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SERIES INFINITAS.SERIES DE POTENCIAS.
Definiciones y notación.
A la suma de una sucesión de términos se denomina SERIE y el valor de dicha suma, si es que tiene alguno, se define como
S = n lim →∞ S n.
Un ejemplo de serie infinita, denominada así debido a que dicha sucesión es infinita, es la denominada serie geométrica, la cual se obtiene a partir de un térmno inicial
multiplicado por una cantidad constante, p. ej.. En este caso la cantidad inicial a es multiplicada por la cantidad constante r para obtener dicha serie infinita.
a + ar + ar^2 + ar^3 +⋅⋅⋅+ arn −^1 +⋅⋅ ⋅
En general una serie infinita significa una expresión de la forma a (^) 1 + a 2 + a 3 +⋅⋅⋅+ an +⋅⋅ ⋅,
donde las an son números o funciones dadas por alguna regla o fórmula. Los tres puntos significan que la serie nunca termina. Si se tiene duda de cómo es la regla usada en la formación e la serie, el término general o término n -ésimo deberá expresarse, p. ej. 12 + 22 +⋅⋅⋅+ n^2 +⋅⋅ ⋅
−
1!
3 1 2 n
x x x x
n n
También usaremos formas abreviadas para denotar las series, p. ej. para las series anteriores, la forma abreviada será
∞
= 1
2
n
n
∞
=
−
1
1
n
n n
n
x
Las aplicaciones de las series infinitas son muchas, pero mencionamos como lo más importante para nosotros en este momentos, su uso en la solución de problemas matemáticos que no pueden resolverse en términos de funciones elementales ( potencias, raíces, funciones trigonométricas y sus inversas, logaritmos y exponenciales y combinaciones de estos), o en caso de que puedan resolverse, es muy complicado trabajar con ellos. En estos casos encontramos una respuesta en función de una serie y usamos los términos requeridos de acuerdo a la presición deseada. Las ecuaciones diferenciales son resueltas en muchas ocasiones en función de series infinitas. Una integral definida,
por ejemplo, ∫ − , para la cual no hay solución en términos de funciones
- 1
0
2 e x dx
elementales, se puede resolver su expandiendo su integrando en una serie e integrando término a término dicha serie.
SERIES CONVERGENTES Y DIVERGENTES.
Existen series caracterizadas por tener una suma finita. Pero también existen series cuya suma no es finita. Si la serie tiene una suma finita, se denomina serie convergente , mientras que en caso contrario se denomina serie divergente. Es muy importante saber si una serie es o no convergente. Pueden ocurrir cosas raras si tratamos de aplicar algebra ordinaria a una serie divergente. Supongamos la siguiente serie: S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 +⋅⋅⋅. Entonces 2 S = 2 + 4 + 16 +⋅⋅⋅= S − 1 , y de aquí podríamos concluir que S =− 1 , lo cual obviamente no tiene sentido. En este punto podríamos reconocer que la serie
es divergente, y la serie
− + − + −⋅⋅ ⋅ 5
Es convergente como se muestra, pero se puede tener la suma que se quiera reacomodando el orden de los términos!, como se podrá ver más adelante. Lo anterior nos muestra la importancia de trabajar con series que sean convergentes. Esto implica que nuestro interés se centrará en series que cumplan la condición (^) n n
S S
→∞ = lim.
De aquí podemos decir que si la suma parcial (la suma de los n primeros términos)
tiende a un límite, entonces la serie es convergente. En caso contrario se dice que la serie es divergente. Al valor límite de la serie S se denomina suma de la serie. Por otro lado a la diferencia se le denomina residuo. De la definición mostrada antes
tendremos
S n
Rn = S − S n
lim = lim ( − ) = − = 0 →∞ →∞ R S Sn S S n n n
PRUEBAS DE CONVERGENCIA.
Primero discutimos la denominada prueba preliminar. En muchos casos debemos intentar aplicar esta simple prueba antes de aplicar un método más complicado, aunque no en todos los casos es útil. Prueba preliminar. Si los términos de una serie infinita no tienden a cero, esto es si lim ≠ 0 , la serie diverge. Si n ←∞ n a lim = 0 n ← ∞ n a , debemos de probar por otro método más
avanzado. Es importante hacer notar que esta prueba preliminar resulta útil para eliminar pruebas complicadas en series notoriamente divergentes, pero también hay que notar que esta misma prueba nunca nos dice que la serie converge , es decir, no nos dice que la serie converge si , y de hecho a menudo es el caso. Un ejemplo de lo anterior lo
constituye la denominada serie armónica
an → 0
1 4
1 3
1 2
1 1 , en la que el^ n -ésimo término
primeros cinco, cien o un millón de términos no tiene efecto sobre si, eventualmente la suma se incrementa indefinidamente o se aproxima a un límite. Consecuentemente, a menudo ignoramos los primeros términos en la prueba de convergencia de una serie.
En el ejemplo presente, los términos de (^) ∑
∞
= 1!
n n^
son más pequeños que los
correspondientes de (^) ∑
∞
= 1 2
n n , para todo^ , y como sabemos que la serie geométrica
converge, entonces concluimos que
n 〉 3
∑
∞
= 1!
n n^
, converge también.
PRUEBA POR INTEGRACION. Podemos usar esta prueba cuando los términos de la serie son positivos y no se incrementan, esto es, cuando an (^) + 1 ≤ an. Recordemos que
podemos ignorar un número finito de términos de la serie; aún así el resto aún puede usarse, aún cuando la condición an (^) + 1 ≤ an no se cumpla para un número finito de
términos. Para aplicar esta prueba, pensamos en como una función de la variable n ,
olvidándonos del significado atribuido a n; de esta forma, permitimos que tome todos los valores y no nada más valores enteros. La prueba puede enunciarse como sigue:
a n
Si 0 ≤ a (^) n + 1 ≤ an para n 〉 N, entonces ∑
∞ a (^) n converge si es finita y diverge si la
integral es infinita. Es importante notar que la integral se evaluará solamente en le límite superior; no se requiere límite inferior.
∫
∞ a (^) n dn
Para entender esta prueba, imaginemos una gráfica de como función de n.
Supongamos por ejemplo la serie armónica
a n
∑
∞
= 1
n
n ; consideramos la gráfica de la función
y = 1 n , similar a la que se muestra en las figura 1 y 2, donde suponemos que n toma
todos los valores, no únicamente valores enteros. Entonces los valores de y en la gráfica en , son términos de las series. En las figuras 1 y 2, las áreas de los
rectángulos son simplemente los términos de la serie. Note que en la figura 1, la parte superior del rectángulo está por encima de la curva, de tal manera que el área del los rectángulos es mayor que el área debajo de la curva. Por otro lado, en la figura 2 los rectángulos están por debajo de la curva, por lo que su área es menor que el área debajo de la curva. El área de los rectángulos son los términos de la serie simplemente, mientras que el área bajo la curva es una integral de o. El límite superior de la
integral es ∞ y el límite inferior puede hacerse que corresponda a cualquier término de la serie con que se quiera arrancar.
n = 1 , 2 , 3 ,⋅⋅ ⋅
y dn a (^) ndn
Figura 1. Prueba de convergencia por integración.
Figura 2. Prueba de convergencia por integración.
Por ejemplo, de la figura 1, es menor que la suma de la serie de en
adelante, pero (figura 2) mayor que la suma de la serie de en adelante. Si la integral
es finita, entonces la suma de la serie de en adelante es finita, esto es, la serie
converge. Note nuevamente que los términos del inicio de la serie no influyen en la convergencia. Por el otro lado, si la integral es infinita, entonces la suma de la serie de en adelante es infinita y la serie diverge. Dado que los términos iniciales no son d
interés, entonces no hace falta el límite inferior de la integral y evaluamos simplemente
.
∫
∞
3
a (^) n dn a 3
a 4 a 4
a 3
∫
∞ a (^) n dn
Otro ejemplo muy ilustrativo de la aplicación de este método de prueba ocurre con la serie armónica
En este caso encontramos que
÷ =
n
n n n n
lim 1
lim =
→∞ →∞ n
n
n n n ρ.
De acuerdo al enunciado del método, éste no nos dice nada y debemos usar una prueba
diferente. Es importante alertar que
n
n ρ (^) n es siempre menor que 1. Se debe tener
cuidado de no confundir este cociente con ρ y concluir incorrectamente que la serie
converge. De hecho, como mostramos en la prueba de la integración, la serie es divergente.
PRUEBA ESPECIAL DE COMPARACION. Esta prueba tiene dos partes: (a) prueba de convergencia, y (b) prueba de divergencia.
(a) Si (^) ∑ es una serie convergente de términos positivos y y
∞
n = 1
bn a (^) n ≥ 0 a (^) n bn tiende
a un límite (finito), entonces (^) ∑ converge.
∞
n = 1
an
(b) Si (^) ∑ es una serie divergente de términos positivos y además y
∞
n = 1
d (^) n an ≥ 0 an dn
tiende a un límite mayor que 0 (o tiende a +∞), entonces (^) ∑ diverge.
∞
n = 1
an
Tomemos la serie
∑
∞
= −
2 5 2
3
5
n
n
n n
n , para ejemplificar este método.
Primero debemos decidir que término es más importante a medida que n →∞; ¿es ó
bien ?. Podemos comparar sus logaritmos para indagar la respuesta, dado que ln N y
N crecen o decrecen juntos. Ahora sabemos que , y , pero ln
n es más pequeño que n , por lo que para n grande tenemos
3^ n n^3 ln 3 n^ = n ⋅ln 3 ln n^3 = 3 ⋅ln n n ⋅ln 3 〉 3 y. (Puede
calcular p. ej. , y. El denominador de la serie entonces será
aproximadamente. De lo anterior vemos que la serie para comparación será
3 n^ 〉 n^3 100 3 = 106 3100 〉 5 ⋅ 1047
n^5 ∑
∞
= 2 5
n
n
n
Si hacemos uso de la prueba del cociente, vemos que esta serie es divergente, como se muestra a continuación:
( ) (^) ( ) 5 5 ( ) 5 5 5 ( )^5
1 5
1
1 1
n n n n n n n n
n n n n n
÷ =
ρ
De donde 3 1 1
lim 5 = ⎟ ⎠
→∞
n
n
ρ , por lo que vemos que la serie es divergente.
Ahora por la prueba (b)
3 3 5 2 5 3
lim lim lim 1
n n (^) n n n n n n
n
a n
d n n n
n
→∞ →∞ →∞
= ⎜ ÷ ⎟=
La cual es mayor que cero, por lo que concluimos que la serie diverge.
SERIES ALTERNANTES. Hasta ahora hemos considerado series de términos positivos y consideramos ahora un caso importante de series cuyos términos tiene signos mixtos; una serie alternante e una serie cuyos términos son alternativamente positivos y negativos. Por ejemplo la serie
( ) +⋅⋅⋅
n
1 n^^1 5
es una serie alternante. Dos preguntas esenciales en el caso de series alternantes son: ¿converge la serie?, ¿converge absolutamente (esto es, cuando hacemos todos los signos positivos)?. Consideremos la segunda pregunta primero. Para el ejemplo anterior, la serie de valores absolutos es
Esta es la serie armónica, la cual sabemos que diverge. Entonces decimos que la serie alternante no es absolutamente convergente. La siguiente pregunta es si esta serie converge tal como está; si hubiera convergido absolutamente, entonces no habrá necesidad de hacernos la pregunta anterior, dado que, se puede demostrar, una serie absolutamente convergente, es convergente también. Sin embargo, una serie absolutamente divergente, puede o no ser convergente; deberemos probar por otros métodos entonces. Para una serie alternante la prueba es muy simple y se enuncia como sigue: Prueba para una Serie Alternante. Una serie alternante converge si el valor absoluto de los términos decrece monótonamente ( es decir, de manera permanente) a cero, esto es, si
an (^) + 1 ≤ a n y además lim n →∞ an = 0.
A continuación unos ejemplos:
(a)
( )
− + − +⋅⋅⋅+ n
x x x xn
2 3 ,
(b)
( )
n
x x x x
x
2 3 4 1 n^^1 n
(c)
( ) ( )
3 5 7 1 2 1
n (^) n
x x x x
x
n
(d)
( ) ( ) ( ) +⋅⋅⋅
2
n
x x x n .
La convergencia de estas series depende de los valores que se consideren para la variable x. A menudo se usa la prueba del cociente para encontrar los valores de x para los cuales converge la serie. Probemos las series ejemplificadas arriba.
- Para la serie mostrada en (a), tenemos ( ) ( ) 2 1 2 2
x^1 x x n
n n
n n =
÷
de donde obtenemos
x ρ =.
La serie converge para ρ 〈 1 , esto es, 1 2
x ó bien x 〈 2 , y diverge para ρ 〉 1 por lo
que podemos mostrar fácilmente que esto implica x 〉 2. Esto significa que para
cualquier valor de x comprendido entre -2 y 2, la serie converge; lo anterior excluye los extremos de la recta numérica comprendida entre estos valores, por lo que debemos indagar que ocurre con la convergencia de la serie cuando x toma los valores extremos, es decir -2 y 2. Si x = 2 vemos que la serie es: 1 − 1 + 1 − 1 +⋅⋅⋅, la cual es divergente. Cuando x =− 2 la serie es: 1 + 1 + 1 + 1 +⋅⋅⋅, por lo que la serie es divergente. De acuerdo a estos resultados concluimos que el intervalo de convergencia se establece como: − 2 〈 x 〈 2.
- Para la serie del caso (b) encontramos
1
÷ =
n
nx n
x n
x n n
ρ n ,
x n
nx n
ρ lim.
La serie converge para x 〈 1. De nuevo debemos explorar los puntos extremos del
intervalo de convergencia, x = 1 y x =− 1. Para x = 1 la serie es: − + − +⋅⋅⋅ 4
1 ; esta
es una serie armónica alternante y se puede demostrar que es convergente.
Para x =− 1 la serie es: − − − − −⋅⋅⋅ 4
1 ; observamos que esta es la serie armónica
multiplicada por -1 y es divergente. Por lo anterior vemos que el intervalo de convergencia es − 1 〈 x ≤ 1.
- Observamos que para la serie del caso (c), el valor absoluto del n -ésimo término
es ( 2 1 )!
2 1
−
−
n
x n
. De acuerdo con esto, el término n + 1 se obtiene sustituyendo n por
n + 1 y el valor absoluto del término n + 1 es ( 2 1 )!
2 1
n
x n .
Por lo anterior tenemos
( ) ( ) ( n )( n )
x n
x n
x n n n (^) 2 1! 2 1! 2 1 2
2 1 2 1 2
÷
( )( )
lim
2
→ ∞ n n
x n
Dado que ρ 〈 1 , para todos los valores de x , esta serie converge para todos los valores de x.
- Finalmente para el caso (d) tenemos
( ) ( )
1 2 2
2 1
n n
n
x x
n n
ρ
= ÷
( ) 2
lim 2 = +
→∞
x
n
n
x
n
ρ (^).
Esta serie converge para x + 2 〈 1 ; esto es, − 1 〈( x + 2 ) 〈 1 , ó bien − 3 〈 x 〈− 1.
Para x^ =−^3 , la serie es − + − +⋅⋅⋅ 4
1 , que es convergente por la prueba de
las series alternantes. Para x =− 1 , la serie es (^) ∑
∞
= +
n n^
la cual
es divergente por la misma prueba de las series alternantes.
De lo anterior concluimos que la serie converge para − 3 ≤ x 〈 1.
vez en x = 0 , nos conduce a la igualdad 0 = 2 a 2. Continuando el proceso, obteniendo la
siguiente derivada y evaluando la expresión resultante en x^ =^0 , obtenemos − cos^ x =^3 ⋅^2 a 3 +^4 ⋅^3 ⋅^2 a 4 x +⋅⋅ ⋅, que evaluada en^ x^ =^0 nos proporciona el valor de
a 3 (^) =−. De la misma manera, derivando de nuevo obtenemos
sen x = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 a 4 + 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 a 5 x +⋅⋅ ⋅,
que evaluada en x = 0 nos conduce a 0 = 5! a 5. Cuando sustituimos los valores
obtenidos, nos resulta la conocida serie de la función seno :
x^3 x^5 senx x
Las series obtenidas de esta forma se denominan series de Maclaurin o series de Taylor alrededor del origen. Una serie de Taylor en general significa una serie de potencias de , donde c es alguna constante y se encuentra usando ( en lugar
de x. La obtención de los coeficientes a de la serie, se lleva a cabo por el mismo procedimiento mostrado en la obtención de la función seno , sustituyendo
( x − c ) x − c )
x = c en la función y sus derivadas, en lugar de x = 0.
Efectuemos este procedimiento para una función general f (^ x ), suponiendo que
existe la serie de Taylor de dicha función:
( ) = + ( − ) + ( − ) + ( − ) + ( − ) +⋅⋅⋅+ ( − ) +⋅⋅⋅ n f x a a x c a x c a x c a x c an x c 4 4
3 3
2 0 1 2 f ′ ( )^ x = a 1 + 2 a 2 ( x − c ) + 3 a 3 ( x − c ) 2 + 4 a 4 ( x − c ) 3 +⋅⋅⋅+ nan ( x − c ) n −^1 +⋅⋅⋅ f ′′^ ( ) x = 2 a 2 + 3 ⋅ 2 a 3 ( x − c ) + 4 ⋅ 3 a 4 ( x − c ) 2 +⋅⋅⋅+ n ( n − 1 ) an ( x − c ) n −^2 +⋅⋅⋅ f ′′′ ( ) x = 3! a 3 + 4 ⋅ 3 ⋅ 2 a 4 ( x − c ) +⋅⋅⋅+ n ( n − 1 )( n − 2 ) an ( x − c ) n −^3 +⋅⋅⋅ · ( ) (^) ( ) ( )( ) n n f n^ x = nn − 1 n − 2 ⋅⋅⋅ 1 a +ℜ ,
Donde el término representa los términos de derivada superior que no se muestran, y
está relacionado con un elemento de la serie que definimos más adelante. Ahora evaluamos las expresiones anteriores en
ℜ n
x = c y obtenemos:
f ( ) c = a 0 , f ′( c ) = a 1 , f ′′( c ) = 2 a 2 f ′′′ ( ) c = 3! a 3 , ⋅⋅⋅ f (^ n^ )^ ( c ) = n! an ,
Por lo que podemos escribir entonces la serie de Taylor para f^ (^ x )alrededor de x = c :
( ) = ( ) +( − ) ′( ) + ( − ) ′′( ) +⋅⋅⋅+ ( x − c ) f (^ )^ ( ) c +⋅⋅⋅ n
f x f c x c f c x c f c n n !
La serie de Maclaurin para es la serie de Taylor alrededor del origen. Haciendo
en la expresión anterior obtenemos la serie de Maclaurin para :
f ( ) x x = 0 f ( ) x
( ) = ( ) + ′( ) + ′′( ) + ′′′( ) +⋅⋅⋅+ (^ )^ ( ) 0 +⋅⋅⋅ !
2 3 n
n f n
x f x f x f x f xf
En general, y de manera no formal, podemos decir que una función puede
expanderse alrededor de un punto c , que denominaremos punto base, en una serie de Taylor, siempre que exista dicha serie, como
f ( ) x
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x c f ( ) c ( ) x n
f x f c x c f c x c f c n
n (^) n = + − ′ + − ′′ +⋅⋅⋅+ − +ℜ !
1 2!
(^1 )
En la que el término
( )
( )
( ) ( )
( )
[ ]
(^1 )
n (^) n
n
x c f
x x c
n
ξ ξ
se denomina el residuo de orden n de la serie, y la expresión presentada se denomina la forma de Lagrange del residuo.
La serie de Taylor es de suma importancia en muchas aplicaciones, sin embargo esto implica el uso de derivadas de alto orden, dependiendo del número de términos que se desee, y estas derivadas no siempre son simples de encontrar; considere por ejemplo el
caso de la función , por citar un ejemplo, y se verá que encontrar sus derivadas de alto orden no es trivial. En estos casos hay una serie de métodos que resultan de suma utilidad para obtener la serie de Taylor, a partir de la combinación de series de funciones sencillas, que nos permiten, al combinarlas, encontrar series de funciones más complejas.
e tan^ x
Ilustraremos con ejemplos una variedad de métodos para obtener series de funciones complicadas. Para esto establecemos las series correspondientes a funciones sencillas que se muestran a continuación.
- = − + − +⋅⋅⋅ 3! 5! 7!
x^3 x^5 x^7 sen x x ∀ x
cos 1
x^2 x^4 x^6 x ∀ x
x^2 x^3 x^4 e x^ x ∀ x
( )
ln 1
2 3
2 3 4
x x x
x x x x x
x x
Ejemplo 4. Usamos la expresión 5 como una generalización del teorema del binomio
, con ;la diferencia es que en este caso p puede ser negativo
o fraccional, y en estos casos, la expansión es una serie infinita. Esta serie converge para
( a + b ) n a = 1 , b = x , n = p
x 〈 1 , como se puede probar usando la prueba del cociente. Usaremos lo anterior para
obtener
( )
( )( ) ( )( )( )
−
2 3
(^123)
x x x
x x x x x
Otros casos interesantes lo constituyen la sustitución de polinomios o series, por la variable de otra serie. El siguiente ejemplo ilustra lo anterior.
Ejemplo 5. Encontrar la serie de la función. Usando la serie de obtenemos x^2 e −^ ex
( ) ( )
4 6 2
22 23 (^22)
x x x
x x e x x
