Taller de Cálculo Integral: Convergencia de Series y Representación en Serie de Potencias, Apuntes de Cálculo para Ingenierios

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TERCER TALLER DE CALCULO INTEGRAL

PRESENTADO POR:

UNIVERSIDAD DE CORDOBA (UNICOR)

FACULTAD DE INGENIERÍA

INGENIERÍA DE ALIMENTOS

BERASTEGUI

1) Determine el radio y el intervalo de convergencia para la

serie de potencias.

∑ n = 1 ∞

( 3 x − 2 ) n

4 n √ n )

Si α n = ( 3 x − 2 ) n 4 n √ n , entonces

αn + 1

αn |=|^

( 3 x − 2 ) n + 1 ∗ 4 n √ n

4 n + 1 √ n + 1 ( 3 x − 2 ) n |

=

( 3 x − 2 ) √ n n + 1 4

3 x − 2

4 |^ *

n

3 x − 2

Cuando n es ∞ Usando la prueba de la razón , vemos que las serie

converge si |

( 3 x − 2 )

<¿1 y diverge si |

( 3 x − 2 )

> (^1) , entonces converge si |^3 x −^2 |<^4 y diverge si |^3 x −^2 |>^4 , por lo tanto el radio de convergencia es R=4. La desigualdad |^3 x −^2 |<^4 , se puede escribir como -4¿3x-2¿4 entonces -

< x < (^2) , evaluando en los extremos nos quedan las series.  Para x =-

 (^) ∫ n 2 1 + n 3 dn (^) u=1+n^3 du=3n^2 entonces

du =n^2 ∫

u du =

ln| u | (^) =

ln(1+n 3 )  (^) ∫

1 + n 3 dn (^) =∫

13 + n 3 dn (^) =∫ 1 ¿ ¿

∫

¿ Usamos fracciones parciales donde: 1 (( 1 + n ) ( n 2 − n + 1 ))

A

( 1 + n )

B

( n 2 − n + 1 ) entonces 1=A(n2- n+1)+B(1+n).  Si n=-1 entonces A¿^

3 B=-

3 (n-2) ∫

¿.

∫

1 + n dn =

ln|^1 + n |=

∫ 2 n − 1 n 2 − n + 1 dn +

∫

n 2 − n + 1 dn =-

ln| n 2 − n + 1 |+

∫

n 2 − n + 1 dn , donde

∫

n 2 − n + 1 dn =

∫

( n −

2 )

dn u= 2 n − 1 √ 3 du=

∫

3 u 2 + 3 du =

∫

u 2 + 1 du =

∫

u 2 + 1 du =

√ 3 tan^

• (u) =

√ 3 tan

• ( 2 x − 1 √ 3 ¿= - 1 6 ∫( 2 n − 1 n 2 − n + 1

n 2 − n + 1 ) dn =

ln| n 2 − n + 1 |+

tan-

( 2 x − 1 √ 3 )

ln ( 1 + n ) Entonces seria asi:

ln ( n 3 + 1 ) +

ln ( n + 1 )−

ln ( n 2 − n + 1 ) +

tan

• ( 2 n − 1 √ 3 ) = 4 ln( n + 1 )+ln ( n 2 − n + 1 ) 6

tan

) La cual diverge para el intervalo (0, ∞ ) por lo tanto la serie diverge.

3) Halle una representación en serie de potencial para la

función.

F(x)=

4 x 2 + 3 x

y halle intervalo de convergencia en el intervalo

de potencia.

Para llegar a esa función partimos de una serie conocida, la geometría. 1 1 − x =∑ n = 0 ∞ ❑X n Para xe (0,1) 1 2 + 3 x

=

∑ n = 0 ∞ ( (− 3 ) n 2 n ) .x n =∑ n = 0 ∞ ( (− 3 ) n 2 n + 1 ) x n =

2 + 3 x =∑ n = 0 ∞ ( (− 3 ) n 2 n + 1 )

. xn^ Ahora multiplicamos por 4x. 4 x 2 + 3 x = 4 x (^) ∑ n = 0 ∞ (− 3 ) n 2 n + 1 x n =∑ n = 0 ∞ ( (− 3 ) n 2 2 n + 1 ) x n f ( x )= 4 x 2 + 3 x =∑ n = 0 ∞ ( (− 3 ) n 2 n − 1 ) x n Ahora con la serie conocida. F(x)= 4 x 2 + 3 x = ∑ n = 0 ∞ (

2 n − 1 ) x n Calculamos el intervalo de convergencia