 n es divergente.
ii)
0
1
- 3 n+n es convergente porque limn→∞
1
- 3 n 1 +n 3 n
= 12 > 0 y la serie
0
1 3 n^ es convergente.
Teorema 7. Criterio de Pringsheim Sea
an ∧ an > 0. Si: para α > 1 es limn→∞ nαan < +∞ ⇒ la serie es convergente. para α ≤ 1 es limn→∞ nαan > 0 ⇒ la serie es divergente.
Dem.
Basta tener en cuenta que este criterio se limita a comparar la serie dada con la arm´onica generalizada
nα^.^ •
Teorema 8. Criterio logar´ıtmico Sea
an ∧ an > 0. Si:
limn→∞
ln (^) an^1 ln n >^1 ⇒^ la serie es convergente.
limn→∞
ln (^) an^1 ln n <^1 ⇒^ la serie es divergente.
Dem.
Si limn→∞
ln (^) an^1 ln n >^1 ∃^ β >^1 y n^0 ∈^ N^ tal que^ ∀n^ ≥^ n^0
ln (^) an^1 ln n > β >^1 ⇒ ⇒ ln (^) a^1 n > ln nβ^ ⇒ (^) a^1 n > nβ^ ⇒ an < (^) n^1 β que es una serie arm´onica generalizada convergente ⇒
an convergente.
An´alogamente el otro caso. •
Teorema 9. Criterio de Cauchy o de la raiz. Sea
an ∧ an > 0 y λ = limn→∞ n
an. Entonces si: λ < 1 ⇒
an es convergente λ > 1 ⇒
an es divergente λ = 1 el criterio no decide.
Dem.
Si λ < 1 ∃β ∈ R tal que λ < β < 1 y ∃ n 0 ∈ N tal que n
an < β ∀n ≥ n 0 ⇒
α 2 an^0 +1^ <^
an 0 bn 0 −^
an 0 + bn 0 + α 2 an^0 +2^ <^
an 0 + bn 0 +1 −^
an 0 + bn 0 + α 2 an^0 +3^ <^
an 0 + bn 0 +2 −^
an 0 + bn 0 + .................................................................... α 2 an+1^ <^
an bn −^
an+ bn+
Sumando, α 2 (an 0 +1 + an 0 +2 + ... + an + 1) < a bnn^0 0 − a bnn+1+1 < a bnn^0 0 ∀n ≥ n 0 ⇒ α 2 (Sn+1^ −^ Sn^0 )^ <^
an 0 bn 0 ∀n^ ≥^ n^0 ⇒^ {Sn}^ est´a acotada y^
an es convergente.
Reciprocamente, si
an es convergente, sea S = limn→∞ Sn y bn = (^) S−anSn > 0.
Entonces, (^) b^1 n a^ ann+1 − (^) bn^1 +1 = S− anSn a^ ann+1 − S− anS+1n+1 = 1 ⇒ limn→∞( (^) b^1 n a^ ann+1 − (^) bn^1 +1 ) = 1 > 0. •
Teorema 12. Criterio de Raabe. Sea
an ∧ an > 0 y sea β = limn→∞ n( (^) anan+1 − 1). Entonces, si β > 1 la serie es convergente. β ≤ 1 la serie es divergente.
Dem.
Como la serie
n es divergente, aplicando el criterio de Kummer para^ bn^ =^
1 n ⇒ β = limn→∞ n (^) aann+1 − (n + 1) = limn→∞ n( (^) aann+1 − 1) − 1 ⇒ limn→∞ n( (^) aann+1 − 1) = β − 1.
Por tanto,
an ser´a convergente ⇔ β − 1 > 0 ⇔ β > 1. •
3 Series Alternadas
Definici´on 4. Se dice que la serie
an es alternada si an.an+1 < 0 ∀n ∈ N. Ejemplo, 1 , − 2 , 3 , − 4 , , ..., 2 n − 1 , − 2 n, 2 n + 1, ....
Teorema 13. Criterio de Leibnitz. Si la serie
an es alternada, |an| ≥ |an+1|, ∀n ∈ N y limn→∞ an = 0 ⇒
an es convergente.
Dem.
Supongamos a 1 > 0 (si a 1 < 0 basta multiplicar la serie por − 1 ), y escribamos a 1 = b 1 ; a 2 = −b 2 ; a 3 = b 3 ; .... an = (−1)n+1bn, con lo que bn > 0 y bn > bn+1 ∀n ∈ N.
Las sumas parciales de orden impar forman una sucesi´on mon´otona decreciente
S 1 = b 1 S 3 = S 1 + a 2 + a 3 = S 1 − b 2 + b 3 = S 1 − (b 2 − b 3 ) ≤ S 1 S 5 = S 3 + a 4 + a 5 = S 3 − (b 4 − b 5 ) ≤ S 3
S 2 m+1 = S 2 m− 1 + a 2 m + a 2 m+1 = S 2 m− 1 − (b 2 m − b 2 m+1) ≤ S 2 m− 1 ...................................................... S 1 ≥ S 3 ≥ S 5 ≥ .... ≥ S 2 m− 1 ≥ S 2 m+1 ≥ .....
Y las sumas parciales de orden par forman una sucesi´on mon´otona creciente S 2 = a 1 + a 2 = b 1 − b 2 S 4 = S 2 + a 3 + a 4 = S 2 + b 3 − b 4 = S 2 + (b 3 − b 4 ) ≥ S 2 S 6 = S 4 + a 5 + a 6 = S 4 + (b 5 − b 6 ) ≥ S 4 ..................................................... S2(m+1) = S 2 m + a 2 m+1 + a 2 m+2 = S 2 m) + (b 2 m+1 − b 2 m+2) ≥ S 2 m ...................................................... S 2 ≤ S 4 ≤ S 6 ≤ .... ≤ S 2 m ≤ S 2 m+2 ≤ .....
Como S 2 n+1 − S 2 n = a 2 n+1 > 0 , podemos enlazar ambas sucesiones S 2 ≤ S 4 ≤ S 6 ≤ .... ≤ S 2 m ≤ ... ≤ S 2 m+1 ≤ S 2 m− 1 ≤ .... ≤ S 3 ≤ S 1 ⇒ S 2 n es creciente y acotada superiormente por S 1 y S 2 n+1 es decreciente y acotada inferiormente por S 2 , con lo que ambas son convergente, tienen l´ımite finito y limn→∞ S 2 n = limn→∞ S 2 n+1 ⇒
an es convergente. •
Ejemplo
(−1)n^1 n. Esta serie es convergente porque es alternada, decreciente en m´odulo y limn→∞ (^1) n = 0.
Constante de Euler Una serie muy notable es 1 − ln 21 + 12 − ln 32 + 13 − ln 43 + ... + (^1) n − ln n+1 n + (^) n^1 + ....
Es una serie alternada, limn→∞ (^1) n = 0 y limn→∞ ln n+1 n = 0, con lo que el t´ermino general tiende a cero y la sucesi´on de los valores absolutos de sus t´erminos es decreciente ya que (1 + (^) m^1 )m^ < e < (1 + (^) m^1 )m+1^ y tomando neperianos y operando,
m ln(1 + (^) m^1 ) < 1 < (m + 1) ln(1 + (^) m^1 ) ⇔ m ln m m+1 < 1 < (m + 1) ln m m+1 ⇒
⇒ ln m m+1 < (^) m^1 ∧ (^) m^1 +1 < ln m m+1 ⇒ (^) m^1 +1 < ln m m+1 < (^) m^1 decreciente.
Por el criterio de Leibnitz, la serie es convergente. Su suma es la constante de Euler C = 0, 5772156649 ...
Aplicaciones Para el c´alculo de la suma de determinadas series se utiliza la constante de Euler. Para ello vamos a ver algunas relaciones.
Si U 2 m− 1 = 1 − ln 21 + 12 − ln 32 + 13 − ln 43 + ... − ln (^) mm− 1 + (^) m^1 =
= 1 + 12 + 13 + ... + (^) m^1 − (ln 21 + ln 32 + ln 43 + ... + ln (^) mm− 1 ) = Hm − ln m, siendo Hm la suma m-´esima de la serie arm´onica ⇒
a+ n =
an si an ≥ 0 ,
0 si an < 0
a− n =
an si an ≤ 0 ,
0 si an > 0.
Entonces, si
an es absolutamente convergente, las series
an y
|an| son conver- gentes y por consiguiente tambien lo son las series
a+ n = 12 (
an +
|an|) y
a− n = 12 (
an −
|an|)
.
Reciprocamente, si las series anteriores son convergentes, como
|an| =
(a+ n − a− n ) =
a+ n −
a− n la serie
|an| converge. •
5 Convergencia incondicional
Definici´on 6. Sea
an una serie y f : N → N una aplicaci´on biyectiva, es decir una permutaci´on de N. Sea a′ n = af (n). Decimos que la serie
∑ a′^ n^ es una reordenaci´on de an.
Si {Sn} y {S′ n} son las sucesiones de sumas parciales de las series
an y
a′ n respectivamente, en general son distintas. Interesa ver bajo que condiciones todas las reordenaciones de una serie convergente son convergentes, y si tendr´an la misma suma. Surge as´ı, la siguiente definici´on.
Definici´on 7. Se dice que
an es incondicionalmente convergente, si toda reorde- naci´on de
an converge hacia la misma suma. En otro caso, supuesta convergente , se dice condicionalmente convergente
Lema 1. Toda serie de t´erminos positivos,
an, convergente, es incondicionalmente convergente.
Dem.
Sea
a′ n una reordenaci´on de
an y {S′ n} y {Sn} las sucesiones de sumas parciales.
Como a′ n = af (n) ∀n ∈ N, dada la suma parcial S′ n, si tomamos m = max{f (1), f (2), ..., f (n)} evidentemente S n′ ≤ Sm ≤ S =
an, luego la sucesi´on {S n′} que por ser de t´erminos positivos es creciente, tambi´en est´a acotada y por lo tanto es convergente.
Si S′^ = limn→∞ S′ n evidentemente S′^ ≤ S.
Analogamente, si consideramos
an como una reordenaci´on de
a′ n, llegamos a S ≤ S′^ y de las dos desigualdades ⇒ S′^ = S. •
Teorema 16. Toda serie
an absolutamente convergente es incondicionalmente conver- gente.
Dem.
Sean S =
an ∧ S 1 =
a+ n ∧ S 2 =
a− n ⇒ S = S 1 + S 2
Si bn = −a− n ≥ 0 ∀n ∈ N ⇒
an =
a+ n −
bn que son series convergentes de t´erminos positivos y por consiguiente incondicionalmente convergentes. •
Teorema 17. Teorema de Riemann. Si la serie
an es condicionalmente conver- gente, dado un n´umero real α cualquiera, existe una reordenaci´on
bn de
∑ an^ tal que bn = α.
Dem.
Sean a+ n y a− n como en el lema anterior.
Como
∑ an^ es condicionalmente convergente no es absolutamente convergente y a+ n y
a− n son divergentes.
Sea p 1 el menos n´umero natural tal que a+ 1 + a+ 2 + ... + a+ p 1 > α y q 1 el menor n´umero natural tal que (a+ 1 + a+ 2 + ... + a+ p 1 ) + (a− 1 + a− 2 + ... + a− q 1 ) < α analogamente, p 2 el menor natural tal que (a+ 1 + a+ 2 + ... + a+ p 1 ) + (a− 1 + a− 2 + ... + a− q 1 ) + (a+ p 1 +1 + a+ p 1 +2 + ... + a+ p 2 ) > α y q 2 el menor n´umero natural tal que (a+ 1 +a+ 2 +...+a+ p 1 )+(a− 1 +a− 2 +...+a− q 1 )+(a+ p 1 +1+a+ p 1 +2+...+a+ p 2 )+(a− q 1 +1+a− q 1 +2+...+a− q 2 ) < α
Reiterando este proceso construimos las sucesiones de n´umeros naturales {pn} y {qn} estrictamente crecientes y la serie∑ bn = (a+ 1 + a+ 2 + ... + a+ p 1 ) + (a− 1 + a− 2 + ... + a− q 1 ) + (a+ p 1 +1 + a+ p 1 +2 + ... + a+ p 2 )+ +(a− q 1 +1 + a− q 1 +2 + ... + a− q 2 ) + ... que resulta de permutar los t´erminos de
an.
Veamos que la sucesi´on {Sn} de sumas parciales converge a α.
Sea m ∈ N con p 1 + q 1 ≤ m. Entonces, para alg´un n ∈ N Sm ser´a de una de las formas siguientes:
- Spn+qn
- Spn+qn + (a+ pn+1 + a+ pn+2 + ... + a+ m) con m < pn+
- Spn+1+qn
- Spn+1+qn + (a− qn+1 + a− qn+2 + ... + a− h ) con h < qn+
Lema 2. Sea {an} una sucesi´on mon´otona y acotada y {sn} una sucesi´on acotada. Si un = (an − an+1)sn se verifica que la serie
un es absolutamente convergente.
Dem.
Como {sn} acotada, existe K > 0 tal que |sn| ≤ K ∀n ∈ N y por ser {an} monotona y acotada es convergente, limn→∞ an = a.
∑Consideremos las sumas parciales n k=1 |uk|^ =^
∑n k=1 |ak^ −^ ak+1||sk| ≤^ K^
∑n k=1 |ak^ −^ ak+1|.
Si {an} es mon´otona creciente, ak < ak+1 ⇒ |ak − ak+1| = ak+1 − ak ⇒ K
∑n k=1 |ak^ −^ ak+1|^ =^ K(an+1^ −^ a^1 )^ ≤^ K(a^ −^ a^1 ) =^ K|a^ −^ a^1 |^ ⇒^
∑n k=1 |uk| ≤^ K|a^ −^ a^1 |, es decir la sucesi´on de sumas parciales est´a acotada y
|un| es convergente ⇒
un es absolutamente convergente.
Si {an} es mon´otona decreciente, ak > ak+1 el proceso es el mismo pero |ak − ak+1| = ak − ak+1, llegando igualmente a
∑n k=1 |uk| ≤^ K|a^ −^ a^1 |, y por consiguiente a que
un absolutamente convergente. •
Teorema 20.∑ Criterio de Dirichlet. Si {an} es mon´otona y limn→∞ an = 0 y si la serie bn tiene sus sumas parciales acotadas, entonces la serie
anbn es convergente.
Dem.
Sea Sn =
∑n ∑n k=1^ bk. Consideremos, k=1 akbk^ =^ a^1 b^1 +^ a^2 b^2 +^ ...^ +^ an−^1 bn−^1 +^ anbn^ = = a 1 S 1 + a 2 (S 2 − S 1 ) + a 3 (S 3 − S 2 ) + ... + an− 1 (Sn− 1 − Sn− 2 ) + an(Sn − Sn− 1 ) = = (a 1 − a 2 )S 1 + (a 2 − a 3 )S 2 + ... + (an− 1 − an)Sn− 1 + anSn =
∑n k=1(ak^ −^ ak+1)Sk^ +^ anSn.
Si llamamos un a, (an −an+1)Sn la serie
un verifica las hip´otesis del lema anterior ya que {an} es mon´otona y acotada y {Sn} acotada, entonces,
un es absolutamente convergente y en consecuencia convergente, luego existe limn→∞
∑n k=1 uk^ =^ u.
De aqu´ı que limn→∞
∑n k=1 akbk^ = limn→∞
∑n− 1 k=1 uk^ + limn→∞^ anSn
Como limn→∞ an = 0 y Sn acotada ⇒ limn→∞ anSn = 0 ⇒ ⇒ ∃ limn→∞
∑n k=1 akbk^ =^ u^ y la serie es convergente.^ •
Teorema 21. Criterio de Abel. Si {an} es mon´otona y acotada y la serie
bn es convergente, entonces la serie
anbn es convergente.
Dem.
Sea Sn =
∑n k=1 bk, acotada por ser la serie^
bn convergente y S =
bn. Como {an} es mon´otona y acotada es convergente y sea a su l´ımite. Procediendo como en el criterio
de Dirichlet,
∑n k=1 akbk^ =^
∑n k=1(ak^ −^ ak+1)Sk^ +^ anSn.
Sea un = (an − an+1)Sn. La serie
un verifica las hip´otesis del lema anterior , entonces,
un es absolutamente convergente y en consecuencia convergente, luego existe limn→∞
∑n k=1 uk^ =^ u.
De aqu´ı que limn→∞
∑n k=1 akbk^ = limn→∞
∑n− 1 k=1 uk+limn→∞^ anSn^ =^ u+limn→∞^ anSn^ = = u + aS y la serie es convergente. •
