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Universidad de Pamplona 28 de septiembre de 2020
Departamento de Matem´aticas Matem´aticas Especiales
Taller Series de Potencias Coordinaci´on Matem´aticas Especiales
Taller Series de Potencias
Instrucciones: A continuaci´on se presenta un resumen de algunos resultados importantes para esta
secci´on, luego unos ejercicios resueltos que le permitir´a afrontar los ejercicios propuestos al final del
taller.
Parte 1: Series de Potencias
Teor´ıa necesaria
I. Una serie de potencias (power series) es una serie con centro en z 0 es una serie de la forma ∞ ∑
n=
an(z − z 0 )
n , donde z es una variable compleja (lo cual implica que depende de cada z que se
est´e evaluando), a 0 , a 1 ,... son constantes (reales o complejos) llamados coeficientes de la serie.
Si z 0 = 0,
∑^ ∞
n=
an(z)
n , es un caso particular de la serie de potencias.
II. La convergencia de una serie de potencias se eval´ua en cada z, por ejemplo, la serie geom´etrica ∞ ∑
n=
anz
n converge absolutamente si |z| < 1. Particularmente, la serie
∞ ∑
n=
an(1+i)
n es divergente
mientras que
∞ ∑
n=
an
i
)n
es convergente.
III. Consideremos el menor c´ırculo con centro z 0 que contiene a todos los puntos z tal que la serie
∑^ ∞
n=
an(z − z 0 )
n es convergente. Defina a R como el radio de este c´ırculo, R ser´a llamado el radio
de convergencia de la serie de potencias con centro z 0.
IV. Para determinar el radio de convergencia de una serie de potencias se puede usar la F´ormula
de Cauchy - Hadamard. Tome la sucesi´on de coeficientes
an+
an
. Si la sucesi´on converge con
l´ımite L
⋆ se cumple que:
Si L
⋆ = 0, entonces R = ∞, lo cual implica que la serie de potencias
∞ ∑
n=
an(z − z 0 )
n
converge para todo z ∈ C.
Si L
⋆
0 entonces R =
L
⋆
= l´ım n→∞
an
an+
Si L
⋆ = ∞ entonces R = 0 y la serie converge solo en el centro z 0.
V. Para evaluar el radio de convergencia de una serie de potencias de la forma
∑^ ∞
n=
anz
2 n hay que
tener en cuenta lo siguiente: Si la serie
∞ ∑
n=
anz
n tiene radio de convergencia R, entonces la serie
∑^ ∞
n=
anz
2 n tendr´a radio de convergencia
R.
Es posible probarse que si w = z
2 entonces la serie
∑^ ∞
n=
anw
n tiene radio de convergencia R, de
esta forma, la serie converge para todos los w que cumplen |w| < R.
Como |w| < R ⇔ |z
2 | < R ⇔ (|z|)
2 < R ⇔ |z| <
R, por lo tanto, la serie
∞ ∑
n=
anz
2 n tiene
radio de convergencia
R.
Las anteriores definiciones pueden ser consultadas en la secci´on 15.2 del libro Kreyszig, E., Kreyszig,
H. y Norminton, E. (2011). Advanced Engineering Mathematics. Hoboken, N.J: John Wiley & Sons,
Inc. (Libro 2).
Problemas resueltos
Determine el centro y el radio de convergencia de las siguientes series de potencias. Exprese el
subconjunto de los n´umeros complejos donde la serie converge.
∑^ ∞
n=
n (z + 1)
n : La serie tiene centro en z 0 = − 1 puesto que (z + 1)
n = (z − (−1))
n .
Al usar la f´ormula de Cauchy - Hadamard, el radio de convergencia est´a dado por:
R = l´ım n→∞
an
an+
= l´ım n→∞
n
n+
= l´ım n→∞
n
n × 4
l´ım n→∞
Con esto, se puede concluir que la serie de potencias converge para todo z en el conjunto
z ∈ C : |z − (−1)| <
∑^ ∞
n=
n
n
n!
(z − πi)
n : La serie tiene centro en z 0 = πi.
Al usar la f´ormula de Cauchy - Hadamard, el radio de convergencia est´a dado por:
R = l´ım n→∞
an
an+
= l´ım n→∞
n
n
n!
(n + 1)
n+
(n + 1)!
= l´ım n→∞
n
n × (n + 1)!
(n + 1)n+1^ × (n)!
= l´ım n→∞
n
n × n! × (n + 1)
(n + 1)
n × (n + 1) × n!
= l´ım n→∞
n
n
(n + 1)
n
= l´ım n→∞
(n + 1)
n
n
n
= l´ım n→∞
(n + 1)
n
)n
= l´ım n→∞
n
)n
e
l´ım n→∞
e
Recuerde que l´ım n→∞
n
)n
= e.
Con esto, se puede concluir que la serie de potencias converge para todo z en el conjunto
z ∈ C : |z − πi| <
e
∞ ∑
n=
n
(2n)!
z −
π
) 2 n
: La serie tiene centro
π 2
No es posible usar la f´ormula de Cauchy - Hadamard directamente al tener la serie elevada al
exponente 2 n. De esa manera hay que usar el hecho descrito en la parte V de la teor´ıa. De esta
manera obtenemos la serie
∑^ ∞
n=
n
(2n)!
z −
π
)n
cuyo radio de convergencia est´a dado por:
∞ ∑
n=
2 − i
1 + 5i
z
n .
∞ ∑
n=
n(n + 1)
3 n
(z − i)
2 n .
∞ ∑
n=
n
√ π(2n + 1)n!
z
2 n+ .
∞ ∑
n=
(z − 2 i)
2 n
nn^
∞ ∑
n=
(3n)!
2 n(n!)^3
z
n .
Parte 2: Operaciones sobre series de potencias.
Teor´ıa necesaria
I. Dada una serie de potencias cuyo radio de convergencia R > 0 , su suma es una funci´on de z, i.e.,
f (z) =
∑^ ∞
n=
anz
n
. Por comodidad, las series se toman con centro z 0 = 0. Si lo anterior ocurre,
diremos que f (z) est´a representada por la serie
∞ ∑
n=
anz
n
. Por ejemplo, la funci´on f (z) =
1 − z
est´a representada por la serie geom´etrica
∑^ ∞
n=
anz
n para cada |z| < 1. Adem´as, es posible probar
que esta representaci´on es ´unica.
II. Serie suma y resta t´ermino a t´ermino y serie multiplicaci´on: Dadas dos serie de potencias
∑^ ∞
n=
anz
n ,
∑^ ∞
n=
bnz
n cuyos radios de convergencia son R 1 > 0 y R 2 > 0 la serie
∑^ ∞
n=
(an ± bn)z
n
tiene radio de convergencia menor o igual al m´ınimo entre R 1 y R 2. La serie de multiplicaci´on
t´ermino a t´ermino (llamada multiplicaci´on de Cauchy)
∑^ ∞
n=
(a 0 bn + a 1 b 2 + · · · + anb 0 ) z
n tiene el
mismo radio de convergencia que la serie original.
III. Serie derivada y serie integral: Dada una serie de potencias
∞ ∑
n=
anz
n cuyo radio de conver-
gencia es R > 0 , las series
∑^ ∞
n=
nanz
n− 1 y
∑^ ∞
n=
an
n + 1
z
n+ obtenidas de derivar e integrar cada uno
de los t´erminos de la serie respectivamente, son llamadas la serie derivada y la serie integral
de la serie original. Adem´as, ambas series tienen el mismo radio de convergencia que la serie
original.
IV. Una serie de potencias cuyo radio de convergencia es R > 0 representa a una funci´on anal´ıtica
en todo punto al interior de su c´ırculo de convergencia. Es decir, para cada z, tal que |z| < R la
funci´on f (z) =
∞ ∑
n=
anz
n es anal´ıtica.
Las anteriores definiciones puede consultarlas en la secci´on 15.3 del libro Kreyszig, E., Kreyszig, H.
y Norminton, E. (2011). Advanced Engineering Mathematics. Hoboken, N.J: John Wiley & Sons, Inc.
(Libro 2).
Problemas resueltos
- Compruebe para las siguientes series que el radio de convergencia de la serie por medio de la F´ormula
de Cauchy-Hadamard coincide con el radio de convergencia de la serie integral o la serie derivada.
a)
∞ ∑
n=
n(n + 1)
2 n
(z − 2 i)
n : Al usar la f´ormula de Cauchy - Hadamard el radio de convergencia
es 2. (es un buen ejercicio verificarlo.)
Derivando t´ermino a termino la serie se obtiene que la derivada del t´ermino
n(n + 1)
2 n^
(z − 2 i)
n
es
n
2 (n + 1)
2 n^
(z − 2 i)
n− 1 , usando la f´ormula de Cauchy - Hadamard se tiene que el radio de
convergencia es
R = l´ım n→∞
an
an+
= l´ım n→∞
n
2 × (n + 1)
n
(n + 1)
2 × (n + 2)
n+
= l´ım n→∞
n × 2 × n
2 × (n + 1)
2 n^ × (n + 2) × (n + 1)^2
= l´ım n→∞
2 × n
2
(n + 1)(n + 2)
= l´ım n→∞
2 n
2
n^2 + 3n + 2
El cual coincide con el radio de convergencia de la serie inicial.
b)
∞ ∑
n=
n
2 n + 1
z
2 π
) 2 n+
: Al usar la f´ormula de Cauchy - Hadamard el radio de convergencia
es 2 π. (es un buen ejercicio verificarlo.)
Derivando t´ermino a termino la serie se obtiene que la derivada del t´ermino
n
(2n + 1)(2π)
2 n+
z
2 n+
es
(2n + 1)(−1)
n
(2n + 1)(2π)^2 n+^
(z)
2 n , usando la f´ormula de Cauchy - Hadamard se tiene que el radio de
convergencia es
R = l´ım n→∞
an
an+
= l´ım n→∞
n
(2π)^2 n+
n+
(2π)^2 n+
= l´ım n→∞
n × (2π)
2 n+
(−1)n+1^ × (2π)^2 n+
= l´ım n→∞
(2π)
2
= 4π
2 .
Como la serie es una potencia de la forma 2 n entonces el radio de convergencia es 2 π.
El cual coincide con el radio de convergencia de la serie inicial.
c)
∞ ∑
n=
2 n(2n − 1)
nn
z
2 n− 2 : Al usar la f´ormula de Cauchy - Hadamard el radio de convergencia es
∞. (es un buen ejercicio verificarlo.)
Integrando t´ermino a termino la serie se obtiene que la derivada del t´ermino
2 n(2n − 1)
n
n
z
2 n− 2
es
(2n − 1)2n
nn(2n − 1)
z
2 n− 1 , usando la f´ormula de Cauchy - Hadamard se tiene que el radio de conver-
gencia es
R = l´ım n→∞
an
an+
= l´ım n→∞
2 n
nn
2(n + 1)
(n + 1)
n+
= l´ım n→∞
2 n × (n + 1)
n × (n + 1)
2(n + 1) × n
n
l´ım n→∞
2 n(n + 1)
n
2 n + 2(nn)
l´ım n→∞
|n + 1|
= e.
Como la serie es una potencia de la forma 2 n entonces el radio de convergencia es
El cual coincide con el radio de convergencia de la serie inicial.
Problema propuesto
Determine el radio de convergencia de las siguiente serie integrando o derivando seg´un sea con-
veniente. Compruebe su resultado usando la F´ormula de Cauchy - Hadamard a la serie sin ninguna
operaci´on adicional.
∑^ ∞
n=
n
n(n + 1)(n + 2)
z
2 n .
