Teoría. Series numéricas., Apuntes de Cálculo para Ingenierios

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SERIES NUMÉRICAS

Series numéricas.

Series de términos positivos.

Series alternadas.

Series de términos positivos y negativos.

Series numéricas.

Definición.

Sea a 1 (^) , a 2 ,....., an ,...una sucesión de números reales de término general { a (^) n }.

A partir de la sucesión anterior definimos una nueva sucesión de término general (^) { Sn (^) } que

corresponde a las sumas parciales:

1 1

2 1 2

3 1 2 3

1 2 3

n n

S a

S a a

S a a a

S a a a a

Se le denomina serie numérica al par { an (^) } ,{ Sn }   y se designa mediante 1

n n

a

∞

=

∑.

Definición

Diremos que la serie 1

n n

a

∞

=

∑ es convergente cuando existe y es finito el siguiente límite:

lim (^) n n

S S

→∞

en tal caso diremos que S es la suma de la serie, es decir

1 2 1

n ...^ n ... n

S a a a a

∞

=

= (^) ∑ = + + + +

Si el límite es infinito diremos que la serie es divergente y si no existe la serie es oscilante.

La definición anterior plantea dos cuestiones a resolver:

• ¿Cuándo una serie es convergente o divergente?

A esta cuestión responderemos mediante el uso de los criterios de convergencia, íntimamente

relacionados con el cálculo de límites de sucesiones, y que constituyen condiciones suficientes para la

convergencia o divergencia de la serie propuesta.

• Caso de ser convergente ¿cuál es su suma?

El cálculo de la suma de una serie se puede realizar de forma directa en algunos casos como en las

progresiones, series telescópicas, hipergeométricas, etc.

Posteriormente se estudiará su cálculo aproximado, respondiendo a la pregunta de cuantos términos

debemos tomar para obtener la suma de la serie con un error menor que un valor previamente elegido.

En general el análisis de las series no se puede realizar a través de la sucesión de sus sumas parciales,

ya que salvo casos muy concretos determinar su término general supone grandes dificultades.

Clasificación de las series según sus términos

Términos positivos an ≥ 0 ∀ n ≥ 1

Alternadas an ⋅ a (^) n + 1 < 0 ∀ n ≥ 1 1

a n

∞

Términos positivos y negativos

Condición necesaria de convergencia

Criterio general de convergencia (Cauchy).-

1

n n

a

∞

=

∑ es convergente^ ⇔ ∀^ ξ^ >^ 0,^ ∃^ n 0 ∈^ `^ tal que^

n n 0

h

∀ ∈ `

⇒ an + 1 + an + 2 + "+ an + h < ξ

Proposición.-

Si la serie 1

n n

a

∞

=

∑ es convergente entonces^ nlim → ∞ an =^0

Corolario.-

Si (^) n n

lima → ∞

es distinto de cero la serie no es convergente

Ejemplo:

La serie 1

n^3

n

n

∞

∑ es una serie no convergente dado que^

3

2

3 1

2

→∞ (^) n +

n lim n

es distinto de cero

Veamos por último que la condición establecida en la proposición es necesaria pero no es suficiente a

través de la denominada serie armónica:

∞ = + + + + 1

... 4

1

3

1

2

1 1

1

n

Consideramos las siguientes desigualdades:

Siguiendo en la forma anterior se observa que es posible hacer un número infinito de acotaciones. Sea

n k =. La suma parcial k -ésima de la serie armónica correspondiente a la suma de los 2

n primeros

términos cumplirá:

1

2

4

8

16

S n

S n

S n

S n

S n

Quedando en general:

S (^) k ≥ + n

pasando al límite:

lim lim (1 ) 2

k k n

S n → ∞ → ∞

en conclusión la serie

1

n n

∞

=

∑ es divergente pese a verificar la condición necesaria de convergencia

lim 0 n →∞ n

lo que pone de manifiesto que no es suficiente.

Series de términos positivos

Definición.-

Diremos que la serie 1

n n

a

∞

=

∑ de números reales es de términos positivos si^ an^ ≥^0 para todo número

natural n. Diremos que es de términos estrictamente positivos si an > 0 para todo n ≥ 1

Proposición.-

Las series de términos positivos convergen o divergen a +∞

Demostración.

La sucesión de sumas parciales será monótona creciente, si esta acotada tendrá límite y la serie será

convergente, si no esta acotada será divergente a +∞.

MAYORACIÓN.

Serie mayorante.-

Diremos que la serie 1

n n

a

∞

=

∑ es mayorante de la 1

n n

b

∞

=

∑ si para todo^ n^ ≥^ n 0 se verifica que^ an^ ≥ bn

Proposición.-

Si la serie 1

n n

a

∞

=

∑ es de términos positivos, convergente y mayorante de 1

n n

b

∞

=

∑ entonces la serie 1

n n

b

∞

=

∑

es convergente.

Demostración:

Como 1

n n

a S

∞

=

∑ = por ser convergente al ser mayorante:

0

n^0 n n

S b

∞

=

≥ (^) ∑ ≥

Por lo que

1

n n

b

∞

=

∑ será convergente al no verse afectado el carácter de la serie por la intercalación o

supresión de un número finito de términos.

Serie minorante.-

Diremos que la serie 1

n n

a

∞

=

∑ es minorante de 1

n n

b

∞

=

∑ si para todo^ n^ ≥^ n 0 se verifica que^ an^ ≤ bn

Proposición.-

Si la serie 1

n n

a

∞

=

∑ es de términos positivos, divergente y minorante de 1

n n

b

∞

=

∑ entonces la serie 1

n n

b

∞

=

∑ es

divergente.

Ejemplos:

a) La serie 1

n n

∞

=

∑ es convergente y verifica que en comparación con la serie 1

n n!

∞

=

∑ es^!^2

n n >

para todo n > 4 luego para todo n > 4 es (^) n n 2

1

!

1 < siendo por ello 1

n n!

∞

=

∑ una serie convergente.

b) La serie 1

n n

∞

=

∑ es divergente y al ser^ n^ ≤ n

α para todo n ≥ 1 con α < 1 será minorante de la

serie 1

n n

α

∞

=

∑ ; siendo 1

n n

α

∞

=

∑ divergente, con^ α^ <^1.

c) La serie 1

n n

α

∞

=

∑ con^ α^ > 1 cumplirá que:

1

( 1) 1 0 1

n n

α α α α α α α

α α α α α α α

α

α α α α α

α

∞ −

− −

−

∑

suma que corresponde a la de una progresión geométrica de razón menor que la unidad y por

tanto convergente.

Por tanto la serie 1

n n

α

∞

=

∑ con^ α^ > 1, está mayorada por una serie convergente y por tanto es

convergente.

En resumen:

1

n^1

convergente

n divergente

α

∞

=

∑

Ejemplo 1.-

Sea

1 1

n (^) n n n

a

∞ ∞

= =

∑ ∑ y 1 1

n (^) n n n

b

∞ ∞

= =

∑ =∑ que es una progresión geométrica convergente, como:

3 0

2

1

4 2

3

= = ≠

→∞

λ

n

n

n

lim y finito,

las dos series tienen el mismo carácter y por tanto

1

n n

a

∞

=

∑ es convergente también.

Ejemplo 2.-

Sea

1 1

n n n

a n

∞ ∞

= =

∑ ∑ y 1 1

n n n

b n

∞ ∞

= =

∑ =∑ que es divergente, como:

= +∞

→∞

n

n lim n (^) 1

1

1

será

1

n n

a

∞

=

∑ divergente.

CRITERIOS PARA PROBLEMAS.

Estos criterios sólo son aplicables a series de términos positivos.

Criterio de Pringsheim.-

Sea

1

n n

a

∞

=

∑ una serie de términos positivos para la que existe^ α^ ∈^ R^ tal que:

lim (^) n 0 n

n a c

α →∞

= ≠ (^) :

♦ si α > 1 la serie 1

n n

a

∞

=

∑ es convergente

♦ si α ≤ 1 la serie 1

n n

a

∞

=

∑ es divergente

Demostración:

Sea 1 1

n n n

b n

α

∞ ∞

= =

∑ =∑ aplicando el criterio de comparación por cociente:

λ

α = = → ∞ →∞ n n n

n n

limna b

a lim finito y distinto de cero, por tanto las dos series consideradas tienen el mismo

carácter, es decir:

Si α > 1 1

n n

α

∞

=

∑ será convergente y 1

n n

a

∞

=

∑ será convergente.

Si α ≤ 1 1

n n

α

∞

=

∑ será divergente y 1

n n

a

∞

=

∑ será divergente.

Ejemplo.-

La serie 3 1 1

n n n

a n n

∞ ∞

= =

∑ ∑ verifica que:

3

lim 1 n

n

n n

α

→ ∞

finito y distinto de cero, para

3 1 2

α = > luego se trata de una serie convergente.

Criterio de D´Alembert o del cociente.-

Si

1

n n

a

∞

=

∑ es una serie de términos estrictamente positivos y existe^

1 lim n n n

a

a

α

→∞

= (^) ⇒

♦ si α < 1 la serie es convergente

♦ si α > 1 la serie es divergente

♦ si α = 1 el criterio no decide

Criterio de Cauchy o de la raíz.-

Si

1

n n

a

∞

=

∑ es una serie de términos positivos y existe^ lim n^ n n

a α →∞

= (^) ⇒

♦ si α < 1 la serie es convergente

♦ si α > 1 la serie es divergente

♦ si α = 1 el criterio no decide

Nota: Se recuerda que cuando existe

1 lim n n n

a

a

→∞

éste coincide con lim^ n n n

a →∞

, por tanto si al aplicar el

criterio de D´Alembert (resp. Cauchy) el criterio no decide tampoco decidirá al aplicar el criterio de

Cauchy (resp. D´Alembert).

Criterio de Raabe.-

Si

1

n n

a

∞

=

∑ es una serie de términos estrictamente positivos y existe^ 1

lim 1 n n (^) n

a n a

α →∞ (^) +

   −^ =  

⇒

♦ si α > 1 la serie es convergente

♦ si α < 1 la serie es divergente

♦ si α = 1 el criterio no decide

Como por la condición [1] todas las expresiones entre paréntesis son positivas S (^) 2 k > 0 , siendo la

sucesión de sumas parciales correspondiente a un número par de términos monótona creciente,

reescribiendo su suma del modo siguiente:

2 1 2 3 4 5 2 2 2 1 2

1 2 3 4 5 2 2 2 1 2

k k k k

k k k

S b b b b b b b b

a b b b b b b b

− −

− −

se observa que por la condición [1] a la cantidad a 1 se le restan cantidades todas ellas positivas, por

tanto:

0 < S 2 (^) k < a 1

En resumen la sucesión de sumas parciales correspondiente a un número par de términos es monótona

creciente y está acotada superiormente , por tanto tiene límite:

0 lim (^2) k 1 k

S S a → ∞

Consideremos ahora la suma parcial correspondiente a un número impar de términos 2 ⋅ k + 1 :

S 2 (^) k + 1 = S 2 (^) k + b 2 (^) k + 1 = S 2 (^) k + a 2 k + 1

Tomando límites y considerando la condición [2]:

lim (^2) k 1 lim (^2) k lim (^2) k 1 0 k k k

S (^) + S a (^) + S S →∞ →∞ →∞

Por tanto lim (^) n n

S S

→ ∞

= para todo n siendo convergente la serie.

NOTA.- En las condiciones del teorema de Leibnitz si pretendemos evaluar la suma de la serie tomando

n términos:

S = Sn + an + 1 − an + 2 + .....= Sn + ξ

como el valor de ε viene dado por una serie alternada ξ < an + 1 es decir el valor absoluto del primer

término que se suprime.

Ejemplo:

La serie (^) ( )

1

1

n

n n

∞

=

∑ −^ =^ −^ +^ −^ + es una serie alternada que verifica:

> > > > y

lim 0 n → ∞ n

luego es convergente.

Para obtener su suma con error menor de 0.001 hay que tomar n términos siendo el error cometido

menor que el valor absoluto del primer término que se suprime luego:

n n

Es decir la suma de los 1000 primeros términos de la serie proporciona su suma con error menor de

0.001.

Series de términos positivos y negativos.

Definición.-

Se dice que una serie 1

n n

a

∞

=

∑ es absolutamente convergente si la serie 1

n n

a

∞

=

∑ es convergente.

Diremos que una serie 1

n n

a

∞

=

∑ es condicionalmente convergente cuando la serie 1

n n

a

∞

=

∑ es convergente

y la serie

1

n n

a

∞

=

∑ es divergente.

Ejemplo.-

La serie (^) ( )

1

1

n

n n

∞

=

∑ − es convergente, pero la de sus valores absolutos 1

n n

∞

=

∑ es divergente, por tanto

será condicionalmente convergente.

Teorema.-

Si una serie es absolutamente convergente entonces es convergente.

Demostración.-

Sean

1 1

n n

n k n k k k

S a y σ a

= =

= (^) ∑ =∑ las sumas parciales n -ésimas de la serie de términos positivos y

negativos, y de la serie de los valores absolutos. Sea pn la suma de los términos positivos de la serie

1

n n

a

∞

=

∑ comprendidos entre los n primeros, y^ qn^ la de los negativos, en estas condiciones:

S n = pn − qn y σ n = pn + qn

Como

1

n n

a

∞

=

∑ es convergente, existe y es finito el límite:

lim limp limqn p q n n n n n

= = + = + →∞ →∞ →∞

σ σ

pues pn y qn son monótonas crecientes y acotadas superiormente por σ por lo que tienen límite.

Tomando límites en Sn = pn − qn obtenemos

lim (^) n lim (^) n lim n n n n

S S p q p q → ∞ → ∞ → ∞

Luego

1

n n

a

∞

=

∑ también será convergente.

SUMA DE SERIES

Métodos directos

1.- Progresiones aritméticas y geométricas.

2.- Series aritmetico-geométricas.

3.- Series hipergeométricas

4.- Series telescópicas.

5.- Series sumables por descomposición en fracciones simples.

6.- Series formadas por términos de la armónica.

1.- Progresiones aritméticas y geométricas.

Progresión aritmética:

Una serie cuyos términos son de la forma:

a 1 (^) = a 1

a 2 (^) = a 1 + d

a 2 (^) = a 2 (^) + d = a 1 (^) + 2 ⋅ d

......................

an = an (^) − 1 + d = a 1 (^) + (^) ( n − (^1) )⋅ d

......................

Es una progresión aritmética, siendo divergente siempre salvo el caso trivial a 1 (^) = 0 , d = 0. Para

sumar un número finito de términos procederemos del modo siguiente:

1 2 3 2 1

1 2 3 2 1

...

...

S a a a a a a

S a a a a a a

n n n n

n n n n

= + + + + + +

= + + + + + +

− −

− −

2 S (^) n = ( a 1 + an )+( a 2 + an − 1 )+...+( an − 1 + a 2 )+( an + a 1 )= n ( a 1 + an )

n n

n a a S

Progresión geométrica:

Una serie cuyos términos son de la forma:

a 1 (^) = a 1

a 2 (^) = a 1 ⋅ r

2 a 2 (^) = a 2 (^) ⋅ r = a 1 ⋅ r

......................

1 1 1

n an an r a r

− = (^) − ⋅ = ⋅

......................

En definitiva se trata de la serie

1 1 1

n

n

a r

∞ −

=

∑ que al ser de términos positivos y negativos analizaremos

en valor absoluto:

1 1 1

n

n

a r

∞ −

=

∑ ⋅ D´alambert^

1

1 1

lim 1

n

n n

a r r a r → ∞ −

converge.

Ejemplo.-

Obtener la suma de la serie

0

n n

n n

∞

=

∑

Solución:

Descomponiendo en la forma:

0 0 0

n n n n

n n n n n n

S

∞ ∞ ∞

= = =

= (^) ∑ = (^) ∑ +∑

Se obtienen dos progresiones geométricas:

0 0

n

n n

r convergente a A

∞

=

∑

0 0

n

n n

r convergente b A

∞

=

∑

Obteniéndose la suma de la serie pedida:

S = A + B = + =

2.- Series aritmético-geométricas.

Son las series de la forma

1

n n n

a b

∞

=

∑ ⋅ en donde:

an = a 1 (^) + ( n − 1)⋅ d progresión geométrica

1 1

n bn b r

− = ⋅ progresión geométrica

Convergencia: Siendo una serie de términos positivos y negativos en general, la analizaremos en valor

absoluto por D`Alembert:

[ ]

(^1 1 1 ) 1 1 1

lim lim 1 ( 1)

n n n n n (^) n n n

a b a n d b r r a b (^) a n d b r

− →∞ →∞

luego es absolutamente convergente y por tanto convergente cuando lo es la progresión geométrica es

decir si r < 1 , siendo divergente en los demás casos.

Suma: Consideremos la suma de un número finito de términos:

1 1 2 2 3 3 1 1

1 2 2 3 3 4 1 1

n n n n n

n n n n n

S a b a b a b a b a b

r S a b a b a b a b a b

− −

− +

1 1 2 2 1 3 3 2 1 1

1 1 1 2

n n n n n n

n n n n

S r a b b a a b a a b a a a b

S r a b a b d b b

− +

Tomando límites cuando n →∞ y considerando que si r < 1 la serie es convergente y por tanto el

lim (^) n n 0 n

a b →∞

2 1 (1 ) (^1 1 0 1 ) 1 1

b d b r S r a b d a b r r

por tanto:

1 ( 1 ) 1 1

b d r S a r r

Ejemplo:

Sumar la serie

1

2 3

n

n

n

− − + − + +"

Se trata de una serie aritmético-geométrica en la que:

1

1 1

n n

n n^ n^ n^ n n n n

n a b a n b

∞ ∞ +

= =

∑ =^ ∑ ⋅^ →^ =^ =

por tanto:

a n = n progresión geométrica a 1 (^) = 1 d = 1

n

n bn 10

( 1 )

• 1 − = progresión geométrica 10

1

10

1 1

− b = r =

Convergencia: 1 10

1 r = < converge la serie aritmético-geométrica

Suma:

1 1

b d r S a r r

3.- Series hipergeométricas.

Son las series

1

n n

a

∞

=

∑ en las que se verifica: α γ

α β

⋅ +

⋅ +

n

n

a

a

n

n 1 [1]

Convergencia:

D`Alembert: 1

1

⋅ +

⋅ +

→∞

→∞ α γ

α β

n

n lim a

a lim n n

n n

no decide.

Raabe: α

γ β

α β

α γ − − = ⋅ +

⋅ + ⋅ − = ⋅ →∞

→∞

( 1 ) ( 1 ) 1 n

n limn a

a lim n n n

n n

Luego la serie hipergeométrica será convergente si verifica que:

> 1

−

α

γ β

Suma: Considerando [1] en la forma a (^) n + 1 ( α ⋅ n + γ)= an ( α⋅ n + β)y dando valores para obtener la suma

de un número finito de términos: