Sistema de Coordenadas Cartesianas, Diapositivas de Cálculo

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SEMANA 4: SISTEMA DE COORDENADAS

Sistema de Coordenadas Cartesianas

Distancia entre dos puntos. Ecuación de la recta. Ecuación de una circunferencia

Complemento de Matemáticas

• 5 – 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4 5 6
  • 4
  • 3
  • 2
  • 1 1 2 3 4 5 x y

Cuadrante

II

x < 0, y > 0

Cuadrante I

x > 0, y > 0

Cuadrante III

x < 0, y < 0

Cuadrante IV

x > 0, y < 0

Plano Cartesiano

Distancia entre dos puntos x y P 2 ( x 2 , y 2 ) P 1 ( x 1 , y 1 ) | x 2

• x 1 | | y 2 - y 1 | 2 2 1 2 1 2 2 1

d ( P , P )  ( x  x ) ( y  y )

x 1 y 1 x 2 y 2 2 2 1 2 1 2 2 1

d ( P , P )  ( x  x ) ( y  y )

La recta

La recta es una de las curvas de mayor estudio realizado en las matemáticas por la enorme cantidad de aplicaciones que presenta y por estar vinculada a una ecuación de primer grado o lineal, dentro de sus aplicaciones se tienen: problemas de costos-ingresos y ganancia, la oferta y demanda, la valoración de un activo a lo largo del tiempo, etc.

L

1

L

2

0 x

y



¿Cuál de las rectas

está más inclinada?



¿Cómo medimos

esa inclinación?

La pendiente m de la recta L es:

x cambioen y recorrido elevación m      cambioen x y Pendiente de una recta x cambioen y recorrido elevación m      cambioen x y

Ejercicios

Ubique los puntos en el plano y determine la

pendiente de estos segmentos:

1. A(-6; 1) y B(1; 2)
2. C(-1; 4) y D(3; 1)
3. E(3; 2) y F(8; 2)
4. G(2; 1) y H(2; -3)

Ecuación de la recta 1

La ecuación de la recta L de pendiente m, y punto de

paso (x

1

, y

1

) es:

(x

1

, y

1

X

Y

L: y - y

1

= m(x - x

1

Ecuación de la recta 3

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

La gráfica de una ecuación lineal:

Ax + By + C = 0, es una recta, y

recíprocamente, toda recta es la gráfica de

una ecuación lineal.

Ax + By + C = 0

1. Determine la ecuación de la recta que pasa por (-5/2; 5)

y tiene pendiente 1/3.

2. Determine la ecuación de la recta que pasa por (-6;1) y

3. Determine la pendiente y la intersección con el eje y de la

recta determinada por la ecuación x- 9 = 5y+3.

4. Determine la ecuación general de la recta que pasa por

(3; -1) y (-2;-9).

Ejercicios

Formas de la ecuación de una recta: Forma punto pendiente: y-y 1 =m(x-x 1 ) Forma pendiente ordenada y = mx+b al origen Forma general Ax + By + C = 0 Recta vertical x = a Recta horizontal y = b

Resumen

Sean L 1 y L 2 dos rectas cuyas pendientes son m 1 y m 2 , respectivamente.

1. Se dice que L 1 y L 2 son paralelas ( L 1 // L 2 ) si y sólo si tienen la misma pendiente o si ambas son verticales. Es decir: m 1 = m 2
2. Se dice que L 1 y L 2 son perpendiculares ( L 1  L 2 ) si y sólo si el producto de sus pendientes es -1. Es decir: m 1 · m 2 =- Rectas paralelas y perpendiculares

La circunferencia

C r (x,y) Circunferencia de centro C(h,k) y de radio r Tomemos cualquier punto (x,y) de la circunferencia h k x y Del triángulo rectángulo podemos ver que: r 2 = (x-h) 2

• (y-k) 2

La circunferencia es el conjunto de puntos P(x,y) del plano

que están a una distancia constante r (Radio) de un punto

fijo O(h;k) , llamado centro.

La circunferencia: Definición {(x; y) : d (P ;O) r } 2 C   R  C: (x-h) 2

• (y-k) 2 = r 2 {(x; y) : d (P ;O) r } 2 C   R 