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Matemáticas y su Didáctica para Maestros
SISTEMAS NUMÉRICOS
Y SU DIDÁCTICA PARA
MAESTROS
Proyecto Edumat-Maestros
Director: Juan D. Godino
Manual para el Estudiante Edición Octubre 2002^ http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/
Eva Cid
Juan D. Godino
Carmen Batanero
Proyecto Edumat-Maestros
Director: Juan D. Godino
http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/
SISTEMAS NUMÉRICOS Y SU
DIDÁCTICA PARA MAESTROS
Eva Cid
Juan D. Godino
Carmen Batanero
Índice
Índice
CAPÍTULO 1:
NÚMEROS NATURALES. SISTEMAS DE NUMERACIÓN Página
A: Contextualización profesional Análisis de problemas escolares sobre numeración en primaria ................
B: Conocimientos matemáticos 1.Técnicas de recuento 1.1. Situación introductoria: Instrumentos para contar ............................... 1.2. Necesidades sociales que resuelven las técnicas de contar ................. 1.3. Técnica de recuento para obtener cardinales ...................................... 1.4. Técnicas de recuento para obtener ordinales ...................................... 1.5. Orden de ordinales y cardinales .......................................................... 1.6. Principios que subyacen en las técnicas de contar .............................. 1.7. Otras técnicas de recuento: ejemplos históricos .................................. 1.8. El paso del recuento sin palabras al recuento con palabras ................. 1.9. Técnicas abreviadas de contar .............................................................
- Los números naturales. Diferentes usos y formalizaciones 2.1. La noción de número natural y sus usos .............................................. 2.2. Formalizaciones matemáticas de los números naturales .....................
- Tipos de sistemas de numeración y aspectos históricos 3.1. situaciones introductorias .................................................................... 3.2. Necesidad de aumentar el tamaño de las colecciones de objetos numéricos ................................................................................................... 3.3. Algunos ejemplos de sistemas de numeración escritos ...................... 3.4. Tipos de sistemas de numeración ....................................................... 3.5. Cambios de base en los sistemas de numeración ................................ 3.6. Características de nuestros actuales sistemas de numeración escrito y oral ............................................................................................................. 3.7. Sistemas de numeración orales: ejemplos .......................................... 3.8. Sistemas de numeración basados en colecciones de objetos: ejemplos 3.9. Sistemas de numeración basados en partes del cuerpo humano: el origen de algunas bases .............................................................................. 3.10. Otros ejemplos históricos de sistemas de numeración escritos .........
- Taller de matemáticas ....................................................................................
C: Conocimientos didácticos
- Orientaciones curriculares 1.1. Diseño Curricular Base del MEC ........................................................ 1.2.Principios y Estándares para la Matemática Escolar (NCTM 2000) ...
- Desarrollo cognitivo y progresión en el aprendizaje 2.1. El sentido numérico y su desarrollo .................................................... 2.2. El aprendizaje de la sucesión de palabras numéricas .........................
Sistemas numéricos y su didáctica
2.3. El aprendizaje del recuento y del significado del número como cardinal y ordinal ....................................................................................... 2.4. El aprendizaje del orden numérico ..................................................... 2.5. El aprendizaje del sistema escrito de numeración ............................. 2.6. Conocimientos previos a la enseñanza del valor de posición de las cifras ...........................................................................................................
- Situaciones y recursos 3.1. Situaciones de recitado de la sucesión numérica ................................. 3.2. Situaciones de cardinalidad sin recuento ............................................ 3.3. Situaciones de recuento: obtención de cardinales y ordinales ............. 3.4. Situaciones de orden numérico ............................................................ 3.5. Situaciones de lectura y escritura de números de una cifra ................ 3.6. Situaciones de lectura y escritura de números de varias cifras ........... 3.7. Materiales para el estudio de la numeración ........................................ 3.8. Recursos en Internet .............................................................................
- Taller de didáctica 4.1. Análisis de textos escolares. Diseño de unidades didácticas .............. 4.2. Diseño de actividades .......................................................................... 4.3. Análisis didáctico de tareas escolares ................................................. 4.4. Diagnóstico de la comprensión de la numeración decimal .................
Bibliografía ....... ...............................................................................................
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CAPÍTULO 2:
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
A: Contextualización profesional
Análisis de problemas escolares sobre adición y substracción en primaria ......
B: Conocimientos matemáticos
- Estructura lógica de las situaciones aditivas de una etapa 1.1. Situación introductoria ........................................................................ 1.2. Situaciones que dan sentido a las operaciones de suma y resta de números naturales ......................................................................................
- Formalización de la operación de adición y sustracción de números naturales ............................................................................................................ 2.1. La adición de números naturales ........................................................ 2.2. La sustracción de los números naturales ............................................
- Técnicas de cálculo de sumas y restas 3.1. Estrategias de obtención de sumas y restas básicas ............................ 3.2. Técnicas orales (o mentales) de suma y resta .................................... 3.3. Técnicas escritas de suma y resta ........................................................ 3.4. Justificación de las técnicas escritas de suma y resta .......................... 3.5. Otras técnicas escritas de suma y resta: ejemplos ...............................
Sistemas numéricos y su didáctica
3.6. Otras técnicas escritas de multiplicación y división entera ................... 3.7. Diferencias entre las técnicas orales y escritas ...................................... 3.8. Operaciones con calculadora ................................................................. 3.9. Potencias, raíces y logaritmos ..............................................................
- Modelización aritmética de situaciones físicas o sociales ...............................
- La estimación en el cálculo aritmético .............................................................
- Divisibilidad en el conjunto de los números naturales 6.1. Definición de divisor y múltiplo. Notaciones y propiedades ................ 6.2. Criterios de divisibilidad ....................................................................... 6.3. Números primos y compuestos ............................................................. 6.4. Técnicas para descomponer un número compuesto en factores primos 6.5 Técnica para obtener la sucesión de números primos menores que uno dado .............................................................................................................. 6.6. Técnica para comprobar si un número es primo ................................... 6.7. Técnica para obtener los divisores y múltiplos de un número .............. 6.8. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de varios números
- Taller de matemáticas ......................................................................................
C: Conocimientos didácticos
- Orientaciones curriculares 1.1.Diseño Curricular Base del MEC ............................................................ 1.2.Principios y Estándares para la Matemática Escolar (NCTM 2000) ......
- Desarrollo cognitivo y progresión en el aprendizaje 2.1. Progresión en el estudio de la multiplicación y división ....................... 2.2. Principales dificultades en el aprendizaje ..............................................
- Situaciones y recursos
- Situaciones multiplicativas concretas ................................................. 3.2. Situaciones formales. Aprendizaje de algoritmos ................................. 3.3 Recursos en Internet ...............................................................................
- Taller de didáctica 4.1. Análisis de textos escolares. Diseño de unidades didácticas .................. 4.2.Análisis de una prueba de evaluación ...................................................... 4.3.Análisis de estrategias de cálculo mental /oral ........................................ 4.4. Evaluación de resolución de problemas .................................................
Bibliografía ..........................................................................................................
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280 282 282 283 284 285
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CAPÍTULO 4:
FRACCIONES Y NÚMEROS RACIONALES POSITIVOS
A: Contextualización profesional
Análisis de problemas escolares sobre fracciones y números racionales en primaria .............................................................................................................. 313
Índice
B: Conocimientos matemáticos
- Fracciones y razones 1.1. Situaciones de uso de fracciones y razones ......................................... 1.2. Distinción entre fracciones y razones ..................................................
- Equivalencia de fracciones. Números racionales .........................................
- Primeras propiedades del número racional positivo ......................................
- Operaciones con fracciones y números racionales 4.1. Suma y diferencia de fracciones y números racionales ....................... 4.2. Producto y cociente de fracciones y números racionales .................... 4.3. Orden de fracciones y racionales .......................................................
- Técnicas para resolver problemas de fracciones ...........................................
- Taller de matemáticas .....................................................................................
C: Conocimientos didácticos
- Orientaciones curriculares 1.1.Diseño Curricular Base del MEC ......................................................... 1.2. Principios y Estándares para la Matemática Escolar (NCTM 2000) ...
- Desarrollo cognitivo y progresión en el aprendizaje ......................................
- Situaciones y recursos 3.1. Situaciones concretas ........................................................................... 3.2. Situaciones formales. Aprendizaje de algoritmos ................................ 3.3. Modelos gráficos y recursos para el estudio de las fracciones ........... 3.4 Recursos en Internet ..............................................................................
- Taller de didáctica 4.1. Análisis de textos escolares. Diseño de unidades didácticas ............... 4.2. Análisis de respuestas de estudiantes a pruebas de evaluación ........... 4.3. Análisis de experiencias didácticas .....................................................
Bibliografía .........................................................................................................
Página
CAPÍTULO 5:
NÚMEROS Y EXPRESIONES DECIMALES
A: Contextualización profesional
Análisis de problemas sobre decimales en primaria ..........................................
B: Conocimientos matemáticos
- Fracciones decimales. Números decimales ...................................................
- Los números decimales como subconjunto de Q. Expresiones decimales 2.1. Distinción entre expresión decimal y número decimal ........................ 2.2. Caracterización de los números decimales ..........................................
- Técnica de obtención de expresiones decimales 3.1. Caso de los números racionales decimales ........................................... 3.2. Expresión decimal de números racionales no decimales. Expresiones decimales periódicas ............................................................................
Índice
2.2. Las reglas de prioridad en las operaciones combinadas .....................
- Situaciones que motivan el uso de los números con signo ............................
- Las reglas de cálculo de los números con signo 4.1. Las equivalencias entre sumandos y sustraendos, diferencias y números ...................................................................................................... 4.2. Adición y sustracción de números con signo ...................................... 4.3. Valencias y usos de los signos + y – ................................................... 4.4. Ordenación de números con signo ...................................................... 4.5. Multiplicación y división de números con signo ................................
- La condición de números de los números con signo 5.1. ¿Son números los números con signo? ................................................ 5.2. Definición axiomática de Q .................................................................
- Taller matemático ..........................................................................................
C: Conocimientos didácticos
- Orientaciones curriculares .............................................................................
- Desarrollo cognitivo. Conflictos en el aprendizaje 2.1 dificultades para “dar sentido” a los números positivos y negativos y sus operaciones .......................................................................................... 2.2 dificultades de manipulación de los signos + y – en las expresiones algebraicas ..................................................................................................
- Situaciones y recursos 3.1. Situaciones con números naturales que anticipan los números enteros 3.2 Situación introductoria de la estructura aditiva de los números enteros 3.3. Recursos en internet ............................................................................
- Taller de didáctica 4.1. Análisis de textos escolares ................................................................. 4.2. Diseño de unidades didácticas .............................................................
Bibliografía ........................................................................................................
Página
393 394
Sistemas numéricos y su didáctica
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
Números naturales. Sistemas de numeración
A: Contextualización Profesional
ANÁLISIS DE PROBLEMAS SOBRE NUMERACIÓN EN PRIMARIA
Consigna:
A continuación incluimos algunos enunciados de problemas y ejercicios que han sido tomados de libros de texto de primaria. Para cada uno de ellos:
a) Resuelve los problemas propuestos. b) Indica los conceptos y procedimientos matemáticos que se ponen en juego en la solución. c) Identifica diferencias y semejanzas entre los distintos problemas. d) Para cada problema enuncia otros dos del mismo tipo, cambiando las variables de la tarea, de manera que uno te parezca más fácil de resolver y otro más difícil. e) ¿Piensas que los enunciados son suficientemente precisos y comprensibles para los alumnos de primaria? Propón un enunciado alternativo para aquellos ejercicios que no te parezcan suficientemente claros para los alumnos. f) Consigue una colección de libros de texto de primaria. Busca en ellos tipos de problemas no incluidos en esta relación. Explica en qué se diferencian.
Enunciados de problemas incluidos en libros de primaria:
- ¿Qué números faltan en cada serie? Escríbelos:
- Marca estos números en la recta numérica: 6, 12, 5, 3, 9, 7, 2
∆ææ∆ææ∆ææ∆ææ∆ææ∆ææ∆ææ∆ææ∆ææ∆ææ∆ææ∆ææ∆ææ
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
- Continua la serie:
- Completa con el signo adecuado: Mayor que > menor que < igual que =
13____5 5____18 22___28 13___13 27___16 26___14 20___20 18___
Números naturales. Sistemas de numeración
- Haz la descomposición de 12 en dos sumandos que sean números naturales de todas las formas posibles. Para cada descomposición haz el producto de los sumandos. ¿Qué descomposición de 12 da el producto máximo?
- Una máquina automática de despacho de billetes de tren admite monedas de 1, 5, 25, y 100 pts. Calcula el número mínimo de monedas necesario para pagar 3.242 pts; 1.587 pts; 4.287 pts.
- Escribe con números romanos: 13, 27, 18, 70, 223, 617, 45, 3000.
- Aproxima estos números a la decena de millar más próxima: 31794, 48076, 9.340, 20.250.
- Escribe qué número indica cada una de estas tablas:
- Escribe con símbolos egipcios los siguientes números: 200 625 1250
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
E. Cid, J. D. Godino y C. Batanero
han ido evolucionando a lo largo de la historia. En nuestra sociedad se utiliza predominantemente una técnica de recuento con palabras, aun cuando se conservan vestigios de otras varias técnicas. Cada colección de "objetos numéricos" vamos a llamarla "sistema numeral" o sistema de representación numérica. El hecho de que dos colecciones de objetos sean coordinables se expresa diciendo que representan el mismo número. De este modo los números no son objetos como pueden ser una mesa, un perro, etc.; se dice que son "objetos ideales" o abstractos. En definitiva, interesa considerarlos como "maneras de hablar" ante ciertas situaciones en las que reflexionamos sobre las actividades de recuento y ordenación y los instrumentos que usamos para esas actividades.
1.3. Técnica de recuento para obtener cardinales
Las técnicas de recuento actuales se basan en la existencia de unas palabras (numéricas) que se recitan siempre en el mismo orden. Estas palabras forman un conjunto bien ordenado (hay un primer elemento y un siguiente para cada una de ellas). Para obtener el cardinal de un conjunto se realizan las siguientes acciones:
- Se adjudica a cada elemento del conjunto contado una palabra numérica distinta y sólo una en el orden habitual: uno, dos, tres,..., treinta.
- Una vez acabada la fase anterior, la palabra adjudicada al último elemento del conjunto contado, se repite, haciendo referencia con ella a toda la colección (treinta) y designando el número de elementos o cardinal del conjunto.
Observamos que podemos contar (hallar el cardinal de un conjunto) porque nos sabemos de memoria una sucesión ordenada de palabras: uno, dos, tres, etc, y las recitamos siempre en el mismo orden. La tarea más complicada de los recuentos consiste en adjudicar a cada objeto del conjunto una palabra numérica distinta y sólo una. Ello requiere definir un orden total en el conjunto contado, orden que podemos definir a voluntad, sin que se modifique el resultado final. Para contar se requiere una coordinación entre la palabra y la mano o la vista, y a veces, se usan técnicas auxiliares, marcando, por ejemplo, cada punto contado. Al terminar de contar, la última palabra, hace referencia, no sólo al último objeto señalado, sino también a todo el conjunto, esto es, se trata de una "propiedad" que se predica de todo el conjunto. Por tanto, cada palabra numérica que se pronuncia tiene un doble significado: es el ordinal del elemento correspondiente en la ordenación que se va construyendo, y es el cardinal del conjunto formado por los objetos ya contados hasta ese momento. Hay que tener en cuenta también el uso intransitivo del recuento, esto es, el recitado de la serie de palabras numéricas en sí mismas, sin mención alguna a cardinales u ordinales. Aprender las palabras numéricas y cómo repetirlas en el orden correcto es aprender el recuento intransitivo, mientras que aprender su uso como medidas de conjuntos es el aprendizaje del recuento transitivo. "Si aprendemos un tipo de recuento antes que otro no tiene importancia cuando nos interesan los primeros números. Pero lo que es seguro, y no carente de importancia, es que tenemos que aprender algún procedimiento recursivo para generar la notación en el orden adecuado antes que hayamos aprendido a contar transitivamente, ya que hacer esto consiste, bien directa o indirectamente, en correlacionar los elementos de la serie numérica, con los miembros del conjunto que estamos contando. Parece, por tanto, que es posible que alguien aprenda a contar intransivamente, sin aprender a contar transitivamente. Pero no a la inversa" (Benacerraff^1 , 1983: 275 )
(^1) Benacerraf, P. (1983). What numbers could not be. En, P. Benacerraf y H. Putnam (Eds), Philosophy of
mathematics. Selected reading , 2nd^ edition (pp. 272-294). Cambridge: Cambridge University Press.
Números naturales. Sistemas de numeración
Técnicas auxiliares del recuento
Cuando estamos contando los elementos de un conjunto, necesitamos distinguir en cada paso el subconjunto ya contado, del no contado. Las técnicas auxiliares que se utilizan son:
- Trazar mental o físicamente un camino a seguir cuando vamos contando los objetos.
- Marcar los objetos ya contados.
- Separar manual o mentalmente los objetos contados de los no contados (realizar una partición del conjunto).
- Sustituir la colección de partida por otra que tenga el mismo cardinal, contando esta última.
El uso de una u otra técnica auxiliar depende de:
- el número de elementos del conjunto contado;
- la configuración geométrica del conjunto;
- el tipo de objetos que constituyen el conjunto contado;
- la accesibilidad de los elementos del conjunto (objetos físicos al alcance de la mano, objetos físicos al alcance de la vista pero no de la mano, objetos evocados mentalmente).
- la movilidad de los objetos.
Todas estas técnicas auxiliares tienen que ir precedidas de una primera coordinación entre la mano o la vista y la emisión de la palabra. Es decir, hay que aprender a emitir cada palabra al mismo tiempo que la atención se fija en un objeto.
Coordinabilidad entre conjuntos
Al contar ponemos en correspondencia cada elemento de un conjunto con otro conjunto (de objetos, palabras, muescas, etc.). Las noción de cardinal se puede formalizar usando el lenguaje de la teoría de conjuntos.
Definición 1(Coordinabilidad): Un conjunto A coordinable o equipotente con el conjunto B si existe una correspondencia biyectiva de A en B. Se escribe A∼ B. Cada elemento del primer conjunto se pone en correspondencia con uno y sólo uno del segundo.
Definición 2 (Conjunto infinito): A es un conjunto infinito si existe un subconjunto propio B de A que sea coordinable con A, o sea, ∃ f : A ‡ B, biyectiva.
Ejemplo: El conjunto de números pares es infinito, porque podemos ponerlo en correspondencia biyectiva con el conjunto de números múltiplos de 10. Así: 2 ↔ 20 3 ↔ 30 4 ↔ 40 y siguiendo de esta forma por cada número par hay uno y sólo un múltiplo de 10, pero por otro lado el conjunto de múltiplos de 10 es un subconjunto de los números pares.
Si un conjunto no es infinito se dice que es finito. En los conjuntos finitos no es posible que uno de sus subconjuntos sea coordinable con todo el conjunto.
