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Problemas Tema 2: Series de n´umeros reales
- Probar que las siguientes series son convergentes y calcular su suma:
a)
∑^ ∞
n=
n^2 + 3n − 5 (n + 1)!
b)
∑^ ∞
n=
n^2 + 3 n!
c)
n≥ 1
2 n + 5 3 n^
d )
n≥ 1
n^2 + 3 (n + 2)!
e)
n≥ 1
n (n + 1)(n + 2)(n + 3)
f )
n≥ 0
n^2 + n + 5 n!
g)
n≥ 0
2 n^2 + 4n − 5 n!
h)
n≥ 1
(n + 1)L(n + 2) − nL(n + 1) nL(n + 1)(n + 1)L(n + 2)
i)
n≥ 0
n^2 + n − 5 n!
j )
n≥ 0
n^2 + n + 1 n!
k )
n≥ 0
n^2 − 2 n + 1 n!
l )
n≥ 0
2 n^2 + 2n − 5 n!
m)
∑^ ∞
n=
2 n + 3 n!
n)
∑^ ∞
n=
n(n + 1)(n + 2)
˜n)
∑^ ∞
n=
n^2 − n + 4 n!
- Estudiar la convergencia de las siguientes series:
a)
nL(n^3 )
b)
n(L(n))^3 (16-09-2005 y 16-06-2003)
c)
nL(n^2 )
d )
n(L(n))^4 (16-09-2008 y 16-06-2003)
e)
nL(n^4 )
- Supongamos que
an y
bn son dos series de t´erminos positivos. Si
∑ an^ es convergente, bn es divergente y (^) nl´→∞ım bn = 0. ¿Qu´e se puede decir acerca de la convergencia de las siguientes series?
a)
(an + 1)bn (10-02-2003) b)
an(bn + 1) (10-02-2003)
c)
∑ (^) bn 1 + an
d )
anbn (10-02-2003)
e)
∑ (^) an an + bn
f )
∑ (^) an 1 + bn
g)
∑ (^) bn an
h)
∑ (^) an(bn + 1) an + bn
i)
∑ (^) bn an + bn
j )
∑ 2 nan bn
k )
∑ (^) anbn 1 + anbn
l )
∑ (^) a^2 n 1 + an
m)
∑ (^) anbn an + bn
n)
∑ (^) an bn (16-06-2009 y 10-02-2003)
(a) Demostrar que |S − sn| < an ∀ n ∈ N
(b) Aplicar el resultado anterior para conocer cu´antos sumandos de la serie
n≥ 1
(−1)n+^
n debemos sumar para obtener una aproximaci´on de S con un error menor que 0, 001.
(21-06-1999)
- (a) Definir: Serie convergente, absolutamente convergente y condicionalmente conver- gente. (b) Dar, si es posible, ejemplos de series en las siguientes situaciones: i. Una serie convergente que sume 1. ii. Una serie condicionalmente convergente que sume 1. iii. Una serie condicionalmente convergente y alternada que sume 1. iv. Una serie absolutamente convergente y alternada que sume 1. (09-02-2001)
- Enunciar dos criterios de convergencia de series. (14-09-2001)
- Supongamos que
an y
bn son dos series de t´erminos positivos divergentes. ¿Qu´e se puede decir acerca de la convergencia de las siguientes series?
a)
anbn
b)
∑ (^) an bn c)
∑ (^) an 1 + bn d )
∑ (^) an 2 n e)
2 nan
(10-06-2002)
- Demostrar que la suma de series convergentes es convergente. (18-09-2007, 17-06-2005)
